Comprendre les notions de base d'un ensemble :

• Définir un ensemble et identifier des exemples concrets d’ensembles dans divers contextes mathématiques et pratiques.

• Apprendre les notations couramment utilisées pour représenter les ensembles.

Maîtriser les modes de définition des ensembles :

• Différencier entre la définition en extension (énumération explicite des éléments) et la définition en compréhension (description des éléments par une propriété caractéristique).

• Savoir représenter un ensemble de manière adéquate en fonction de son contexte et de ses éléments.

Manipuler les opérations sur les ensembles :

• Connaître et appliquer les opérations fondamentales sur les ensembles : union, intersection, différence et complémentaire.

• Utiliser les propriétés des opérations (commutativité, associativité, distributivité) pour simplifier des expressions impliquant des ensembles.

Représenter graphiquement les opérations sur les ensembles :

• Savoir utiliser les diagrammes de Venn pour visualiser les relations entre différents ensembles.

• Illustrer les opérations entre ensembles en utilisant des diagrammes, pour faciliter la compréhension et l’analyse.

Développer des compétences de raisonnement logique appliquées aux ensembles :

• Résoudre des exercices d’application impliquant des ensembles et leurs opérations.

• Acquérir la rigueur dans la manipulation des ensembles, en identifiant et en corrigeant les erreurs courantes (comme la confusion entre les éléments d’un ensemble et ses sous-ensembles).

Les mathématiques fascinent et intriguent depuis des millénaires. Dans leur forme moderne, les concepts que nous utilisons aujourd'hui ont commencé à prendre forme dès l'époque de la Grèce antique, avec des figures emblématiques telles qu'Euclide, Thalès ou Pythagore. Cependant, les bases de cette discipline sont restées floues pendant longtemps : les définitions exposées dans le Livre I des Éléments d’Euclide laissent en suspens bien des points, comme si l’essence même des mathématiques échappait à une structuration rigoureuse.

Ce n'est qu'avec David Hilbert, au début du XXe siècle, que l’on s’est véritablement interrogé sur la solidité de ces fondements. Hilbert et d'autres figures marquantes de cette époque cherchaient à doter les mathématiques de bases logiques irréprochables, avec l'ambition de prouver la cohérence interne de l'ensemble du savoir mathématique. Mais cette quête fut semée d'embûches et aboutit à ce que l'on appelle aujourd'hui la "crise des fondements". En 1901, Bertrand Russell révéla un paradoxe inattendu, connu sous le nom de *paradoxe de Russell*, qui mit en lumière les contradictions inhérentes à une théorie naïve des ensembles.

Pour vulgariser le paradoxe de Russell, imaginons un village où un barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Le barbier devrait-il se raser lui-même ? S'il se rase, alors il ne fait plus partie des hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, donc il ne devrait pas se raser. Mais s'il ne se rase pas, alors il fait partie des hommes qu'il doit raser, donc il devrait se raser. Ce paradoxe, dit "paradoxe du barbier", révèle une incohérence logique semblable à celle que Russell mit en lumière dans les ensembles.

Pour dépasser ces paradoxes, Ernst Zermelo publia en 1908 un ensemble d’axiomes, qu’Abraham Fraenkel compléta par la suite. Ces axiomes posèrent les bases du cadre dans lequel s'énoncent (presque) toutes les mathématiques contemporaines : la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, souvent abrégée en ZF ou ZFC (lorsqu’on y ajoute l’axiome du choix).

Puis, en 1929, Kurt Gödel renforça cette formalisation en énonçant son théorème de complétude, apportant une compréhension des concepts de vrai et de démontrable. Cependant, peu après, en 1931, il démontra également son théorème d’incomplétude, établissant qu’au sein d'une théorie suffisamment riche, il est impossible de prouver sa propre cohérence — un autre écho du paradoxe du menteur. Cette découverte marqua les limites de l'édifice logique que l'on pensait inébranlable.

Bien que cette histoire des fondements des mathématiques soit fascinante, elle s’écarte quelque peu de notre propos. Dans ce chapitre, nous nous concentrerons sur les bases nécessaires pour manipuler les ensembles et les applications (ou fonctions), en introduisant les notations et concepts abstraits essentiels, qui permettront d’aborder les mathématiques de manière rigoureuse.

Vidéos complémentaires : 

• • • • Les "mathématiques modernes" de Bourbaki : 

      • Le théorème de Banach-Tarski

      • Qu'est ce qu'un nombre dans ZF ?

      • Le paradoxe de Russell : de la théorie des ensembles à la théorie des classes

      • Patrick Dehornoy - Deux malentendus de la théorie des ensembles

      • “Georg Cantor et les infinis” par Patrick Dehornoy