La pendenza del grafico di una funzione cubica

Dato x reale, le funzioni la cui espressione analitica è del tipo f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dove a, b, c, d sono numeri reali con a diverso da 0, sono dette cubiche.

Il caso della funzione 𝑓(𝑥)=(1/100)𝑥3

Consideriamo la funzione f(x)=(1/100)x3. Il suo grafico, con x compreso fra -12 e 12, è rappresentato a destra.

Usando la seguente applet, proviamo a vedere se riusciamo a costruire la retta tangente al grafico di f nel punto Q di coordinate (6, f(6)), seguendo il metodo usato nel caso delle parabole.

Dall'applet sembra che l'idea seguita per le parabole possa andare bene anche in questo caso. Proviamo quindi a calcolare la pendenza della retta tangente nel punto Q.

pendenza cubica.pptx

Per ottenere la pendenza della retta tangente in Q e così definire la retta tangente, dobbiamo considerare il numero al quale si sta avvicinando la pendenza della retta sQP quando P si avvicina a Q, cioè quando h si avvicina a 0. La pendenza della retta tangente a f nel punto (6, f(6)) è 108/100.

Determiniamo q e troviamo l'equazione della retta.

𝑦-𝑦Q = m(𝑥-𝑥Q)
y - 216/100 = 108/100(x - 6)
y = (108/100)x - 432/100

Nella seguente applet troviamo il grafico di f(x)=(1/100)x3 e la retta tangente al grafico nel punto verde (x, f(x)). L'applet ci permette di studiare l'andamento della funzione e il legame con il segno della pendenza. Per modificare l'ascissa del punto verde cliccare i due pulsanti con le frecce.

  • Cosa possiamo dire del segno della pendenza della retta tangente al grafico di f(x)=(1/100)x3 al variare di x?

Modificando l'ascissa del punto verde, notiamo che la pendenza della retta tangente al grafico nel punto verde è sempre positiva. Inoltre, la pendenza si annulla quando 𝑥 vale 0.

  • Come si comporta il grafico di tale funzione? Cosa succede ai valori della funzione modificando le coordinate del punto verde?

Notiamo che, se percorriamo il grafico partendo da un punto e andando nel verso indicato dall'asse delle ascisse, "stiamo salendo", i valori della funzione stanno aumentando. Quindi, la funzione sta crescendo e possiamo immaginare che la funzione continui a crescere.

Alcune osservazioni

  • Nel caso della parabola, dove la pendenza era nulla, la funzione aveva un 'picco' o una 'valle'. In questo caso, invece, non è così. Infatti, la pendenza della retta tangente si annulla nel punto (0, 𝑓(0)).
    Quindi, oltre ai punti in cui la funzione ha un 'picco' o una 'valle', esistono altri punti in cui la pendenza della retta tangente si annulla.

  • Non ci sono intervalli in cui la pendenza è negativa, quindi la funzione non decresce mai: questa funzione è sempre crescente.

  • Rimpiccioliamo il grafico di f. Cosa osserviamo della retta tangente ad f nel punto Q=(6, f(6))? C'è qualcosa in contrasto con il metodo che stiamo usando?

Osserviamo che la retta tangente interseca il grafico di f non solo nel punto Q di tangenza, ma anche in un secondo punto, segnato in giallo nell'immagine qui a lato.
Questo fatto non è in contrasto con la nostra idea di tangente. Infatti, avevamo costruito la retta tangente alla parabola in un punto in modo che la retta assomigliasse sempre più alla parabola attorno al punto di tangenza, scartando la definizione usata per la circonferenza, che invece considerava il numero di punti di intersezione fra retta tangente e parabola. Abbiamo ragionato nello stesso modo anche per le cubiche.

Ci stacchiamo sempre di più dalla definizione che avevamo dato per la circonferenza:

La retta tangente al grafico di una funzione cubica in un punto Q è quella retta che passa per Q e che assomiglia molto al grafico della funzione vicino al punto di intersezione..

Non ci interessa cosa accade fra la retta e il grafico della cubica in punti diversi da Q. Ci interessa il loro legame attorno al punto Q.

Altre funzioni

La seguente applet ci permette di costruire la retta tangente ad una funzione a nostra scelta. Possiamo, infatti, scegliere sia l'espressione analitica di f sia il punto Q in cui vogliamo costruire la tangente.