La pendenza della retta

Prime considerazioni: la pendenza della strada

I due grafici seguenti rappresentano due tratti di strada, in cui l'asse x rappresenta lo spostamento in orizzontale dei tratti di strada e l'asse y rappresenta il dislivello.

  • Quant'è lo spostamento in orizzontale dei due tratti di strada?

  • Quanto dislivello c'è nei due tratti strada?

Per calcolare lo spostamento in orizzontale dei due tratti di strada dobbiamo considerare i valori sull'asse orizzontale che vengono assunti dal punto iniziale al punto finale. Il tratto della prima strada è AB, il tratto della seconda strada è AC.
Per la prima strada il punto A ha coordinata 𝑥 pari a 200 (m), il punto B ha coordinata 𝑥 pari a 1400 (m). Allora lo spostamento orizzontale della strada 1 è pari a 1400 - 200 = 1200 m.
Per la seconda strada il punto A ha coordinata 𝑥 pari a 200 (m), il punto C ha coordinata 𝑥 pari a 2000 (m). Allora lo spostamento orizzontale della strada 2 è pari a 2000 - 200 = 1800 m.

Il dislivello delle strade è indicato dall'asse verticale.
Per la prima strada il punto A ha coordinata y pari a 50 (m), il punto B ha coordinata y pari a 200 (m). Allora la strada 1 ha un dislivello di 200 - 50 = 150 m.
Per la seconda strada il punto A ha coordinata y pari a 50 (m), il punto C ha coordinata y pari a 200 (m). Allora la strada 2 ha un dislivello di 200 - 50 = 150 m.

  • Qual è la pendenza della strada 1?

  • 150

  • 0.125

  • 8

  • 1209

  • Qual è la pendenza della strada 2?

  • 150

  • 0.08

  • 12

  • 1806

Per parlare di pendenza abbiamo bisogno di fare un rapporto: la pendenza è uguale al dislivello della strada diviso lo spostamento in orizzontale.
Per la prima strada la pendenza è uguale a 150/1200, cioè 0,125.
Per la seconda strada la pendenza è uguale a 150/1800, circa 0,08.

Quindi le due strade hanno lo stesso dislivello ma la prima è più pendente. Infatti, con la strada 1 facciamo lo stesso dislivello della strada 2, ma percorriamo meno km in orizzontale.

Per capire meglio, proviamo a considerare un altro esempio.

strade.pptx

La pendenza della retta

I tratti di strada ci hanno permesso di parlare della pendenza di un segmento. Ora consideriamo la retta che contiene il segmento relativo al primo tratto di strada.

L'equazione generica della retta è y=mx+q. Nel nostro caso, questa retta ha equazione y=0,125x+25.

  • Che informazioni mi dà m sulla retta?

m rappresenta la pendenza della retta. Dato che la retta contiene il segmento relativo al tratto di strada 1 (cioè AB), allora la pendenza della retta coincide con la pendenza del segmento AB e di qualsiasi altro segmento sulla retta. Infatti, prima avevamo calcolato che la pendenza del segmento è proprio 0,125: coincide con m.

Ricordiamo come poter calcolare in generale la pendenza di un segmento di estremi (xA,yA) e (xB,yB):

In generale, se vogliamo calcolare la pendenza m di una retta, possiamo considerare un segmento contenuto nella retta e calcolarne la pendenza usando la formula qui sopra.

Data una retta generica y=mx+q, il coefficiente m rappresenta la pendenza della retta.

La pendenza del sentiero

Il seguente grafico ci mostra un sentiero di montagna. L'asse orizzontale rappresenta la lunghezza del percorso, mentre l'asse verticale rappresenta il dislivello.

Il grafico presenta sei tratti con pendenze diverse. Quali sono le pendenze dei vari tratti?

Il primo tratto va da A=(0,50) a B=(3000,100). Quindi, la pendenza è Δy/Δx=(100-50)/(3000-0) = 0,02.

Il secondo tratto va da B=(3000,100) a C=(4000,200). Quindi, la pendenza è Δy/Δx=(200-100)/(4000-3000) = 0,1.

Il terzo tratto va da C=(4000,200) a D=(5000,150). Quindi, la pendenza è Δy/Δx=(150-200)/(5000-4000) = -0,05.

Il quarto tratto va da D=(5000,150) a E=(6000,400). Quindi, la pendenza è Δy/Δx=(400-150)/(6000-5000) = 0,25.

Il quinto tratto va da E=(6000,400) a F=(6500,400). Quindi, la pendenza è Δy/Δx=(400-400)/(6000-5000) = 0.

Il sesto tratto va da F=(6500,400) a G=(8500,350). Quindi, la pendenza è Δy/Δx=(350-400)/(8500-6500) = -0,03.

Il grafico seguente è dinamico: possiamo spostare il punto P e percorrere il sentiero. A seconda della posizione del punto P, il grafico ci mostra la pendenza del tratto che stiamo percorrendo.
(Link per aprire l'applet in una nuova finestra: https://www.geogebra.org/m/vykhgt6t )

Come abbiamo visto prima, la pendenza di un segmento coincide con la pendenza della retta che lo contiene. Dal grafico vediamo, quindi, ogni segmento con la retta che lo contiene.
A questo punto, possiamo indicare la pendenza di un segmento con il coefficiente m della retta che lo contiene.

Facciamo delle considerazioni su m:

  • Che valori di m ci sono nei vari tratti?

  • Se m varia, come variano i tratti del grafico?

Nei tratti AB, BC, DE m è positivo, mentre m è negativo nel tratto CD. Infatti, come vediamo dal grafico, il tratto CD viene percorso in discesa rispetto agli altri tre.

Dato che m può essere sia positivo che negativo, vediamo come variano i tratti del grafico nei vari casi.
• m > 0 : Il tratto è in salita. Più m è grande, più il tratto è pendente. Lo possiamo vedere bene facendo scorrere il punto P: ad esempio, m è più grande nel tratto BC rispetto al tratto AB e il tratto BC è più inclinato.

• m < 0 : Il tratto è in discesa. Più m diminuisce, più la discesa è ripida. Mentre, quando m (cioè si avvicina allo 0), diventa meno ripida. Ad esempio, nel tratto CD m=-0.05 e nel tratto FG m=-0.03. Dunque mCD < mFG : il tratto CD è più pendente.

• m = 0 : Il tratto ha pendenza nulla, cioè è parallelo all'asse orizzontale. Ad esempio, il tratto EF.

Nell’applet Geogebra seguente vediamo rappresentate due rette r1 e r2. La retta r1 ha pendenza pari a m mentre la retta r2 ha pendenza pari a -m.

In ogni coppia di coefficienti m, quale determina la retta più pendente?

  • m1 = -5, m2 = -10

  • m1 = -3, m2 = -1.2

  • m1 = -0.1, m2 = -0.02

  • m1 = -6/5, m2 = -8/3

Abbiamo visto che più m diminuisce, più la discesa è ripida.

  • -5 > -10, quindi il secondo coefficiente mi dà una retta è più ripida, più pendente.

  • -3 < -1.2, quindi il primo coefficiente mi dà una retta più ripida, più pendente.

  • -0.1 < -0.02, quindi il primo coefficiente mi dà una retta più ripida, più pendente.

  • Confrontiamole: -6/5=-18/15 e -8/3=-40/15. Allora -18/15 > -40/15, cioè -6/5 > -8/3 . Allora il secondo coefficiente mi dà una retta è più ripida, più pendente.