Objet de la formation 

Il s'agit de partager quelques aspects d'une recherche en cours portant sur la théorie de l'information et de l'entropie de Shannon, une source inépuisable de questionnement. S'agissant de familles finies de variables aléatoires, ce thème se lie à celui des structures connectives de ces familles. La notion d'indépendance qui semble d'abord très claire lorsque seules deux variables sont en jeu se complexifie avec le nombre, comme se complexifient les diagrammes de Venn géométriques à nombre croissant de composantes. Nous présenterons ainsi des diagrammes de Venn entropiques, où viennent notamment s'inscrire les structures connectives de dépendance au sein des familles finies de variables aléatoires discrètes à valeurs quelconques, que nous présenteront également. 

Prérequis

Il n'y avait pas de pré-requis, juste l'indication de la possibilité de se reporter à ma conférence antérieure sur le même thème : 29 janvier 2025, Zones d'incertitude : entropie, information et structures connectives, séminaire CLE (Paris)

Programme de l'atelier

Introduction à la théorie des espaces connectifs

Présentation des énoncés brunniens (entrelacs, relations multiples, intrication quantique,...). 

Preuve du théorème brunnien aléatoire 

La démonstration du "théorème brunnien aléatoire" (toute structure connective finie est celle des relations de dépendance d'une famille finie de variables aléatoires) est donnée dans notre article en ligne  Un théorème brunnien pour les familles finies de variables aléatoires, 2025.

Introduction à la théorie de l'information de Shannon,

Formalisation des zones d'incertitude et des diagrammes de Venn numériques.

Structure connective des diagrammes de Venn numériques. Exemple de partie connexe séparable.

Diagramme de Venn entropique d'une famille finie de variables aléatoires.

Relations de dépendance conditionnelles, structures connectives et propriété brunnienne des diagrammes de Venn entropiques.

Exercice.  Les matrices de passage

Expliciter les 6 matrices de passage entre les trois bases canoniques (celle des zones élémentaires (ou cellules), celle des zones aléatoires conjointes et celle des zones mutuelles d'information).