serie di Fourier

$\,f(x)\,$

$\ 2 \pi$

$\,[0,2\pi]\,$

Consideriamo una funzione di una variabile reale a valori complessi che sia periodica con periodo e a quadrato integrabile sull'intervallo . Definiamo tramite la "Formula di analisi":

$F_n := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-inx}dx$

$\,f(x)\,$

In tal caso la rappresentazione mediante serie di Fourier della è data dalla "Formula di sintesi":

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}$

$\,f(x)\,$

Ciascuno dei termini di questa somma è chiamato modo di Fourier. Nell'importante caso particolare nel quale la è una funzione a valori reali, spesso risulta utile servirsi dell'identità

$e^{inx} \,=\, \cos(nx)+i\sin(nx)$

$\,f(x)\,$

$\,\cos(nx)\,$

$\,\sin(nx)\,$

per rappresentare equivalentemente come combinazione lineare infinita di funzioni della forma e , cioè come

dove

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \quad\mbox{,}\quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx \quad\mbox{e}\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$

;

ESEMPI SVILUPPI IN SERIE DI SEGNALI

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