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Integración de una función elevada a un exponente. x^n
Para esta Lección 3 de nuestro curso Aprende a integral desde cero voy a explicar como hacer la integral de una función que esta elevada a un exponente, de manera general tenemos la siguiente fórmula de integración.
Para poder aplicar esta fórmula el exponente debe ser siempre diferente de -1 ya que de lo contrario tendremos que usar otra forma de integrar nuestra función.
Recordemos que un exponente puede ser un numero entero positivo o negativo, así como una fracción negativa o positiva, en este artículo explicaremos algunos ejercicios que serán de gran utilidad.
Resolver el siguiente ejercicio.
Calculamos la integral de x cuadrada, en esta función no tenemos ningún numero constante por lo que aplicar la formula de integración se hace de manera directa, observe que al exponente se le suma un número 1 y en la parte del denominador también se suma un número 1, al resolver estas operaciones tenemos que el exponente de nuestra x ahora es 3 y el denominador también es 3, por lo que el resultado lo podemos expresar como "un tercio de x cubica" más una constante k de integración.
Este tipo de integral es muy común en los ejercicios de integración por eso se recomienda que se recuerde el resultado de esta integral.
Veamos otro ejercicio cuando el exponente de nuestra función es negativo algo muy común en el cálculo integral.
Resolver:
Ahora el exponente es -3 (un número negativo) pero como en el caso anterior no tenemos ninguna constante que nos estorbe por lo que nuevamente podemos aplicar la fórmula de integración de manera directa.
Sumamos (siempre se va a sumar) 1 tanto al exponente como en el denominador y resolvemos la operación en ambos términos, el resultado para este caso es -2 tanto en el exponente como en el denominador pero (ojo al parche) los exponentes negativos obedecen a una regla que se ve en las leyes de los exponentes, es decir, los exponentes negativos se transforman en denominadores, haciendo el cambio aplicamos la ley del sándwich (división de fracciones) para llegar a nuestro resultado final.
Resolver el siguiente ejercicio. (otro clásico del cálculo integral)
Ahora tomamos el caso cuando nuestro exponente es una fracción en particular 1/2, valor con el que siempre estaremos en contacto, el hecho de que el exponente sea una fracción no impide aplicar la fórmula, recordar que la única restricción es que el exponente no sea -1, por lo tanto aplicando la fórmula tenemos que al sumar 1 tanto al exponente como al denominador caemos en una suma de fracciones (tema que el lector debe dominar). Resolviendo estas operaciones tanto el exponente como el denominador resultan ser 3/2, pero ahora nuevamente aplicamos la ley del sándwich para llegar al resultado final más una constante k de integración.
NOTA: los exponentes fraccionarios obedecen a una regla de los radicales la cual el lector debe recordar, es este ejercicio no la aplicaremos pero en los ejercicios consecuentes si haremos uso de dichas leyes.
Resolver el siguiente ejercicio.
Ahora en este nuevo ejemplo nuestra función esta elevada a una fracción negativa, pero como en los ejercicios tratados anteriormente no tenemos ningún coeficiente que nos estorbe por lo tanto aplicamos nuestra fórmula de integración sin problema.
Así como en el caso anterior y como hemos venido haciendo en todos los ejercicios anteriores, sumamos un 1 al exponente y al denominador, nuevamente nos encontramos con una suma de fracciones en ambos casos así que al resolver estas operaciones nos da por resultado -1/2. Ahora volvemos a aplicar las leyes de los exponentes a nuestro exponente (-1/2) y después la ley del sándwich teniendo como resultado - 2 sobre x a la 1/2, en este caso si aplicamos las leyes de los radicales para cambiar el exponente a un radical teniendo de esta manera el resultado final más una constante de integración.
En la siguiente lección explicaremos como resolver este mismo caso pero ahora con constantes que estén dentro de nuestra función.
NOTA 2: Es importante que el lector revise sus conocimientos en álgebra básica para que no tenga problema al resolver las operaciones implicadas en los ejercicios de cálculo integral tales temas son: operaciones básicas de fracciones (suma, resta, multiplicación y división), leyes de los exponentes y radicales, productos de polinomios, productos notables, factorización de polinomios, división sintética, razones trigonométricas, e identidades trigonométricas.
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