variables et distributions

Unité statistique (ou unité) : objet pour lequel nous sommes intéressés à recueillir de l’information. Peut être un individu, une compagnie, etc.

Population : ensemble d’unités que l’on cherche à étudier (la population des personnes atteintes du cancer en Algérie, la population des électeurs en Algérie, la population de voitures fabriquées dans une chaîne de production donnée, la population des accidents observés à une certaine intersection dans une ville, etc.)

Échantillon : n’importe quel sous-ensemble de la population sur lequel nous prendrons des mesures qui serviront à produire des estimations sur l’ensemble de la population.

Variable : caractéristique d’une unité qui peut prendre différentes valeurs (modalités) pour différentes unités.

Variable qualitative : classe les individus dans un groupe ou une catégorie. Par exemple, le sexe d’un individu (homme, femme) ou le niveau de scolarité d’un individu (primaire, secondaire, collégial, universitaire).

Variable quantitative : variable dont les valeurs sont numériques. Les valeurs prises par une telle variable peuvent être continues (température, poids d’un individu) ou discrète (années de scolarité, nombre d’enfants dans un ménage).

Distribution d’une variable : correspondance entre les valeurs de la variable et leurs fréquences ou leurs fréquences relatives. La fréquence représente le nombre d’observations appartenant à une catégorie et la fréquence relative est la fréquence divisée par le nombre total d’observations. La fréquence relative est parfois multipliée par 100, de façon à représenter un pourcentage.

Exemple 1.1 Le tableau 1.1 présente le salaire annuel (en millions de dollars américains) des 40 CEO (Chief Executive Officers) les mieux payés en 2006 ainsi que leur âge et leur plus haut diplôme obtenu. Ces données ont été publiées dans le magazine Forbes, édition du 8 mai 2006.

Ce jeu de données comprend 3 variables qualitatives (Nom, Compagnie et Diplôme) ainsi qu’une variable quantitative discrète (Rang) et 2 variables quantitatives continues (Salaire et Âge).

Tableau 1.1 Salaires des CEO (Forbes, 2006)

Le tableau 1.2 représente la distribution de la variable «Diplôme » dans l’exemple 1.1

Tableau 1.2 Distribution de la variable «Diplôme » dans l’exemple 1.1

Il existe de nombreuses méthodes graphiques permettant d’illustrer la distribution d’une variable.

1.2 Quelques méthodes graphiques

Ici, nous mentionnons quelques méthodes graphiques : Pour variable qualitative :

(i) Diagramme circulaire (Pie chart, en anglais)

(ii) Diagramme à bâtons (Bar chart, en anglais) Pour variable quantitative :

(i) L’histogramme (Histogram, en anglais)

(ii) Le graphique « tiges et feuilles » (Stem-andleaf, en anglais)

(iii) Le diagramme en boîte (Box plot, en anglais)

Le diagramme à bâtons est une représentation courantede la distribution d’une variable qualitative.

Dans l’exemple 1.1, on avait exhibé la distribution de la variable « Diplôme ». Ci-dessous, on présente un diagramme à bâtons.

Figure 1.1 Diagramme à bâtons pour la variable « Diplôme » dans l’exemple 1.1

Le diagramme circulaire est une autre représentation courante de la distribution d’une variable qualitative.

Figure 1.2 Diagramme circulaire pour la variable « Diplôme » dans l’exemple 1.1

L’histogramme est la représentation la plus courante de la distribution d’une variable quantitative. Comment construire un histogramme?

1. Choisir un nombre de classes, habituellement entre 5 et 10.

2. Déterminer l’étendue de la distribution et la largeur de la classe. On obtient l’étendue en soustrayant la plus petite valeur de la plus grande valeur. On obtient la largeur de la classe en divisant l’étendue par le nombre de classes choisi à l’étape 1.

3. Arrondir vers le haut la largeur de la classe obtenu à l’étape 2 à une valeur appropriée (si nécessaire).

4. Déterminer les bornes des classes. La plus petite classe doit inclure la plus petite donnée. Si une observation est sur les bornes, compte-t-elle à droite ou à gauche? Le livre les classe à gauche mais il est possible de les classer à droite.

5. Construire un tableau comprenant les classes, leur fréquence respective ainsi que leur fréquence relative respective.

6. Construire l’histogramme en mettant les intervalles sur l’axe horizontal. Les fréquences (ou les fréquences relatives) représentent la hauteur des bâtons.

Exemple 1.2 Les données suivantes représentent la moyenne académique de 30 étudiants au département de mathématiques et de statistique

2,0 3,1 1,9 2,5 1,9 2,3 2,6 3,1 2,5 2,1

2,9 3,0 2,7 2,5 2,4 2,7 2,5 2,4 3,0 3,4

2,6 2,8 2,5 2,7 2,9 2,7 2,8 2,2 2,7 2,1

Solution :

1. On choisit 8 classes.

2. Étendue= 3,4 −1,9 =1,5. La largeur approximative des classes est donc : 1,5 / 8 = 0,1875.

3. Arrondir 0,1875 à 0,2. Donc, la largeur de la classe est égale à 0,2.

4. La première classe doit contenir la plus petite valeur,

1,9. Donc la première classe contiendra les données qui tombent dans l’intervalle [1,9; 2,1), etc.

