חשבון פשוט

הסמל הסודי של פיתגורס וחבורתו היה הפנטגרם, שזהו כוכב מחומש, הבנוי מחמישה משולשים זהים. הפנטגרם מורכב ממשולשים המקיימים יחס הקרוי יחס הזהב או חתך הזהב, שמשמעותו יחס קבוע ומסוים בין הצלעות (היחס בין כל אחת משוקי המשולש לבסיס הוא: 1.618). כוכב מחומש ניתן למצוא בטבע בפרחים, בכוכבי ים, ובפירות. פירוש המילה היוונית פנטגרם הוא "חמישה קווים". תיאור הפנטגרם מופיע כבר בכתבים העתיקים של חכמי ארם נהריים, שנכתבו סביב שנת 3000 לפני-הספירה. הבבלים והיוונים הקדומים ייחסו לפנטגרם כוחות אל-טבעיים ויכולת כישוף, ורבים נהגו בעת העתיקה לענוד תכשיט עם סמל הפנטגרום להגנה מפני רוחות רעות.  בשל יחסי המידות המיוחדים של הפנטגרם, ניתן לחזור על צורה זו של כוכב מחומש בתוך עצמה אינסוף פעמים. 

פיתגורס ניסה למצוא את ההיגיון שמאחורי המספרים, ואף שאף לתרגם את הטבע למספרים. הוא גילה לדוגמה, שקיים יחס מספרי בין אורכי המיתרים של כלי נגינה לבין הצלילים המופקים מהם. תודות לגאוניותו של פיתגורס, חדלו המספרים להיות רק אמצעי לספירה ולחישוב, והחלו לזכות  בתשומת לב מיוחדת. פיתגורס רכש את הידע המתמטי שלו בעת במסעותיו ברחבי העולם העתיק. הוא אימץ מאנשי כריתים, ספרטה, בבל ומצריים לא מעט כלים מתמטיים, בהם השתמש מאוחר יותר לצורך תגליותיו.

על-שמו של פיתגורס קרוי אחד המשפטים הידועים ביותר בעולם המתמטיקה - משפט פיתגורס. תוכנו של המשפט: במשולש ישר זווית שווה ריבוע היתר (הצלע הארוכה) לסכום הריבועים של הניצבים (שתי הצלעות הנוספות במשולש). למעשה, היו אילו הבבלים שגילו את המשפט אלף שנים לפני היוונים, אך פיתגורס היה הראשון שהצליח להוכיחו. כמעט כל ילד ברחבי העולם לומד את משפט פיתגורס במהלך שנותיו הראשונות בבית-הספר. 

היוונים הקדומים חיברו ספרים רבים שעסקו בנושאים מתמטיים מגוונים. הם העריצו את יחסי המידות (הפרופורציות) המושלמים של צורה הקרויה מלבן הזהב. גם בין צלעות מלבן זה קיים יחס מסוים בין הצלעות, וזהו למעשה יחס זהה לזה הקיים בפנטגרם. בעיני היוונים סימל מלבן הזהב את פסגת היופי ונחשב לכליל השלמות. יופי זה יושם באדריכלות היוונית הקלאסית, על מבנים שונים ביניהם הפרתנון. 

הידעת! - הסרט "דונלד בארץ המתמטיקסם", בבימוי של המילטון ליוסק, יצא לאקרנים ב-26 ליוני 1959.  אורכו  של הסרט כחצי שעה, והוא עוסק בהמצאת שפת המתמטיקה ובחוקיה.  הסרט, מבית היוצר של וולט דיסני, היה מועמד לפרס האוסקר בשנת 1960. באמצעות אנימציה מרשימה ובזכות חוש ההומור של דונלד דאק מוזמנים הילדים להצטרף להרפתקה מופלאה בארץ המספרים.

משחק המלכים

חשיבה מתמטית קיימת גם במשחקים. משחק השחמט, המכונה "משחק המלכים", מהווה קרב מתמטי בין שני שחקנים. זהו אחד המשחקים האהובים והמאתגרים ביותר שהומצאו על-ידי האדם. שדה הקרב במשחק זה מורכב מלוח משובץ, המחולק ל- 64 משבצות צבועות בצבעי שחור ולבן לסירוגין. צבע הכלים של המתמודדים שונה זה מזה. כל מתמודד מקבל: מלך, מלכה, שני רצים, שני פרשים, שני צריכים, וכן שורה של שמונה חיילים פשוטים. לכל כלי יכולת תנועה שונה על לוח השחמט.

מקורו של השם שחמט בפרסית "שאח מת", שפירושו המלך מת. שם זה ניתן למשחק מאחר והניצחון מושג לאחר שאחד המלכים הובס בקרב. בתורו יכול שחקן השחמט להזיז כל כלי לאן שירצה, ובלבד שלא יחרוג מכללי המשחק. כאשר המלך מותקף ונתון לאיום מצד אחד הכלים של היריב, המצב מכונה שח. כעת חובה על השחקן שהותקף לעשות ככל שביכולתו בהתאם לכללי המשחק, על-מנת לבטל את מצב השח ולהציל את המלך שלו. כדי לצאת ממצב שח ניתן לבצע מהלכים שונים, ביניהם : הזזת המלך ממקומו, תקיפת הכלי התוקף או חסימת מסלול ההתקפה. אם הצלת המלך נכשלה, מתקבל מצב הקרוי מט, בו השחקן שהביס את המלך היריב הוא זה שניצח במשחק. 

