Introduzione alla funzione derivata

Facendo riferimento alla seguente applet, rispondete al questionario, le cui domande sono riportate qui sotto.

Dopo aver discusso il precedente questionario, provate a rispondere ai due questionari relativi alle seguenti applet. Sotto sono riportate le domande.

Ispirandoti ai questionari precedenti, individua punti e/o intervalli a tuo piacere con i requisiti di seguito indicati.

  • Indica una ascissa x (a tua scelta) tale che la pendenza della retta tangente al grafico nel punto di coordinate (x, f(x)) sia ZERO.

  • Indica una ascissa x (a tua scelta) tale che la pendenza della retta tangente al grafico nel punto di coordinate (x, f(x)) sia POSITIVA.

  • Indica una ascissa x (a tua scelta) tale che la pendenza della retta tangente al grafico nel punto di coordinate (x, f(x)) sia NEGATIVA.

  • Indica un intervallo a tuo piacere tale che, per ogni valore x in esso, la pendenza del grafico di f in x sia positiva.

  • Indica un intervallo a tuo piacere tale che, per ogni valore x in esso, la pendenza del grafico di f in x sia negativa.

Possiamo dunque introdurre una nuova funzione definita dalla relazione:

x ↦ pendenza della retta tangente al grafico in (x, f(x))

Questa funzione è detta Derivata di f e associa ad ogni valore x del dominio della funzione f la pendenza della retta tangente nel punto del grafico di coordinate (x, f(x)). Questa funzione è denotata con Df o f'.

Riprendendo quanto abbiamo detto sulla relazione che esiste tra la pendenza della retta tangente al grafico di una funzione e la funzione stessa, notiamo che:

  • se la derivata di f in x è positiva per ogni x appartenente a un intervallo I, allora la funzione f è crescente nell'intervallo I

  • se la funzione f è crescente nell'intervallo I, allora la derivata di f in x è positiva per ogni x appartenente a un intervallo I

  • se la derivata di f in x è negativa per ogni x appartenente a un intervallo I, allora la funzione f è decrescente nell'intervallo I

  • se la funzione f è decrescente nell'intervallo I, allora la derivata di f in x è negativa per ogni x appartenente a un intervallo I.

La funzione derivata

Nell'immagine qui a lato sono raffigurati un tratto del grafico di f e alcuni punti del grafico della derivata.

  • Perché i punti blu appartengono al grafico della derivata? Per ogni punto blu, cosa rappresentano l'ascissa e l'ordinata?

  • Partendo dal grafico, prova a completare in modo approssimativo il grafico della derivata.

Che previsioni possiamo fare sui valori della funzione derivata (i valori della nostra nuova funzione) in relazione all'intervallo del dominio in cui ci poniamo?

Abbiamo visto che:

  • quando ci poniamo in un intervallo in cui la funzione f è crescente (il grafico sta "salendo"), la derivata in quell'intervallo è positiva;

  • quando ci poniamo in un intervallo in cui la funzione f è decrescente (il grafico sta "scendendo"), la derivata in quell'intervallo è negativa;

  • quando osserviamo un punto di massimo o di minimo della funzione f (il grafico ha un punto "di picco" o un punto "di valle"), la derivata in quel punto è pari a 0.

Abbiamo quindi notato che possiamo associare ad ogni valore x del dominio della funzione f la pendenza della retta tangente nel punto del grafico di coordinate (x, f(x)). Questa funzione è detta Derivata di f.