Analyse de la variance à deux facteurs

1. Introduction

Définition

Étude simultanée d’un facteur A à p modalités et d’un facteur B à q modalités.
Pour chaque couple de modalités (A, B)

Conditions d'applications de l'ANOVA

les populations étudiées suivent une distribution normale
les variances des populations sont toutes égales (HOMOSCEDASTICITE)
les échantillons E_i de tailles N_i sont prélevés aléatoirement et indépendamment dans les populations.

cette ANOVA s'applique lorsqu'on a deux critères de classification croisés, mais avec plusieurs observations pour chaque combinaison de niveaux des deux critères.

Le bénéfice est qu'on peut tester l'interaction entre les deux facteurs.

Procédure de calcul d'une ANOVA

Déterminer si les échantillons varient de la même manière.
Si nous démontrons l'homogénéité des variances, alors nous pouvons comparer les moyennes de ces échantillons.

2. Calculs

Tests possibles

Influence du facteur A seul
Influence du facteur B seul
Interaction des deux facteurs

Si influence d'un facteur sur la moyenne des populations est différente en l'absence ou en la présence de l'autre facteur

Hypothèses

Il y a trois hypothèses principales à tester:

H0: le facteur A n'a aucun effet sur les résultats

H0: le facteur B n'a aucun effet sur les résultats

H0: les facteurs A et B n'interagissent pas sur les résultats.

Hypothèses contraires:

H1: le facteur A a un effet sur les résultats, c'est-à-dire qu'au moins une des moyennes μi.. n'est pas égale aux autres;

H1: le facteur B a un effet sur les résultats, c'est-à-dire qu'au moins une des moyennes μ.j. n'est pas égale aux autres.

H1: les facteurs A et B interagissent sur les résultats. Autrement dit, l'état du facteur A influence la réponse face au facteur B, et réciproquement

Décomposition de la variance totale des résultats

- variance "cellulaire" (c'est-à-dire la variance due à la variabilité au sein des "cellules" du tableau contenant chacune les t répétitions d'une combinaison donnée de niveaux des facteurs A et B) (SCEC/(rs–1);

- variance due au facteur A (SCEA/(r–1));

- variance due au facteur B (SCEB/(s–1));

- variance due à l'interaction AxB (SCEAB/[(r–1)(s–1)]);

- variance résiduelle (SCEE/[rs(t–1)]).

Lorsque les populations sont normales, les échantillons indépendants et les hypothèses principales vraies, les trois variances (facteur A: S²A, facteur B: S²B et erreur: S²e) sont trois estimations de la variance S² de la même population.

Par conséquent, chaque hypothèse H0 peut être testée à l'aide d'un test de Fisher comparant les variances dues à chacun des facteurs à la variance des résidus:

Les valeurs obtenues sont comparées respectivement à

Variances totale, factorielle, résiduelle

Google Sites

Report abuse