Costruzione della retta tangente alla parabola in un punto

Possiamo usare la definizione di retta tangente a una circonferenza anche per una parabola?

Nella seguente applet trovate una parabola e una retta passante per un punto esterno alla parabola. Possiamo cambiare inclinazione della retta usando i due pulsanti gialli.

Anche in questo caso, come per la circonferenza, la retta blu è prima esterna, poi tangente e infine secante la parabola.

Osserviamo che le rette secanti hanno sempre due punti di intersezione con la parabola. Cliccando su "apri zoom" potete seguire il punto Q (secondo punto di intersezione tra la retta e la parabola), che continua a esistere anche quando la retta è molto pendente.

Cliccando sul quadratino vicino a "retta perpendicolare" compare la retta parallela all'asse della parabola passante per il punto blu. Questa retta ha un solo punto di intersezione con la parabola. Possiamo dire che tale retta è tangente alla parabola?

Ricordiamo che, come abbiamo visto nel caso della circonferenza, una retta tangente, vicino al punto di tangenza, assomiglia molto alla curva che sta "toccando".

Quindi, sebbene la retta verticale abbia un solo punto di intersezione con la parabola, non è tangente alla parabola.

Abbiamo bisogno di un'altra definizione di retta tangente!

Torniamo alla circonferenza, della quale sappiamo come identificare le rette tangenti, e proviamo a vedere se riusciamo a trovare una proprietà che caratterizza tali rette, da utilizzare anche nel caso della parabola.

In questa applet (https://www.geogebra.org/m/ketvmqcs) trovate una circonferenza, la retta t tangente alla circonferenza in un punto Q (retta blu) e la retta secante s passante per il punto Q e per un altro punto qualsiasi P appartenente alla circonferenza (retta verde).

In alto a destra trovate la pendenza della retta t e la pendenza della retta s.

Provate a muovere il punto P. Quando P si sposta vicino a Q, come si comporta la pendenza della retta s rispetto a quella della retta t?

Notiamo che avvicinando il punto P al punto Q da sinistra la pendenza di s diminuisce; avvicinandolo, invece, da destra la pendenza aumenta. In entrambi i casi, la pendenza della retta s si sta avvicinando a quella della retta t.

Quando il punto P coincide con il punto Q la retta s scompare. Questo accade perché vogliamo disegnare una retta passante per i punti Q e P, che però coincidono, cioè una retta passante per un punto solo; ma le rette passanti per un punto solo sono infinite.

Proviamo a fare lo stesso ragionamento per una parabola.

Nell'applet seguente trovate il grafico della funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥², che è una parabola.

Vogliamo definire la retta tangente alla parabola nel punto Q di coordinate (3, 𝑓(3)). Come prima, consideriamo una retta secante s_QP passante per Q e per un qualsiasi punto P appartenente alla parabola. In questo caso, per muovere il punto P utilizziamo lo slider h.
(Per aprire l'applet in una nuova finestra: https://www.geogebra.org/m/zwzucmrx)

Muovendo lo slider h, cosa succede alla retta s_QP? E alla sua pendenza?
Come varia la pendenza al variare della posizione del punto P?

Muovendo lo slider h verso valori maggiori (cliccando il pulsante con la freccia verso destra) la pendenza della retta s_QP aumenta; muovendolo verso valori minori (cliccando il pulsante con la freccia verso sinistra), invece, la pendenza diminuisce.

Quando i punti Q e P coincidono (h=0), la retta secante s_QP scompare, per quanto abbiamo visto prima.

Possiamo notare che avvicinando P a Q (senza raggiungerlo) sia da destra che da sinistra, la pendenza della retta secante s_QP si sta avvicinando a un valore (cioè 2). Nel caso della circonferenza abbiamo visto che la pendenza della retta tangente t era proprio il numero al quale si avvicinava la pendenza della secante s spostando P verso Q, sia da destra che da sinistra. Anche in questo caso, possiamo intuire che il numero al quale si avvicina la pendenza di s_QP è la pendenza della retta tangente.

Come possiamo descrivere le coordinate del punto P (rispetto al punto Q)?

Possiamo descrivere il punto P considerando il valore h. Muovendo lo slider h, notiamo che l'ascissa del punto P varia: in particolare, il secondo addendo di questa varia di una quantità uguale a h. Quindi, è conveniente indicare l'ascissa del punto P come 𝑥_P = 𝑥_Q+h, cioè 𝑥_P = 3+h . Di conseguenza, y_P=𝑓(x_P)=𝑓(3+h).

Descriviamo il punto P con le coordinate (3+h, 𝑓(3+h)).

Avendo le coordinate dei punti Q=(3, 𝑓(3)) e P=(3+h, 𝑓(3+h)), possiamo calcolare la pendenza della retta s_QP.
Otteniamo:

pendenza_QP

Nel nostro caso 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥²:

conto_pres_ok

Abbiamo visto sopra che, per ottenere la pendenza della retta tangente in Q e così trovare la retta tangente (se esiste), dobbiamo considerare il numero al quale si sta avvicinando la pendenza della retta s_QP quando P si avvicina a Q.

Come possiamo dire, usando le coordinate dei due punti, che P si sta avvicinando a Q?

Quando P si avvicina a Q, sia da destra che da sinistra, il valore di h si avvicina a 0.

Quindi, per ottenere la pendenza della retta tangente in Q, dobbiamo considerare la pendenza di s_QP con h che si avvicina a 0.

Quindi, possiamo definire la retta tangente alla parabola nel punto Q di coordinate (3, 𝑓(3)) come la retta che ha pendenza uguale a 2.

Troviamo l'equazione della retta tangente alla parabola in Q. Sappiamo che tale retta ha pendenza 2 e passa per il punto Q di coordinate (3, 𝑓(3)).

Per trovare l'equazione di questa retta, riscriviamo la seguente equazione: 𝑦-𝑦_Q=m(𝑥-𝑥_Q).

Nel nostro caso m vale 2, mentre 𝑥_Q = 3 e 𝑦_Q = 3, quindi 𝑦-3=2(𝑥-3) ossia 𝑦=2𝑥-3.

Quindi, la retta tangente al grafico di 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥² nel punto Q di coordinate (3, 3) è 𝑦=2𝑥-3.

Rivediamo brevemente come possiamo definire la retta tangente al grafico della funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥² nel punto Q = (3, f(3)).

Abbiamo considerato un secondo punto sulla parabola (grafico di 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥²) e l'abbiamo chiamato P.
Abbiamo descritto le coordinate del punto P tenendo conto della sua distanza sulle ascisse dal punto Q, usando la variabile h:

P = (3+h, f(3+h))

Abbiamo calcolato la pendenza della retta passante per i punti Q e P (questa retta è quindi in posizione secante la parabola):

m = 2 + (1/3)h

Abbiamo avvicinato il punto P sempre più al punto Q, ispirandoci alle osservazioni sulla circonferenza: la pendenza della retta secante si avvicinava sempre più alla pendenza della retta tangente man mano che avvicinavamo i due punti.
Avvicinare P a Q significa avvicinare sempre più h al valore 0. Allora la pendenza della retta diventa:

m = 2

Considerata la funzione 𝑓(𝑥) =(1/3)𝑥², il cui grafico è una parabola, possiamo definire la retta tangente alla parabola nel punto Q = (3, f(3)) come la retta che passa per Q e ha pendenza pari a m, cioè il numero al quale si sta avvicinando la pendenza della retta secante in P e Q quando il punto P si avvicina a Q.

5. Per concludere, abbiamo trovato l'equazione della retta tangente che abbiamo definito, determinando q:

y = 2x - 3

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