כדי להצטיין במשחק השח-מט נדרשים השחקנים לכושר ריכוז גבוה, יצירתיות, דמיון, חשיבה הגיונית (לוגית) ותחכום. בעקבות משחק השחמט נולד תחום לוגי הקרוי בעיות שחמט, הבוחן את הדרך שבה ניתן על לוח השחמט להגיע ממצב נתון למצב רצוי. מטרת בעיות השחמט היא בין היתר לשפר את יכולת המשחק של שחקן השחמט. בנוסף לבעיות שח-מט קיים גם ענף מתמטי הקרוי חידות שח-מט. אילו הן חידות מתמטיות לכל דבר, אשר לצורך הצגתן ופתרונן משתמשים בלוח השחמט, בכלי השחמט ובחוקי השחמט. 

הידעת! - לואיס קרול (1832 - 1898), סופר מפורסם ומתמטיקאי, השתמש בספריו במושגים מעולם המתמטיקה. בספרו "הרפתקאות עליסה בארץ הפלאות" ובספר ההמשך "מבעד למראה" תאר לואיס קרול מסע רב הרפתקאות בחברתה של עליסה (אליס), שהגיעה אל עולמות מוזרים ופגשה ביצורים דמיוניים. עליסה פוגשת בדרכה ארנבון ממהר עם שעון כיס ומלכת הלבבות. היא שותה שיקויים מוזרים שגורמים לה להתכווץ ולהתארך, ומגלה שישנה השפעה הדדית בינה ובין סביבתה. שני ספרים אילו חביבים במיוחד על מתמטיקאים מאחר והם דנים במושגים מדעיים של התארכות והתכווצות (ממדים פיסיקליים) ובמושג הזמן. בספרו "מבעד למראה" השתמש לואיס קרול במשחק השחמט כתפאורה לעלילה כאשר עליסה נפגשת עם חיילים לא ידידותיים ממשחק השח-מט.  

המתמטיקה שבטבע ובאמנות

בטבע ניתן למצוא צורות מתמטיות רבות. כוורת הדבורים בנויה מאלפי תאים עשויים דונג בעלי גיאומטריה משושה, אל תוכם מטילה מלכת הדבורים אלפי ביצים, העתידות להתפתח לדבורים. פתיתי השלג הגבישיים מעוצבים במגוון צורות גיאומטריות מרהיבות לעין, אותן ניתן לראות מבעד למיקרוסקופ. פתיתי השלג ניתנים לתיאור מתמטי באמצעות משולש שווה צלעות. בעת יצירת פתית השלג המתמטי אנו מחליפים בכל פעם את השליש האמצעי של צלע המשולש בשני חלקים שאורך כל אחד מהם זהה לקטע שהחסרנו. אם נבצע את הפעולה קרוב לאינסוף פעמים נקבל פתית שלג שהיקפו שואף גם הוא לאינסוף. אופן זה של חלוקה לאותה הצורה מספר רב של פעמים מכונה בשפת המתמטיקה פרקטל.  הפרקטל הינו צורה גיאומטרית הנבנית באופן מחזורי, כך שבכל רמה של פירוט תדמה הצורה המתקבלת לצורה המקורית.  פרקטל פתית השלג הוצג לראשונה על-ידי המתמטיקאי השבדי הלגה פון קוך בשנת 1904. להבדיל מפרקטל פתית השלג האינסופי, הרי שבטבע פתיתי השלג הם בעלי ממדים סופים, והמגוון הרחב של צורות שונות לפתיתי השלג נגרם כתוצאה מנוכחות פגמים בחומר.   

אחרית דבר 

המתמטיקה מכונה "מלכת המדעים", אך למעשה יותר נכון להגיד שהמתמטיקה היא שפת המדעים המדויקים. מעמדה הייחודי של המתמטיקה במדע העסיק רבות את הפילוסופים של המדע. תכליתו של המדע להבין את המציאות, ושפת המתמטיקה היא המאפשרת זאת. חשיבה מתמטית מביאה ללידתן של תגליות מדעיות חדשות, וכל תגלית שכזו עשויה להוביל לתגליות נוספות. עבורכם קוראי גליליאו צעיר היקרים, אסיים במשפט שאמר הפיסיקאי והפילוסוף האיטלקי גליליאו גליליי, שחי לפני כ-400 שנים: "המתמטיקה היא השפה שבאמצעותה נכתב היקום". 

רוצים לדעת עוד?

דיוויד ברגמיני, מתמטיקה, הספריה המדעית של לייף, ספרית מעריב 1970.

הסרט "דונלד בארץ המתמטיקסם", בבימוי של  המילטון  ליוסק, אולפני דיסני 1959.    

* המאמר פורסם ב"גליליאו צעיר":  דנה אשכנזי, "חשבון פשוט", גליליאו צעיר – ירחון לילדים סקרנים, גיליון 44, ספטמבר 2007, עמודים 18 - 23.