Costruiamo una scatola

Abbiamo a disposizione un foglio rettangolare di lati 20 cm e 28 cm. Vogliamo costruire una scatola senza coperchio. Come possiamo fare? Provate a costruire una scatola di altezza scelta a piacere.

Costruzione: Da ogni lato del foglio ricaviamo una parete della nostra scatola. Per farlo, ritagliamo gli angoli del foglio e pieghiamo quelle che saranno le pareti della nostra scatola, disponendole in verticale.

Attenzione! Le pareti della scatola devono essere della stessa altezza, altrimenti avremo una scatola "storta". Allora, in ogni angolo del foglio, la carta che ritagliamo sarà un quadratino e tutti i quadratini avranno i lati della stessa lunghezza.

Qual è il volume V della scatola?

V = area base x altezza

Alcuni di voi ha costruito delle scatole di altezza diversa. Le scatole costruite hanno lo stesso volume?

Per rispondere alla domanda, consideriamo le scatole che sono state costruite.

Riusciamo a costruire una scatola partendo da un foglio di dimensioni 20 cm x 28 cm in modo che abbia più volume possibile?

Abbiamo visto che il volume della scatola dipende dalla lunghezza del taglio che facciamo. Quindi, per trovare la scatola di volume massimo dobbiamo capire che taglio fare.

Iniziamo calcolando il volume della scatola

1. Base della scatola

MEMO: Prima di tutto ricordiamoci che per costruire una scatola dobbiamo ritagliare dei quadratini uguali da ogni angolo del foglio, altrimenti le pareti della scatola non hanno la stessa altezza.

Ma dato che tutti i quadratini che ritagliamo sono uguali, possiamo concentrarci e ragionare su un solo quadratino.

Il taglio che facciamo, determina la lunghezza del lato del nostro quadratino. Abbiamo visto che possiamo fare dei tagli con lunghezze diverse. Allora esprimiamo la lunghezza del lato (del quadratino) con una variabile x.

Se il quadrato ritagliato ha il lato lungo x, quanto valgono i lati della base della scatola?

2. Altezza della scatola

Ritagliati i quadratini dagli angoli, per ottenere la scatola pieghiamo in verticale quelle che saranno le pareti. L'altezza della scatola sarà pari all'altezza delle pareti, cioè x.

3. Volume della scatola costruita con un taglio pari a x:

V = area base x altezza = (28 - 2x)(20 - 2x)x

Poiché il volume varia in funzione di x, possiamo definire una funzione "volume" V in questo modo:

Nella seguente applet a sinistra possiamo inserire il valore x del taglio e vedere a quanto corrisponde il volume, a destra vediamo la costruzione della scatola.

Esempi:

• Se il taglio x è pari 3.5, allora il volume è

V(3.5) = [28 - 2(3.5)][20 - 2(3.5)]3.5
= (28 - 7)(20 - 7)3.5
= (21)(13)3.5 = 955.5

• Se il taglio x è pari 5, allora il volume è

V(5) = [28 - 2(5)][20 - 2(5)]5 = (28 - 10)(20 - 10)5 = (18)(10)5 = 900

• Se il taglio x è pari a 0.4, allora il volume è

V(0.4) = [28 - 2(0.4)][20 - 2(0.4)]0.4 = (28 - 0.8)(20 - 0.8)0.4 = (27.2)(19.2)0.4 = 208.896

Innanzitutto, vediamo se ci sono dei limiti nei valori che x assume. Ad esempio, dato che il nostro foglio misura 20 cm x 28 cm, sicuramente x non potrà essere pari a 45 cm o 234 cm, cioè più lungo dei lati.

Possiamo trovare due limitazioni ai valori che x può assume:

1. Possiamo non fare alcun taglio: in quel caso allora x è pari a 0.

2. Possiamo fare il taglio più lungo possibile, che il nostro foglio ci consente. Consideriamo il lato più corto, lungo 20 cm.

Dato che dobbiamo fare due tagli su questo lato, allora la somma delle loro lunghezze sarà uguale al più alla lunghezza del lato. In questo caso allora vale:

taglio n°1 + taglio n°2 = 20
x + x = 20
2x = 20
x = 10

Possiamo fare tutti i tagli di lunghezza compresa fra 0 (la minima) e 10 (la massima). Abbiamo trovato un intervallo di valori in cui possiamo restringere la nostra ricerca:

0 ≤ x ≤ 10

Di questo intervallo possiamo però escludere due valori.

• Se proviamo a costruire la scatola facendo un taglio "nullo", come abbiamo visto sopra ci rimane il nostro foglio: l'altezza è nulla e non costruiamo alcuna scatola. Allora scartiamo il valore 0.

• Se proviamo a costruire la scatola facendo il taglio lungo 10, come abbiamo visto sopra la base è nulla e non riusciamo a costruire alcuna scatola. Scartiamo anche il valore 10.

Abbiamo visto che per x pari a 5 il volume è V(5) = 900.
Se aumentiamo x, come cambia il volume V?

Per un generico punto (x,V(x)) del grafico il segmento rosso rappresenta il valore di x (la lunghezza del taglio), mentre il segmento blu rappresenta il valore V(x), cioè il volume della scatola associato al taglio x.

Dopo aver determinato alcuni punti e, quindi, esserci costruiti un’idea del grafico di V, possiamo vedere il grafico cliccando su “Grafico funzione volume ”.

Come possiamo descrivere il grafico?

Partiamo da un taglio molto piccolo nel foglio a sinistra e aumentiamo il taglio: x si sta spostando dal valore 0 verso il valore 10.

Osserviamo che:

• inizialmente la nostra funzione volume sta crescendo: più aumentiamo x, più V(x) aumenta.

• da un certo punto in poi la funzione volume diminuisce.

Allora la nostra funzione volume sembra raggiungere un picco per un certo valore di x:

Esiste un valore di x , con 0 < x < 10, per il quale V(x) è il più grande possibile

Per trovare questo valore possiamo fare alcune osservazioni sulla pendenza del grafico di V, su come sta variando all'aumentare di x.

MEMO:

• Nella zona in cui la funzione cresce, la pendenza del grafico in ogni punto (x, V(x)) dell'intervallo è positiva.

• Nella zona in cui la funzione decresce, la pendenza del grafico in ogni punto (x, V(x)) dell'intervallo è negativa.

• Nel picco la pendenza del grafico è nulla.

Allora per trovare il picco dobbiamo trovare il punto in cui il grafico ha pendenza nulla, cioè il punto in cui la retta tangente al grafico ha pendenza nulla.

Per farlo, possiamo usare un'applet di geogebra. Selezionando le caselle di controllo nel grafico di destra, facciamo apparire la retta tangente al grafico di V nel punto (x, V(x)) e la pendenza di tale retta.

Muovendo il valore di x nello slider, stiamo spostando il punto (x, V(x)) e pertanto anche la retta tangente. Muoviamo x finché non otteniamo la pendenza della retta pari a 0.

Osserviamo che per x pari a 0.384 la retta tangente in (x, V(x)) ha pendenza nulla: abbiamo raggiunto il picco.
Questo significa che, partendo da un foglio rettangolare di misura 28 cm x 20 cm, possiamo costruire la scatola con volume massimo facendo un taglio di 0.384 dm, cioè di 3.84 cm.

Concludiamo calcolando il volume massimo ottenibile per un foglio di quelle dimensioni:

cioè 961.31 cm³.