L'univers brunnien

Vers une synthèse fonctorielle

par Stéphane Dugowson

***

journée organisée par ISAE-Supméca et l'association LIESSE (*)

***

lundi 29 juin 2026 (9h00 / 16h00)

ISAE-Supméca, 3 rue Fernand Hainaut, St Ouen

(M° Mairie de St Ouen)

Pour assister à cette journée, l'inscription est gratuite et obligatoire, voir plus bas.

Aucun prérequis n'est supposé.

Présentation

La conjecture avancée et en partie démontrée par le mathématicien allemand Hermann Brunn en 1892, qui revient à dire que toute structure connective finie peut être représentée par un entrelacs de l'espace tridimensionnel, s'avère être le modèle initial d'une famille de conjectures et de théorèmes concernant diverses catégories. Outre les entrelacs, ces propositions affirment en effet l'existence de représentations des structures connectives par une variété d'objets mathématiques, à savoir des relations multiples, des familles de variables aléatoires, des diagrammes de Venn entropiques, des intrications quantiques, des espaces difféologiques, des degrés ludiques, des familles interactives de dynamiques ouvertes et même, via un pont de Grothendieck-Caramello (équivalence de Morita entre topos), des espaces topologiques et des complexes simpliciaux, au moins dans le cas fini (auquel nous nous limiterons ici).

On se propose ainsi tout au long de cette journée d'aller à la rencontre de certaines de ces structures, les illustrant par de nombreux exemples très simples, et d'en présenter divers caractères communs, notamment à travers l'idée de dynamique simpliciale sur un treillis complet simplicial adjonctif. Cette journée se situera ainsi dans le prolongement de celles proposées les années passées à ISAE-SUPMECA en collaboration avec l'association LIESSE (*) -- sur une théorie générale de l'interaction en 2024, et sur la structure connective des diagrammes de Venn entropiques en 2025 -- même s'il n'est absolument pas nécessaire d'y avoir assisté pour suivre la session de cette année 2026.

S. Dugowson

(*) LIESSE : Liaison interdisciplinaire avec les écoles d'enseignement supérieur pour une structuration des échanges.

Programme de la Journée

9h- 10h. Accueil et immersion : Café. Présentation d'ISAE-SUPMECA et rencontre avec des étudiants de l'école.

Matinée (10h-12h) | De l'intuition géométrique aux dépendances probabilistes Nous partirons des entrelacs géométriques de Brunn pour introduire la notion abstraite d'espace connectif. Nous verrons ensuite comment ces structures se manifestent en termes de relations multiples générales, dans les familles de variables aléatoires et en théorie de l'information (diagrammes de Venn-Shannon).
Déjeuner (possible sur le site).
Après-midi (14h-15h30) | Dynamiques et structures. Intrication quantique, familles interactives ouvertes, difféologies, degrés ludiques... Nous poursuivons notre tour d'horizon de l'univers brunnien en évoquant plusieurs de ces structures, avant d'aborder l'aspect structural des Delta-catégories et treillis complets simpliciaux adjonctifs. Nous distinguerons en particulier descente marginale et descente conditionnelle, ainsi que divers types de remontées : diagonale, discrète, indiscrète, totale, etc... suggérant ainsi plusieurs exemples de dynamiques simpliciales ou semi-simpliciales dans les catégories brunniennes.
Fin de journée (15h30 - 16h) | Topologie et Morita-équivalence : Nous conclurons cette journée en rappelant la Morita-équivalence entre les structures connectives finies et les espaces topologiques finis et en évoquant la correspondance de McCord avec les complexes simpliciaux.