Avant d'explorer les fonctionnalités riches et variées de SageMath, il est essentiel de comprendre le paysage des logiciels mathématiques. Ces outils informatiques spécialisés se répartissent en différentes catégories, chacune ayant ses propres caractéristiques et applications spécifiques. Voici quelques-unes des principales catégories de logiciels mathématiques :

• Calculatrices Symboliques: Effectuent des calculs symboliques, manipulant des expressions mathématiques sous forme symbolique plutôt que numérique. Exemples : Mathematica, Maple, Maxima, les fonctionnalités symboliques de SageMath.

• Systèmes de Calcul Formel: Conçus pour effectuer des calculs symboliques avancés, notamment la manipulation d'expressions algébriques complexes. Exemples : SageMath, Maxima, REDUCE.

• Environnements de Programmation Mathématique: Permettent la programmation d'algorithmes mathématiques avec des fonctionnalités de calcul symbolique, numérique et graphique. Exemples : MATLAB, Octave, Scilab.

• Logiciels de Géométrie Dynamique: Facilitent la création et la manipulation interactive d'objets géométriques. Exemple : GeoGebra.

• Logiciels de Statistiques: Utilisés pour l'analyse statistique, la modélisation et la visualisation des données. Exemples : R, SPSS, SAS.

• Solveurs d'Équations: Axés sur la résolution d'équations mathématiques, qu'elles soient algébriques, différentielles, ou autres. Exemples : Wolfram Alpha, Mathematica.

• Logiciels de Programmation Numérique: Utilisés pour résoudre des problèmes numériques, effectuer des simulations et des calculs numériques. Exemples : Python (avec bibliothèques scientifiques comme NumPy et SciPy), Fortran, C++.

• Logiciels de Calcul de Trajectoires et de Visualisation: Permettent la visualisation de courbes, surfaces et objets mathématiques en trois dimensions. Exemples : Mathematica, MATLAB.

• Éditeurs de LaTeX: Principalement utilisés pour la création de documents scientifiques et la présentation professionnelle des résultats mathématiques.

Le calcul formel est une branche des mathématiques qui se concentre sur la manipulation de symboles et d'expressions mathématiques plutôt que sur les valeurs numériques. Il est utilisé pour résoudre des équations, simplifier des expressions, effectuer des intégrations symboliques et bien plus encore.

Exemple avec NumPy de Python (Voir numpy.poly1d.html pour plus de détails): 

    // Définissons des coefficients de polynôme

coefficients = [1, 0, 1]; // liste des coefficients pour x^2 + 0*x + 1

    // Définissons le polynôme à partir de la liste de ces coefficients

polynomeNumpy = numpy.poly1d(coefficients);

    // Évaluons le polynôme pour une valeur spécifique

valeurEval = polynomeNumpy(2);

SageMath (Anciennement connu sous le nom SAGE, acronyme de "a Computer System for Algebra and Geometry Experimentation") , est un logiciel libre de Mathématiques. Il est conçu pour les mathématiciens, chercheurs, enseignants, et étudiants, offre une solution complète pour résoudre divers problèmes mathématiques.   

SageMath est implémenté en utilisant le langage de programmation Python et il offre la prise en charge de plusieurs paradigmes de programmation, notamment la programmation procédurale, la programmation fonctionnelle et la programmation orientée objet.

SageMath est une puissante plateforme de calcul formel qui permet aux utilisateurs de manipuler symboliquement des expressions mathématiques complexes, d'effectuer des calculs algébriques avancés et de résoudre divers problèmes mathématiques en exploitant les outils de calcul formel intégrés. Voici quelques caractéristiques spécifiques liées au calcul formel dans SageMath :

• 1. Algèbre Symbolique : Manipulation des expressions mathématiques symboliques  (simplification, factorisation, résolution d'équations, dérivation symbolique, ...).

  2. Intégration de Logiciels de Calcul Formel : SageMath intègre plusieurs systèmes de calcul formel bien établis tels que Maxima, Singular, PARI/GP, et d'autres. Cela étend considérablement ses capacités en fournissant un accès à un large éventail de fonctionnalités spécialisées.

  3. Manipulation des Polynômes et des Séries: Le logiciel permet la manipulation aisée des polynômes et des séries formelles. 

  4. Solveurs d'Équations: SageMath propose des solveurs d'équations symboliques pour résoudre des équations algébriques, différentielles, et d'autres types d'équations mathématiques.

  5. Calcul Formel en Géométrie : Outre l'algèbre, SageMath intègre également des fonctionnalités de calcul formel en géométrie, facilitant la manipulation symbolique d'objets géométriques.

  6. Programmation en Python: SageMath utilise Python comme langage de programmation sous-jacent. Cela signifie que les utilisateurs peuvent combiner le calcul formel avec la programmation impérative et orientée objet, ce qui offre une flexibilité supplémentaire.

SageMath propose deux modes d'utilisation distincts : un mode bloc-notes accessible via un navigateur web et un mode en ligne de commande. Grâce au mode bloc-notes, il n'est pas nécessaire d'installer SageMath localement sur votre ordinateur, car il fonctionne en tant que client-serveur, permettant ainsi une utilisation à travers un réseau tel qu'Internet.

Pour plus de détail voir https://www.sagemath.org/fr/

SageMath repose sur l'utilisation avisée de bibliothèques open source disponibles, empruntant ainsi à de nombreux projets pour la création de son ensemble d'outils complet.

Contenu mathématique de SageMath :

• Algèbre : GAP, Maxima, SINGULIER

• Géométrie algébrique : SINGULIER

• Arithmétique à précision arbitraire : GMP, MPFR, MPFI, NTL

• Géométrie arithmétique : PARI / GP, NTL, mwrank, ecm

• Calcul : Maxima, Sympy, GiNaC

• Combinatoire : Symmetrica, Sage-Combinat

• Algèbre linéaire : ATLAS, BLAS, LAPACK, NumPy, LinBox, IML, GSL

• Théorie des graphes : NetworkX

• Théorie du Groupe : GAP

• Analyse numérique : GSL, SciPy, NumPy, ATLAS

• Théorie des nombres : PARI / GP, FLINT, NTL

• Calcul statistique : R, SciPy

Autres progiciels inclus dans SageMath :

• Ligne de commande : IPython

• Base de données : ZODB, Python Pickles, SQLite

• Interface graphique : Notebook Sage, jsmath

• Graphiques : Matplotlib, Tachyon3d, GD Graphics Library, Jmol

• Langage de programmation interactif : Python

• Mise en réseau : Tordu

Autres logiciels mathématiques en option dans SageMath :

• Géométrie et Calcul différentiel : Sage Collecteurs