電,磁性材料模型(E,M Models)

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【電性材料模型 (E. models)】 Electric Dispersion Models

【磁性材料模型 (M. models)】Magnetic Dispersion Models

D = ε₀ ε_r E = εE

ε_r：相對電導率(relative permittivity )

ε：電容率（permittivity）

ε₀：真空或自由空間中的介電常數（permittivity of free space）

當電磁波碰到自然界的物質材料通常都會有色散的現象，同一種材料中、不同的電磁波波長所對應的折射率也會因此有所變化。一般如金屬或半導體或一些複合性物質，這些材料都有其色散的特性。可以參考以下網址

http://refractiveindex.info/?shelf=main&book=Ag&page=Rakic

裡面可觀看材料的n,k值。若您感興趣的材料沒有在裡面，請試著上網搜尋材料名稱+n,k database.應該都會有描述

其中

ε_r = epsr(omega) = epsr(real)+epsr(Imag)=(n+ik)^2

epsr(real)=n^2-k^2

epsr(Imag)=2nk

在風行裡內建五種電性材料模型及五種磁性材料模型。也就是說我們最多可在一次的模擬中同時使用五種電性材料模型、及五種磁性材料模型。

Debye, Drude, Lorentz, Modified Lorentz這些在FDTD裡是非常常用的色散模型，這些模型就是用來擬合實際材料色散的方法。

Debye:常用於擬合(Fit)一些身體組織如(Skin,Blood,Bone,Brain(white matter),Brain(grey matter),Mussle, Heart, liver, etc.)，就是肌肉、骨頭、大腦、心臟、皮膚等等，可參考這篇

Mohammed Eleiwa and Atef Z. Elsherbeni, “Debye Constants for Biological Tissues from 30 Hz to 20 GHz,” Applied Computational Electromagnetics Society (ACES), vol. 16, no. 3, pp. 202-213, November 2001.

Drude,Lorentz : 這兩者的模型常一起組合來用，用來描述金屬的相對電導率對波長的變化情形。風行已內建下面這篇論文裡的金屬材料可供使用，Ag,Au,Cu,Al,Be,Cr,Ni,Pd,Pt,Ti,W等等。這些材料詳細的作用範圍及描述請參考論文。

Aleksandar D. Rakić, Aleksandra B. Djurišić, Jovan M. Elazar, and Marian L. Majewski, "Optical properties of metallic films for vertical-cavity optoelectronic devices," Appl. Opt. 37, 5271-5283 (1998)

http://www.opticsinfobase.org/ao/abstract.cfm?URI=ao-37-22-5271

而這篇是Bora Ung整理上篇的材料所寫的Matlab檔案

Drude-Lorentz and Debye-Lorentz models for the dielectric constant of metals and water

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/18040-drude-lorentz-and-debye-lorentz-models-for-the-dielectric-constant-of-metals-and-water/content/LD.m

下面是如何將那篇論文裡的參數，轉成風行所使用參數的範例

（請對照論文裡Drude-Lorentz與風行的Drude-Lorentz公式係數關係，只需轉一下係數即可）

例如

clear ; clc;

lambda=[100:5:1000]*1e-9;

twopic = 1.883651567308853e+09; % twopic=2*pi*c where c is speed of light

omega = twopic.*(lambda.^(-1)); % angular frequency of light (rad/s)

invsqrt2 = 0.707106781186547; % 1/sqrt(2)

ehbar = 1.51926751447914e+015; % e/hbar where hbar=h/(2*pi) and e=1.6e-19

'================Ag===============================';

Name='Ag';

epsinf=1;

% Plasma frequency

omegad = 9.01*ehbar;

% Oscillators' strenght

f0 = 0.845;

f = [ 0.065 0.124 0.011 0.840 5.646];

% Damping frequency of each oscillator

Gamma0=0.048*ehbar;

Gamma = [ 3.886 0.452 0.065 0.916 2.419]*ehbar;

% Resonant frequency of each oscillator

omegap = [0.816 4.481 8.185 9.083 20.29]*ehbar;

