Le programme de mathématiques est structuré selon cinq thèmes :

1. nombres et calculs ;

2. organisation et gestion de données, fonctions ;

3. grandeurs et mesures ;

4. espace et géométrie ;

5. algorithmique et programmation qui entre dans le cadre d’un enseignement de l’informatique dispensé conjointement en mathématiques et en technologie.

Une place importante doit être accordée à la résolution de problèmes. Mais pour être en capacité de résoudre des problèmes, il faut à la fois prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s’y engager sans s’égarer en procédant par analogie, en rattachant une situation particulière à une classe plus générale de problèmes, en identifiant une configuration géométrique ou la forme d’un nombre ou d’une expression algébrique adaptée. Ceci suppose de disposer d’automatismes (corpus de connaissances et de procédures automatisées immédiatement disponibles en mémoire). À la fin de l’explicitation des attendus de fin de cycle de chacun des quatre premiers thèmes du programme figure une liste de ces automatismes à développer par les élèves. L’acquisition de ces automatismes est favorisée par la mise en place d’activités rituelles, notamment de calcul (mental ou réfléchi), ayant pour double objectif la stabilisation et la pérennisation des connaissances, des procédures et des stratégies.

La formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels du cycle 4. Le raisonnement, au coeur de l'activité mathématique, doit prendre appui sur des situations variées (par exemple problèmes de nature arithmétique ou géométrique, mais également mise au point d’un programme qui doit tourner sur un ordinateur ou pratique de jeux pour lesquels il faut développer une stratégie gagnante, individuelle ou collective, ou maximiser ses chances).

Le programme du cycle 4 permet d’initier l’élève à différents types de raisonnement, le raisonnement déductif, mais aussi le raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde. La démonstration, forme d’argumentation propre aux mathématiques, vient compléter celles développées dans d’autres disciplines et contribue fortement à la formation de la personne et du citoyen (domaine 3 du socle). L’apprentissage de la démonstration doit se faire de manière progressive, à travers la pratique (individuelle, collective, ou par groupes), mais aussi par l’exemple. C’est pourquoi il est important que le cours de mathématiques ne se limite pas à l’application de recettes et de règles, mais permette de mettre en place quelques démonstrations accessibles aux élèves. De nombreux résultats figurant dans ce programme peuvent être démontrés en classe, selon des modalités variées : certaines démonstrations peuvent être élaborées et mises au point par les élèves eux-mêmes (de manière individuelle ou collective), sous la conduite plus ou moins forte du professeur ; d’autres, inaccessibles à la recherche des élèves, tireront leur profit des explications et des commentaires apportés par le professeur. Certaines démonstrations possibles (aussi bien sur les nombres et le calcul qu’en géométrie) sont identifiées dans le programme. Les enseignants ont la liberté de choisir ceux des résultats qu’ils souhaitent démontrer ou faire démontrer, en fonction du niveau et des besoins de leurs élèves. Enfin, il vaut mieux déclarer « admise » une propriété non démontrée dans le cours (qui pourra d’ailleurs l’être ultérieurement), plutôt que de la présenter comme une « règle ». Une propriété admise gagne à être explicitée, commentée, illustrée.

En complément, dans le cadre du travail personnel soumis aux élèves, beaucoup d’exercices et de problèmes peuvent servir de support à la démonstration. De manière à encourager les élèves dans l’exercice de la démonstration, il est important de ménager une progressivité dans l’apprentissage de la recherche de preuve et de ne pas avoir trop d’exigences concernant le formalisme.

Repères de progressivité

• Les Nombres décimaux

Le travail est consolidé notamment lors des résolutions de problèmes.

• Les fractions et nombres rationnels

La notion de fraction irréductible est abordée, en lien avec celles de multiple et de diviseur qui sont travaillées tout au long du cycle.

• Racine carré

La racine carrée est utilisée dans le cadre de la résolution de problèmes. Aucune connaissance n’est attendue sur les propriétés algébriques des racines carrées.

• Puissance

Les puissances de base quelconque d’exposants négatifs sont introduites et utilisées pour simplifier des quotients. La connaissance des formules générales sur les produits ou quotients de puissances n’est pas un attendu du programme : la mise en oeuvre des calculs sur les puissances découle de leur définition.

• Divisibilité et nombres premiers

La notion de fraction irréductible est introduite. L’utilisation d’un tableur, d’un logiciel de programmation ou d’une calculatrice permet d’étendre la procédure de décomposition en facteurs premiers.

• Les expression littérales

Le travail sur les expressions littérales est consolidé avec des transformations d’expressions, des programmes de calcul, des mises en équations, des fonctions…

• La Distributivité

La double distributivité est abordée. Le lien est fait avec la simple distributivité. Il est possible de démontrer l’identité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd en posant k = a + b et en utilisant la simple distributivité.

