複素解析学II+演習2012

●７月１８日の講義予定（最終回）

・複素領域ではCauchy-Riemannの方程式が解をもつことをRungeの近似定理を用いて証明

・Cauchy-Riemannの方程式の解をもちいて，Weierstrassの定理(零点を指定して正則関数を作る)および 補間定理(離散的な集合上での関数を正則関数に拡張する)を証明した

・1/sin^2 zおよび1/sin zの部分分数展開

●７月１１日は休講

●７月 ４日の講義予定

・Rungeの近似定理の証明

・正則関数に関する凸包を用いて領域を内側からRungeの定理の仮定をみたすコンパクト集合の列で近似する方法

●６月２７日の講義予定

・Mittag-Lefflerの定理とクザンの第１問題

・クザンの第１問題とCauchy-Riemannの方程式が解をもつことの同値性の証明

●６月２０日の講義内容

・離散加群の基底は高々２であることの証明

・楕円関数の性質（正則なら定数；基本領域上の留数の和は０；次数の定義；次数は２以上）

・ぺー関数の級数による定義、その収束性の証明

・ペー関数のみたす微分方程式

・ペー関数の微分の零点は半周期であり、半周期でのペー関数の値は相異なる

●６月１３日の講義内容

・曲線に沿った解析接続を定義し、その一意性を証明

・ホモトピーを定義し、モノドロミー定理の証明を与えた

・定数でない整関数の逆函数として大域的解析函数が定義されることを証明。 これで Log z, √z などが解析函数として定義されることがわかる

・有理型関数の周期の定義，例：Jacobiの楕円関数

●６月６日の講義内容

・関数のgermと層の定義．

・正則関数の層を定義し、その連結成分として 大域的解析関数しいくつかの例を説明。

・Weierstrass による解析接続と正則関数の層の連結成分の関係

・大域的解析関数の一致の定理

●５月３１日の講義内容

・Barrierが存在する領域ではDirichlet問題の解が存在する

・グリーン関数の定義とリーマン写像との関係

・Green関数の双正則写像による不変性とリーマン写像との関係

・冪級数の解析接続の定義

●５月２３日の講義内容

・Harnackの不等式、Harnackの定理

・劣調和関数, Perronの方法によるのDirichlet問題の解法

●５月１６日の講義内容

・長方形を上半空間に移す双正則写像の積分表示とJacobiの楕円関数．

・調和関数の平均値の性質と最大値の原理

・Poissonの公式と円板でのDirichlet問題の解

●５月９日の講義内容

・鏡像の原理；実解析的な曲線に関する鏡像も考える

・Schwarz-Christoffelの公式の証明

●５月２日の講義内容

・穴のない領域と単連結領域の同値性の証明

・双正則写像の境界挙動（ジョルダン領域の間の双正則写像は境界まで同相に拡張できる；一般の場合の証明は位相的な議論が必要なので境界が区分的C^1の場合に限って証明を与えた）

●４月２５日の講義内容

・正規族であることと閉包のコンパクト性は同値

・Ascoli-Arzelaの定理

・Montelの定理の証明

・閉曲線が0とhomologusであることの定義を(回転数を用いて)与え、homologically trivialな領域を定義した。

・0とhomologusである閉曲線にたいするCauchyの積分定理の証明； この定理からとくにhomologically trivialな領域は解析的単連結であることがわかる

●４月１８日の講義内容

・全ての正則関数の原始関数が存在する領域を解析的単連結領域と定義した

・ホモトピー型のCauchyの積分定理を用いると単連結なら解析的単連結であることが分かる．

・解析的単連結領域は双正則同値で保たれる

・Riemannの写像定理の証明 (解析的単連結の仮定で証明した)；Schwarzの補題、Montelの定理、Hurwitzの定理を用いる。Montelの定理の証明は来週．

・Riemannの写像定理を用いると解析的単連結なら単連結であることがわかる．

・正規族の定義：複素領域から距離空間への連続写像の族で一般的に考える

●４月１１日の講義内容

・双正則同値な領域の例

・双正則写像は等角性をもつ

・全単射正則関数の逆写像は正則（偏角の原理の応用）

・Riemannの写像定理の証明 (単射性の証明まで); Schwarzの補題を用いる