CONFERENCIA

Conjetura de Poincaré. 3ª parte:

La solución de Grigory Perelman

por D. Roberto Álvarez Chust

Ingeniero de Telecomunicación

Martes 27 de Junio de 2010 -4º del mes- de 19 a 21h

Círculo Salmantino

c/ Santa Cruz de Marcenado nº 13, 28015 Madrid

Tal y como hemos visto en las dos charlas anteriores la Conjetura de Poincaré (1904) es un problema topológico y hemos dedicado unas cuantas horas a ilustrar visualmente aquellos conceptos de Topología necesarios para intentar entender su enunciado.

Hemos visto como la Topología se separaba de la Geometría; no importaban las distancias, ángulos, áreas, ... Y aunque ya en 1907 el propio Poincaré introdujo ideas geométricas (Teorema de Uniformización), la conjetura se ha tratado y atacado básicamente desde un punto de vista topólogico. Se desarrollaron multitud de ideas y conceptos, pero no fueron suficientes para probarla o refutarla.

La venganza de la geometría. En 1982 Thurston revolucionó el panorama introduciendo de lleno conceptos geométricos en el reino de la Topología. Y en 2002-2003 el geómetra Perelman, siguiendo el programa de Hamilton, demostró la conjetura con métodos basados en la geometría riemanniana y las ecuaciones diferenciales no lineales.

En esta charla vamos a ver muy por encima las ídeas en que se basa la demostración de Perelman. Lo más interesante para nosotros es el trabajo de Hamilton. El trabajo de Perelman es extremadamente técnico y “se limita” a soslayar los obstáculos que no pudo salvar Hamilton.

Aunque la conjetura sabemos que es un problema relacionado con la esfera S3, al igual que hicimos antes, presentaremos parte de los conceptos utilizando variedades de dimensión 2 (superficies) o incluso 1 (curvas).

El concepto fundamental en el que se apoya todo es el de flujo de Ricci. Pero antes recordaremos un fenómeno físico que nos va ser de gran utilidad: la propagación del calor en una barra, y su representación por medio de la ecuación de Fourier de la propagación del calor

La ecuación de Ricci es una ecuación de evolución de la curvatura. Lo veremos con imágenes para las dimensiones 1 y 2, como introducción al caso de dimensión 3.

La curvatura en 3D nos llevará a los conceptos de métrica, tensor de Riemann y tensor o curvatura de Ricci

Veremos como tomando la idea del flujo de temperaturas, Hamilton “invento” la ecuación que se conoce como “Flujo de Ricci”

A pesar de sus enormes logros durante 20 años, Hamilton se encontró con que en determinadas variedades se podría desarrollar un tipo de singularidad, conocida como solitón cigarro, que hacía imposible la demostración de las conjeturas.

Perelman siguió el programa de Hamilton, pero extendiendo sus métodos, de forma que fueran aplicable a todo tipo de variedades.

Veremos brevemente y sin entrar en tecnicismos los diferentes tipos de singularidades (esferas, tubos delgados y largos y solitones cigarro) y las herramientas utilizadas por Perelman (Reescalado parabólico, función Entropia, Teorema de No Colapso Local, Teorema de Vecindad Canónica) para soslayar todos los problemas y demostrar no solo la Conjetura de Poincaré si no también la Conjetura de Geometrización de Thurston.