• Les équations

La factorisation d’une expression du type a² - b² permet de résoudre des équations produits se ramenant au premier degré (notamment des équations du type x² = a en lien avec la racine carrée). Aucune virtuosité calculatoire n’est attendue dans les développements et les factorisations.

• Les statistiques

Un indicateur de dispersion est introduit : l’étendue. Le travail sur les représentations graphiques, le calcul, en particulier celui des effectifs et des fréquences, et l’interprétation des indicateurs de position est consolidé. Un nouveau type de diagramme est introduit : les histogrammes pour des classes de même amplitude.

• Les Probabilités

Le constat de la stabilisation des fréquences s’appuie sur la simulation d’expériences aléatoires à une épreuve à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel de programmation. Les calculs de probabilités, à partir de dénombrements, s’appliquent à des contextes simples faisant prioritairement intervenir une seule épreuve. Dans des cas très simples, il est cependant possible d’introduire des expériences à deux épreuves. Les dénombrements s’appuient alors uniquement sur des tableaux à double entrée, la notion d’arbre ne figurant pas au programme. Les élèves simulent une expérience aléatoire à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel de programmation.

• La Proportionnalité

Le lien est fait entre taux d’évolution et coefficient multiplicateur, ainsi qu’entre la proportionnalité et les fonctions linéaires. Le champ des problèmes de géométrie relevant de la proportionnalité est élargi (homothéties, triangles semblables, configurations de Thalès).

• Les fonctions

Les notions de variable, de fonction, d’antécédent, d’image sont formalisées et les notations fonctionnelles sont utilisées. Un travail est mené sur le passage d’un mode de représentation d’une fonction (graphique, symbolique, tableau de valeurs) à un autre. Les fonctions affines et linéaires sont présentées par leurs expressions algébriques et leurs représentations graphiques. Les fonctions sont utilisées pour modéliser des phénomènes continus et résoudre des problèmes.

• Calculer des grandeurs mesurables

La formule donnant le volume d’une boule est utilisée. Le travail sur les grandeurs mesurables et les unités est poursuivi. Il est possible de réinvestir le calcul avec les puissances de 10 pour les conversions d’unités. Par exemple, à partir de : 1 m = 102 cm, il vient 1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 ou, à partir de : 1 dm = 10-1 m, il vient 1 dm3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3.

• Effets des transformations sur des grandeurs géométriques

Les élèves connaissent et utilisent l’effet des transformations au programme (symétries, translations, rotations, homothéties) sur les longueurs, les angles, les aires et les volumes. Le lien est fait entre la proportionnalité et certaines configurations ou transformations géométriques (triangles semblables, homothéties).

• Représenter l'espace

Le repérage s’étend à la sphère (latitude, longitude). Un logiciel de géométrie est utilisé pour visualiser des solides et leurs sections planes. Les élèves produisent et mettent en relation différentes représentations des solides étudiés (patrons, représentation en perspective cavalière, vues de face, de dessus, en coupe).

• Figures planes et Configurations

Une définition et une caractérisation des triangles semblables sont données. Le théorème de Thalès et sa réciproque dans la configuration du papillon sont énoncés et utilisés (démonstration possible, utilisant une symétrie centrale pour se ramener à la configuration étudiée en quatrième). Les lignes trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) dans le triangle rectangle sont utilisées pour calculer des longueurs ou des angles. Deux triangles semblables peuvent être définis par la proportionnalité des mesures de leurs côtés. Une caractérisation angulaire de cette définition peut être donnée et démontrée à partir d’un cas d’égalité des triangles et d’une caractérisation angulaire du parallélisme.

• Les Transformations du plan

Les élèves transforment (à la main ou à l’aide d’un logiciel) une figure par rotation et par homothétie (de rapport positif ou négatif). Le lien est fait entre angle et rotation, entre le théorème de Thalès et les homothéties. Les élèves identifient des transformations dans des frises, des pavages, des rosaces. Les définitions ponctuelles d’une translation, d’une rotation et d’une homothétie ne figurent pas au programme. Pour faire le lien entre les transformations et les configurations du programme, il est possible d’identifier (à la main ou à l’aide d’un logiciel de géométrie) l’effet, sur un triangle donné, de l’enchaînement d’une translation, d’une rotation et d’une homothétie, voire d’une symétrie axiale et réciproquement, pour deux triangles semblables donnés, chercher des transformations transformant l’un en l’autre.

• Écrire, mettre au point et exécuter un programme

À un troisième niveau, l’utilisation simultanée de boucles « répéter … fois », et « répéter jusqu’à … » et d’instructions conditionnelles permet de réaliser des figures, des calculs et des déplacements plus complexes. L’écriture de plusieurs scripts fonctionnant en parallèle permet de gérer les interactions et de créer des jeux. La décomposition d’un problème en sous-problèmes et la traduction d’un sous-problème par la création d’un bloc-utilisateur contribuent au développement des compétences visées.