Cueillir des cerises...

 Le but de cette intervention est d'introduire la théorie des topos de Grothendieck à un public de psychanalystes et de non-mathématiciens en s'appuyant sur des exemples visuels simples. En l'occurrence, il s'agira d'explorer une structure connective élémentaire, finie, baptisée le « triangle rouge », qui se compose de trois points totalement connectés par trois arêtes. À partir de cette figure géométrique appréhendable d'un seul coup d'œil, l'exposé guidera progressivement l'auditoire à travers un univers mathématique d'une richesse insoupçonnée, en parcourant successivement les divers sous-espaces finis de ce triangle, jusqu'à l'espace vide, et même un peu au-delà... Ce cheminement, qui prendra l'étude des points de ces espaces pour fil conducteur, fera émerger diverses résonances « psy » en introduisant pas à pas certaines notions connectives, toposiques et topologiques, l'abstraction logique et mathématique s'y appuyant toujours sur l'intuition immédiate des nombreuses figures géométriques présentées. 

Comment présenter la notion mathématique de topos (Grothendieck) à des non-mathématiciens en général, et à des psychanalystes en particulier ? La stratégie de l'exposé qui sera présenté le 5 décembre prochain à Paris aux séminaristes des Mathinées Lacaniennes de l'Association Lacanienne Internationale (ALI)  tient en six mots :

s'appuyer sur des exemples simples !

(ou en tout cas aussi simples que possible)

En l'occurrence, nous partirons d'une structure suffisamment simple pour être perçue d'un seul regard, le triangle constitué de trois points totalement connectés, représenté ici en rouge.

Ce triangle connectif complet (que nous appellerons aussi le triangle rouge) est constitué de 3 points, notés par exemple a, b et c, et de 3 arêtes [a,b], [b,c] et [c,a], chacune exprimant symboliquement une connexion entre ses sommets, les trois points se trouvant ainsi deux à deux connectés. 

De là, nous proposerons aux participants d'en explorer les divers sous-espaces, avec une attention particulière à leurs points. La notion de point sera en effet notre fil rouge dans cette exploration. 

Reconnaissons-le, la structure de départ, notre triangle rouge, est si simple que l'exploration proposée pourrait sembler devoir s'achever rapidement. En réalité, au-delà des sous-espaces directement induits par la suppression d'un, deux voire des trois points, c'est un univers d'une extrême richesse et aux nombreuses résonnances que nous allons découvrir. Chemin faisant, nous rencontrerons divers exemples de topos, dont l'idée pourra ainsi être progressivement précisée. 

D'un abord technique délicat, les topos définis par Grothendieck sont des catégories ayant pour objets ce que l'on appelle des faisceaux, et plus précisément des faisceaux d'ensembles, et que dans cet exposé nous appellerons aussi des assemblées. Notre exploration nous offrira plusieurs exemples très simples de telles assemblées (mais aussi de sous-assemblées, voire d'assemblées de sous-assemblées..). 

Ainsi, l'exploration proposée combinera des aspects connectifs, faisceautiques, toposiques, faisant parfois surgir des points, ou des sortes de points, auxquels on ne s'attendait peut-être pas, des points notamment visibles dans les espaces topologiques finis équivalents (Morita) aux espaces connectifs rencontrés, illustrant la notion de pont mise en avant par Caramello. La technicité certaine des théories mathématiques en jeu, dans laquelle nous rentrerons aussi peu que possible, devrait être largement équilibrée par l'aspect intuitif immédiat, très parlant, des figures présentées à chaque stade du parcours.