ЕГЭ-2023. Задание № 15

Тема: Знание основных понятий и законов математической логики Время выполнения 3 минуты.

Решение задания № 15 ЕГЭ-2023. Демо.

В файле приводится решение на трех я.п.. Кроме того, приводится алгоритм решения подобных задач.

Решение на я.п. Python:

for A in range(1,1001):

              k=0

              for x in range(1,301):

                           f1 = x%2 == 0

                           f2 = x%3 == 0

                           if (f1 <= (not(f2))) or x+A >=100:

                                             k +=1

              if k==300:

                           print(A)

                           break

Ответ: 94

Разбор типовых задач (задания №15)

Решение логических выражений

Условие задачи варианта 2306 О. Богданова

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А логическое выражение

(x ⩾ 27) \/ (2x < 3y) \/ (A > (x+2)(y-3))

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных x и y?

Решение

Разделим логическое выражение на две части: изменяемую и неизменную:

не изменяемая часть: (x ⩾ 27) \/ (2x < 3y) = 0 (1)

изменяемая: (A > (x+2)(y-3)) = 1 (2)

Отсюда (1): (x<27) /\ (2x>=3y) = 1. Следовательно: x = 26, y <= 52/3  >> y = 17

Подставим значения в выражение (2): A > (26+2)*(17-3) = 28*14  >> A> 392, то есть, А=393.

2 способ решения: я.п.

for a in range(1,500):

              k = 0

              for x in range(1,101):

                            for y in range(1,101):

                                        if (x>=27) or(2*x<3*y) or (a>(x+2)*(y-3)):

                                                      k +=1

              if k == 10000:

                            print(a)

                            break

Самостоятельное решение задач:

Задача 1

Для какого наибольшего целого числа А формула

(x + 2y ≠ 60) \/ (A < y) \/ (y < x) 

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Задача 2

Для какого наименьшего целого числа А формула

(xy < A) \/ (x > y) \/ (y ≥ 9)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Задача 3

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение

(x < 40) \/ (y < 50) \/ (3x + 2y > A)

истинно для любых целых значений x и y.

Задача 4

Для какого наибольшего целого числа А формула: 

(xy > A) \/ (x < y) \/ (y ≤ 9)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Задача 5

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

              (x ≥ A) \/ (y ≥ A) \/ (xy ≤ 200)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых положительных x и y?

Задача 6

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

 (x<A) /\ (y < A) /\ (xy>601)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых положительных x и y?

Решение задач с DEL

Разберем решение задачи:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

¬Дел(x, А) → (Дел(x, 6) → ¬Дел(x, 9))

тождественно истинна (то есть, принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Прежде, чем набирать текст программы, упростим ЛВ:

Обозначим:

Дел(х, А) как DA

Дел (х, 6) как D6

Дел(х, 9)  как D9

DA + (¬D6 + ¬D9)  = 1

Преобразуем наше выражение, используя свойство 1 (смотри презентацию "Основные свойства и законы") и правило де Моргана:

(D6 * D9) →DA

DНОК(6,9) → DA

D18 → DA  

Таким образом, ответом к этой задаче будет число: 18

2 способ решения задачи: я.п.

# применяем преобразованное логическое выражение

def D(n,m):

              if n % m == 0: return True

              else: return False

for A in range(100,1,-1):

              k = 0

              for x in range(1,51):

                            if D(x,A) or (not D(x,6) or (not(D(x,9)))):

                                          k +=1

              if k == 50:

                            print(A)

                            break

Задача 2.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула:

 (¬Дел(х,А) → (Дел(х,27) → ¬Дел(х,89))) /\ (А > 300)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

1 способ (я.п. Python):

def D(x,k):

              if x%k==0: return True

              else: return False

for a in range(1,10001):

         k = 0

         for x in range(1,10001):

                    if (not(D(x,a)))<=(D(x,27)<=(not(D(x,89))))and(a>300):

                                  k +=1

         if k == 10000:

                       print(a)

                       break

2 способ (я.п. Python):

for a in range(301,1001):

              f = True

              for x in range(1,10001):

                        f1=not(x%a==0)

                        f2=x%27==0

                        f3=not(x%89)==0

                        f = f1 <= (f2 <= f3)

                        if not(f): break

              if f:

                        print(a)

                        break

Ответ: 801

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

Для какого наибольшего натурального числа А формула:

¬(A > 30) /\ (ДЕЛ(x,8) /\ ¬ДЕЛ(x,A) → ¬ДЕЛ(x, 10))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Задача 2

Для какого наибольшего натурального числа А формула:

¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x,6) → ¬ДЕЛ(x,8)) 

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Задача 3.

Для какого наименьшего натурального числа А формула 

(ДЕЛ(x, 12) → ¬ДЕЛ(x, 90)) ∨ (x + 2A ≥ 512)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Задача  4

Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 12)) → (ДЕЛ(x, 42) ∨ ¬ДЕЛ(x, 12))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Задания № 15 ЕГЭ прошлых лет