'================Ag===============================';

轉成風行

'========(FonSinEM)========'

epsinf

Wd=sqrt(f0)*omegad

gamad=Gamma0

eps_p=sqrt(f).*omegad

Wp=omegap

gamap=Gamma

'========(FonSinEM)========'

%drude

epsilon=epsinf-Wd^2./(omega.^2+1j*omega*gamad);

%lorentz

for i=1:length(eps_p)

epsilon=epsilon-eps_p(i)^2./(omega.^2+1j.*omega*gamap(i)-Wp(i)^2);

end

figure(1);hold on;

plot(lambda*1e9,real(epsilon),'r','linewidth',3);

plot(lambda*1e9,imag(epsilon),'b','linewidth',3);

legend('real part','imaginary part')

hold off;

title('Ag');

xlabel('\lambda (nm)');

ylabel('\epsilon');

執行結果 : 對照風行的材料輸入方塊

epsinf =

Wd =

1.258309273122320e+016

gamad =

7.292484069499872e+013

eps_p =

1.0e+016 *

Columns 1 through 4

0.348992200356488 0.482025357341264 0.143567251194280 1.254580941155052

Column 5

3.252591176906756

Wp =

1.0e+016 *

Columns 1 through 4

0.123972229181498 0.680783773238103 1.243520460601176 1.379950683401403

Column 5

3.082593786878175

gamap =

1.0e+015 *

Columns 1 through 4

5.903873561265938 0.686708916544571 0.098752388441144 1.391649043262892

Column 5

3.675108117525039

對照輸入

下面這些是材料的ε_r(l)相對電導率對波長變化

###當設定好材料模型的參數後，利用【設計分析圖形介面=>設計結構】，在指令輸入區塊中輸入風行內建的 epsr_cal() 函數，即可畫出參數的ε_r(l)相對電導率對波長變化。函數使用指令放在【設計分析圖形介面=>指令變數=>其他】，或如下

===== epsr_cal(omega array) ========%可計算電性材料模型相對電導率對波長的關係

%可用變數 epsr_model_1 :第一個材料模型,以此列推共有五個可用

%epsr_model_2;epsr_model_3;epsr_model_4;epsr_model_5

clear RunNumber

RunNumber=100;

lambda_start=100e-9;

lambda_end=1000e-9;

w1=2*pi*cc/lambda_end;

w2=2*pi*cc/lambda_start;

omega_input=linspace(w1,w2,RunNumber);

%使用風行內建函數

epsr_cal(omega_input) ;

epsr_metal= epsr_model_1;

figure(1);hold on;

plot(1./omega_input,real(epsr_model_1),'r','linewidth',3);

plot(1./omega_input,imag(epsr_model_1),'b','linewidth',3);

xlabel('\lambda (nm)');

ylabel('\epsilon r');

hold off;

Modified Lorentz :請參考此篇論文

A. Deinega and S. John, “Effective optical response of silicon to sunlight in the finite-difference time-domain method,” Opt. Lett. 37, 112-114 (2012)

http://www.opticsinfobase.org/ol/abstract.cfm?uri=ol-37-1-112

這個擬合模型對於更複雜的色散曲線有更容易擬合的作用。我亦是考慮到擬合的工具方便性而選擇這四種(Debye,Drude,Lorentz,Modified Lorentz)擬合模型寫入風行。在下面這個同樣是免費的FDTD軟體網址裡，有提供擬合的工具fitting program (Matlab 語言所寫，很建議使用)，可擬合這四種模型。本軟體裡也有提供Drude,Lorentz的擬合工具(fitting tool)。

Electromagnetic Template Library (EMTL)

http://fdtd.kintechlab.com/en/fitting

可能您在看論文時可能會有其他擬合的模型，如

Complex-Conjugate Pole-Residue Pairs Model

M. Han , R. W. Dutton and S. Fan "Model dispersive media in finite-difference time-domainmethod with complex-conjugate pole-residue pairs", IEEEMicrow. Wireless Comp. Lett., vol. 16, no. 3, pp.119 -121 2006