5. On construit le tableau suivant :

Statistiques descriptives

Figure 1.3 Histogramme de la variable Moyenne académique dans l’exemple 1.2

Remarques :

(1) Si on avait un très grand nombre d’observations et que l’on utilisait un grand nombre de classes, chacune d’une largeur très étroite, alors l’aspect général de l’histogramme serait une courbe assez lisse.

(2) Le choix du nombre de classes a souvent un impact important sur le « look » de l’histogramme.

1.3 Mesures de tendance centrale

Une mesure de tendance centrale est un indice de la position du centre d’une série de données ou d’une distribution. Elle donne une idée de l’ordre de grandeur des données.

Nous considérons 3 mesures de tendance centrale.

Le mode

Le mode d’une série de données est défini comme la (les) donnée(s) qui a(ont) la plus grande fréquence (i.e., la donnée qui apparait le plus de fois).

Exemple 1.4 : Voici le poids en kg de 15 vaches

425 489 505 398 478 489 500 401

490 399 415 504 433 351 451

Ici, le mode est 489 qui apparait 2 fois, contrairement à toutes les autres données qui n’apparaissent qu’une seule fois.

Remarque : Le mode n’est pas unique. Dans l’exemple

1.4, si on ajoute la donnée 401, alors il y aura 2 modes :

489 et 401.

La moyenne arithmétique

Soit x1, x2, ... , xn une série de n données. Leur moyenne arithmétique est définie par

La médiane

La médiane est la donnée centrale d’une série, lorsque les données sont rangées en ordre croissant ou décroissant.

Lorsque les données sont en nombre impair, la médiane est la donnée centrale. Par exemple, la médiane des données

1, 3, 5, 7 , 9, 10, 13

est 7.

Lorsque les données sont en nombre pair, la médiane est la moyenne des deux données centrales. Par exemple, la médiane des données

1, 3, 5, 7, 9 , 10, 13, 15

est (7 + 9)/2 = 8.

1.4 Mesures de dispersion

Habituellement, il n’est pas suffisant de rapporter une mesure de tendance centrale car cette dernière ne peut, à elle seule, donner une idée complète d’une série de données ou d’une distribution. On rapportera également des mesures de dispersion.

Il existe plusieurs mesures de dispersion :

L’étendue

L’étendue est définie comme la différence entre la plus grande donnée et la plus petite donnée.

Exemple 1.5 On a la série de donnée suivante :

18 13 11 22 1 4 6 17 8

L’étendue est égale à 22 − 1 = 21.

Écart-type et variance

Les notions de variance et d’écart-type servent à quantifie la variabilité d’un échantillon en mesurant sa dispersion autour de la moyenne.

Comme mesure de la dispersion d’une série de données, on utilise l’écart-type. Une quantité associée à l’écarttype est la variance.

Soit x1, x2, ... , xn une série de n données. Leur variance est définie par

L’écart-type est la racine carrée de la variance, soit

L’écart interquartile (interquartile range ou IQR)

Définition : Le p^ième percentile ou quantile d’un jeu de données présenté en ordre croissant est la valeur telle qu’au plus p% des valeurs sont en-dessous d’elle et au plus (100-p)% sont au-dessus.

Les percentiles les plus utilisés sont le 25^ième, le 50^ième et 75^ième appelés respectivement le premier quantile (Q1), la médiane (Q2) et le troisième quantile Q3.

L’écart interquartile est défini selon

IQR = Q3 −Q1

Comment obtenir Q1 et Q3?

• Q1 est la donnée en position (n+1)/4 et Q3 est la donnée en position 3(n+ 1)/4.

• Rien ne garantit que les valeurs (n+1)/4 et 3(n+ 1)/4 seront entières. Dans ce cas, les positions des quartiles sont déterminées par interpolation.

Exemple 1.6 On a 26 données

1 1 2 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 9 9 9 9 9 9

La médiane est donnée par (5 +6)/2 = 5,5

La position de Q1 est donnée par 27/4 = 6,75. Donc Q1 est donnée par la valeur à ¾ de la distance entre les valeurs 3 et 4 et on a Q1= 3,75.

De manière similaire, la position de Q3 est donnée par 0.75x27 = 20,25. Donc Q3 est donnée par la valeur à 1/4 de la distance entre les valeurs 8 et 9 et on a Q3= 8.25.

Donc, IQR = Q3 −Q1 =8.25 − 3,75 = 4,5.

1.5 Une autre méthode graphique : Le diagramme en boîte ou boxplot

Le boxplot est une autre méthode graphique permettant d’étudier la distribution d’une variable quantitative. Le boxplot incorpore le résumé de 5 chiffres (minimum,

Q1, médiane, Q3). La figure 1.7 représente le boxplot décrivant la taille (en cm) de 1000 hommes et 1000 femmes.

• La boîte est délimitée par Q1 et Q3. La longueur de la boîte représente donc l’IQR.

• La ligne dans la boîte représente la médiane. Si la ligne coupe la boîte en 2 rectangles égaux, alors la distribution est symétrique. Sinon elle est asymétrique.

• Les étoiles représentent les données qui sont jugées atypiques. Une donnée x est jugée atypique si

x < Q1 −1.5IQR ou si x > 3 Q +1.5IQR

Figure 1.7 Boxplot pour la variable Taille

On peut également faire des « side-by-side boxplots » qui permettent de comparer la distribution d’une variable quantitative selon les modalités d’une variable qualitative. La Figure 1.8 représente 2 « side by side boxplots » décrivant la taille (en cm) selon le sexe.

Figure 1.8 Boxplot pour la variable Taille selon la variable Sexe