CONFERENCIA
Conjetura de Poincaré. 1ª parte:
Una excursión visual por los conceptos básicos de topología necesarios para entender los enunciados de la Conjetura de Poincaré y de la Conjetura de Geometrización de Thurston
por D. Roberto Álvarez Chust
Ingeniero de Telecomunicación
Martes 24 de Noviembre de 2009 -4º del mes- de 19 a 21h
Locandita
c/ Fuencarral 148, 28015 Madrid
La Conjetura de Poincaré (CdP), ahora ya Teorema de Poincaré, es (junto con la Hipótesis de Riemann) uno de los problemas más difíciles de las matemáticas. Ha resistido casi 100 años (desde 1904) a los mejores matemáticos, incluyendo el propio Poincaré, y ha sido resuelta hace poco (2002 –2003) por Grigory Perelman.
¿Con qué tiene que ver la Conjetura de Poincaré? Poincaré era un maestro de la física, las matemáticas, la filosofía, ... y se preguntaba por la forma del Universo. La Conjetura de Poincaré tiene que ver en principio con la forma del Universo. Poincaré se dio cuenta de que las matemáticas que había no eran válidas para su propósito e inventó y desarrolló la rama de las matemáticas que hoy conocemos como Topología (inicialmente Analysis Situs).
Hablaremos también de lo que se conoce como Conjetura de Geometrización de Thurston (ahora también gracias a Perelman, Teorema de Geometrización). La CdP solo decía que si se cumplían determinadas condiciones el universo tenía una geometría muy particular (esfera S3). La CdGdT indica todas las posible formas del universo: una combinación de 8 formas básicas. Es mucho más amplia e incluye como caso particular a la CdP.
La presentación completa se divide en tres partes:
las dos primeras dedicadas a entender el enunciado de las conjeturas y la tercera dedicada a la solución de Perelman
Como problema topológico que es, es fundamental saber algo de topología y sobre todo de lo que hay detrás de la palabra “variedad” (manifold).
Utilizaremos sobre todo imágenes y no entraremos en demostración alguna. Pocas fórmulas y algunas muy conocidas por todos.
En la primera charla veremos algunos elementos básicos de topología (modelos planos de Félix Klein, sumas conexas, ...) que nos permitirán desarrollar con numerosos ejemplos el concepto de variedad bidimensional.
Comentaremos algunas propiedades de las geometrías no euclideas y hablaremos sobre la curvatura de Gauss y el número de Euler.
Concluiremos esta primera parte dedicada a las variedades bidimensionales con el Teorema de Gauss-Bonnet que enlaza de modo magistral dos mundos en principio diferentes: geometría y topología.