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=1603585&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D1603585

D. Barchiesi and T. Grosges, “Fitting the optical constants of gold, silver, chromium, titanium, and aluminum in the visible bandwidth,” Journal of Nanophotonics, vol. 8, no. 1, 083097, 2014

http://nanophotonics.spiedigitallibrary.org/article.aspx?articleid=1812806

Brendeland Bormann Model

http://www.opticsinfobase.org/ao/abstract.cfm?URI=ao-37-22-5271

Critical Points Models

Dominique Barchiesi ; Thomas Grosges, "Fitting the optical constants of gold, silver, chromium, titanium, and aluminum in the visible bandwidth",J. Nanophoton. 8(1), 083097 (Jan 06, 2014)

http://nanophotonics.spiedigitallibrary.org/article.aspx?articleid=1812806

這些也都是可以很好擬合色散材料曲線的模型。而有些模型的參數只要做些通分加減的計算，也能轉成Drude-Lorentz來使用。

那麼，從這些開發出來的擬合模型，是否告訴我們要模擬一種材料，並不是只有特定的模型才可以的？

我們看個例子

例如，Drude模型在物理上，是用來解釋自由電子行為的模型，其參數都有其物理上的意義。

參考wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Drude_model。那麼若我們想在FDTD裡模擬一金屬材料，是否需要Drude模型才能描述金屬材料的色散特性?

答案是否定的！

我們不一定要使用Drude,Lorentz 模型來描述金屬

讓我們看看這篇論文

Hongfeng Gai, Jia Wang, and Qian Tian, "Modified Debye model parameters of metals applicable for broadband calculations," Appl. Opt. 46, 2229-2233 (2007)

http://www.opticsinfobase.org/ao/abstract.cfm?URI=ao-46-12-2229

裡面就是使用Debye模型加上電導率(conductivity)，就能在一些金屬介電質率較平滑的頻帶做擬合。因此，用一個簡單的想法來思考這些擬合模型在FDTD裡的作用。FDTD是一個解微分Maxwell方程的工具，基本上就是解數值計算。而這些擬合模型在FDTD裡也只是一些數值。雖然說這些參數都有其物理上的意義，但對於程式語言來說，在滿足穩定條件下，這些參數方程就僅是數值而已！

自然界或人工合成材料，除了一些具有非線性效應的材料，其他只要能使用上述所提到的擬合模型，皆可在風行裡擬合。

那麼有一些材料、如最近比較熱門的石墨烯(graphene)，其電導率(conductivity)隨溫度及波長變化分為Interband與intraband。

參考此篇論文，如下圖

Adam Mock, "Padé approximant spectral fit for FDTD simulation of graphene in the near infrared," Opt. Mater. Express 2, 771-781 (2012)

http://www.opticsinfobase.org/ome/abstract.cfm?URI=ome-2-6-771

石墨烯(graphene)是其電導率是隨著波長改變的，只要將這電導率s(l)隨波長的變化帶入公式中，即可求得ε_r(l)=1-s(l)/(iwε₀) (相對電導率relative permittivity）對應波長的變化曲線。石墨烯intraband能用Drude模型描述，也就是其光學特性類似於金屬、會有表面電漿現象(Surface Plasmon)。而intraband的變化過大不容易用擬合模型逼近。上篇論文使用Pade模型來擬合逼近。下面這篇則是使用前面所提到的Complex-Conjugate Pole-Residue Pairs來做擬合。

H. Lin , M. F. Pantoja , L. D. Angulo , J. Alvarez , R. G. Martin and S. G. Garcia "FDTD modeling of graphene devicesusing complex conjugate dispersion material model", IEEEMicrow. Wireless Compon. Lett., vol. 22, no. 12, pp.612 -614 2012

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/abstractReferences.jsp?arnumber=6845375&navigation=1

無論是使用何種模型來做擬合的工具，只要能擬合出材料的ε_r(l)相對電導率對波長變化，就能將石墨烯應用在在FDTD模擬計算中了。

請參考擬合工具介紹