L'andamento di una funzione e il legame con la pendenza del grafico
Consideriamo il grafico della funzione f(x) = (1/3)x2, che abbiamo visto nelle lezioni precedenti.
Nelle lezioni precedenti abbiamo calcolato la pendenza di tale grafico nei punti (3, f(3)), (0, f(0)) e (-6, f(-6)). Abbiamo visto che la pendenza è positiva (cioè 2) in (3, f(3)), nulla in (0, f(0)) e negativa (cioè -4) in (-6, f(-6)).
Nella seguente applet (https://www.geogebra.org/m/fjugkkct) troviamo il grafico di f(x) = (1/3)x2 e la retta tangente al grafico nel punto verde (x, f(x)). Per modificare l'ascissa del punto verde cliccare i due pulsanti con le frecce.
Come varia il segno della pendenza del grafico, modificando l'ascissa del punto verde?
La pendenza del grafico è negativa quando 𝑥 appartiene all'intervallo [-8, 0).
La pendenza, invece, è positiva quando 𝑥 appartiene all'intervallo (0, 8].
Quando 𝑥 vale 0, la pendenza del grafico è nulla.
Scrivendo nella barra di inserimento P=True compare la pendenza della retta tangente al grafico nel punto verde. Scrivendo, invece, F=True compare il valore della funzione f calcolata nella x corrispondente.
Consideriamo gli intervalli [-8, 0) e (0, 8] nell'asse delle ascisse, come si comporta il grafico di f in questi intervalli?
Notiamo che, se percorriamo il grafico dal punto di ascissa -8 a quello di ascissa 0, "stiamo scendendo", i valori della funzione stanno diminuendo; se lo percorriamo dal punto di ascissa 0 a quello di ascissa 8, invece, "stiamo salendo", i valori della funzione stanno aumentando.
La pendenza del grafico nel punto (3, f(3)) è positiva e questo punto appartiene a un intervallo dove la funzione sta crescendo.
La pendenza del grafico nel punto (0, f(0)) è nulla. Notiamo che il grafico in questo punto ha una "valle" (prima "scende", poi "sale") - la funzione a sinistra di 0 decresce e a destra di 0 cresce.
La pendenza del grafico nel punto (-6, f(-6)) è negativa e questo punto appartiene a un intervallo in cui la funzione sta decrescendo.
Le parabole con concavità verso il basso
Il grafico della funzione g(x)=-x2+6x+1, che trovate rappresentato in figura, è una parabola con concavità rivolta verso il basso.
Come varia la pendenza di questo grafico?
In precedenza, abbiamo visto il procedimento per trovare la pendenza di una retta tangente al grafico in un punto, cioè la pendenza del grafico in quel punto.
Nella seguente applet (https://www.geogebra.org/m/afvp6j3z) troviamo il grafico di g(x)=-x2+6x+1 e la retta tangente al grafico nel punto verde (x, g(x)). Per modificare l'ascissa del punto verde cliccare i due pulsanti con le frecce.
Usiamo l'applet sopra. Scrivendo nella barra di inserimento P=True compare la pendenza della retta tangente al grafico nel punto verde. Scrivendo, invece, G=True compare il valore della funzione g calcolata nella x corrispondente.
Come varia il segno della pendenza del grafico, modificando l'ascissa del punto verde?
La pendenza del grafico è positiva quando x appartiene all'intervallo [-1, 3).
La pendenza, invece, è negativa quando x appartiene all'intervallo (3, 7].
Quando x vale 3, la pendenza del grafico è nulla.
Ragioniamo sulle caratteristiche di tale grafico negli intervalli considerati
Consideriamo l'intervallo [-1, 3) nell'asse delle ascisse, come si comporta il grafico di g spostandoci dal valore -1 fino al valore 3?
Cosa succede, invece, se ci spostiamo nell'intervallo (3, 7]?
Se percorriamo il grafico dal punto di ascissa -1 a quello di ascissa 3 notiamo che "stiamo salendo", i valori della funzione stanno aumentando. Quindi, quando x appartiene all'intervallo [-1, 3), la funzione sta crescendo.
Se, invece, consideriamo l'intervallo (3, 7] notiamo che la funzione sta decrescendo: percorrendo il grafico dal punto di ascissa 3 a quello di ascissa 7 notiamo che "stiamo scendendo", i valori della funzione stanno diminuendo.
Possiamo osservare che:
nell'intervallo dove la pendenza della retta tangente è positiva, la funzione sta crescendo.
nell'intervallo dove la pendenza della retta tangente è negativa, la funzione sta decrescendo.
la pendenza della retta tangente nel punto (3, g(3)) è nulla. Notiamo che il grafico ha un "picco" (prima "sale", poi "scende") - la funzione a sinistra di 3 cresce e a destra di 3 decresce.
In generale
Per una funzione il cui grafico è una parabola possiamo quindi intuire che:
dove la pendenza del grafico è positiva, la funzione cresce
dove la pendenza del grafico è nulla, si ha un "picco" o una "valle" (vedi figura)
dove la pendenza del grafico è negativa, la funzione decresce