La "pendenza del grafico"
in un punto

Proviamo a trovare altre rette tangenti

  • Troviamo la retta tangente al grafico della funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2 nel punto Q di coordinate (0, 0).

  1. Consideriamo la famiglia delle rette secanti la parabola e passanti per Q, usando il parametro h. Chiamiamo P il secondo punto di intersezione tra tali rette e la parabola.
    La seguente applet ci permette di vedere come varia la pendenza delle rette secanti al variare di h.
    https://www.geogebra.org/classic/crpcxkuy

2. Quali sono le coordinate di P?

Il punto P ha coordinate (0+h, 𝑓(0+h)). Siccome 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2,, le coordinate sono (h, (1/3)h2).

3. Troviamo la pendenza di tali rette secanti:

conto_punto 0

4. Abbiamo calcolato m in funzione di h: m = (1/3)h. Come calcoliamo la pendenza della retta tangente?

Per avere la pendenza della retta tangente, consideriamo la pendenza m delle secanti con h che si avvicina a 0, cioè quando i due punti P e Q si avvicinano tra loro.

Poiché h si avvicina a 0 otteniamo che la pendenza della retta tangente a f nel punto Q=(0,0) è 0.

Quindi, la retta tangente alla nostra parabola nel punto (0, 0) è orizzontale. Determiniamo q per trovare l'equazione della retta.

𝑦-𝑦Q = m(𝑥-𝑥Q)
y - 0 = 0(x - (0))
y = 0

La retta tangente a f nel punto Q è y=0.

  • Troviamo la retta tangente al grafico della parabola 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2 nel punto Q di coordinate (-6, f(-6)).

  1. Consideriamo la famiglia delle rette secanti la parabola 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2 e passanti per Q, usando il parametro h. Chiamiamo P il secondo punto di intersezione tra tali rette e la parabola.
    La seguente applet ci permette di vedere come varia la pendenza delle rette secanti al variare di h.
    https://www.geogebra.org/classic/b2mnmhhg

Quali sono le coordinate di P?

Il punto P ha coordinate (-6+h, 𝑓(-6+h)). Siccome 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2,, le coordinate sono (-6+h, (1/3)(-6+h)2).

2. Troviamo la pendenza di tali rette secanti:

conto_punto_6

3. Abbiamo calcolato m in funzione di h: m = -4 + (1/3)h. Come calcoliamo la pendenza della retta tangente?

Per avere la pendenza della retta tangente, consideriamo la pendenza m delle secanti con h che si avvicina a 0, cioè quando i due punti P e Q si avvicinano tra loro.

Poiché h si avvicina a 0 otteniamo che la pendenza della retta tangente ad f nel punto Q=(-6, f(-6)) è -4

Osserviamo che la retta tangente ad f in Q è in discesa, poiché la pendenza trovata è negativa. Determiniamo q per trovare l'equazione della retta.

Abbiamo m=-4 e sappiamo che la retta passa per Q=(-6, 12). Usiamo 𝑦-𝑦Q=m(𝑥-𝑥Q).

y - 12 = -4(x - (-6))
y - 12 = -4(x + 6)
y - 12 = -4x -24
y=-4x - 12

La retta tangente a f nel punto Q è y=-4x-12.

Generalizziamo: la pendenza del grafico in un punto

Abbiamo determinato tre rette tangenti alla parabola in tre diversi punti: (3,3), (0,0) e (-6,12).
La seguente applet ci permette di scegliere un punto P appartenente alla parabola (specificandone l'ascissa xP) e un intervallo [a,b] attorno a P, e di zoomare a destra l'intervallo usando lo slider λ per vedere come si comporta la retta tangente in quel punto.

Dall'applet osserviamo che la parabola vicino al punto (3, 3) è molto simile alla retta tangente in quel punto. La stessa cosa si può osservare nei punti (0, 0) e (-6, 12) considerando per ognuno la rette tangente in quel punto.


La nostra costruzione soddisfa la proprietà che volevamo, cioè vicino ad un punto di tangenza la parabola è molto simile alla retta tangente in quel punto: più ci avviciniamo, più i due tratti sembrano coincidere.

Aver definito la retta tangente ad una parabola in un punto, ci permette di parlare anche della pendenza del grafico di una funzione quadratica (o polinomiale di secondo grado). Vediamo come fare.

Consideriamo la nostra funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥2 , il cui grafico sappiamo essere una parabola. Diremo che il grafico di f nel punto (3, f(3)) ha pendenza pari alla pendenza della retta tangente al grafico di f in quel punto.

La retta tangente al grafico di f in (3, 3) è y=2x -3
La retta tangente al grafico di f in (0, 0) è y=0
La retta tangente al grafico di f in (-6, 12) è y=-4x-12

Quindi:

La pendenza del grafico di f nel punto (3, 3) è 2
La pendenza del grafico di f nel punto (0, 0) è 0
La pendenza del grafico di f nel punto (-6, 12) è -4