Approfondimenti

  • Troviamo la retta tangente al grafico della funzione 𝑓(𝑥) =𝑥2 nel punto Q di coordinate (2, f(2)).

  1. Consideriamo la famiglia delle rette secanti la parabola 𝑓(𝑥) =𝑥2 e passanti per Q, usando il parametro h. Chiamiamo P il secondo punto di intersezione tra tali rette e la parabola.

2. Troviamo la pendenza di tali rette secanti:

Conte m x2

3. Abbiamo calcolato m in funzione di h: m = 4+h. Avvicinando sempre più il punto P al punto Q, cioè avvicinando h a 0, determiniamo il valore m per la retta tangente: m=4.

4. Determiniamo q:

𝑦-𝑦Q = m(𝑥-𝑥Q)
y - 4 = 4(x - 2)
y - 4 = 4x -8
y = 4x - 4

La retta tangente a f nel punto Q è y = 4x - 4.

  • Abbiamo visto che la retta tangente al grafico della funzione f(𝑥) =𝑥2 nel punto A di coordinate (2, f(2)) è y = 4x - 4.
    Vogliamo ora definire la retta tangente al grafico della funzione g(𝑥) =𝑥2 +1 nel punto B di coordinate (2, g(2)). Come possiamo fare?

Osserviamo che possiamo ottenere g(𝑥) =𝑥2 +1 traslando 𝑓(𝑥) =𝑥2. Proviamo a sfruttare questa cosa.

Traslazione della parabola lungo l'asse verticale

Consideriamo la funzione f(x) = x2 nel punto A = (2 , f(2)) e g(x) = x2 + 1 e il punto B=(2 , g(2)).

Con la seguente applet possiamo vedere quali sono le due rette tangenti: quella verde è tangente al grafico di f nel punto A, quella rossa è tangente al grafico di g nel punto B.

Vediamo che le due rette tangenti hanno la stessa pendenza, cioè lo stesso coefficiente m, mentre q cambia.

  • Perché le due rette tangenti hanno la stessa pendenza?

La parabola data da g(x) = x2 + 1 si ottiene traslando verso l'alto la parabola data da f(x) = x2.
Quindi, se traslata opportunamente, la parabola che è grafico di g coincide con la parabola grafico di f. Allora la pendenza dei due grafici nei punti A e B coincide.
Possiamo dire che, traslando la parabola verticalmente, nei punti in cui f e g hanno ascissa uguale le pendenze delle rette tangenti ai due grafici saranno uguali.

Concludiamo che la pendenza della retta tangente al grafico di g nel punto di ascissa pari a 2 coincide con la pendenza della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa pari a 2.

  • Cosa possiamo dire di q? Come cambia?

La retta tangente al grafico di g in B è traslata di un valore +1 sull'asse y rispetto alla retta tangente al grafico di f in A. Infatti, qB = - 3 è più grande di un'unità rispetto a qA = - 4.
Questo accade perché i due punti hanno la stessa ascissa (xB = xA = 2), ma

yB = f(2) = 22

yA = g(2) = 22 + 1

Quindi l'ordinata di B è più grande di +1 rispetto l'ordinata di A.

Traslando una parabola in verticale, la parabola traslata ha la stessa pendenza della parabola non traslata nei punti con uguale ascissa.

Altre funzioni

La seguente applet può essere usata per costruire le rette tangenti ad una funzione a nostra scelta. Possiamo, infatti, scegliere sia l'espressione analitica di f sia il punto Q in cui vogliamo costruire la tangente.