Reglas de la derivación

El cálculo de la derivada de una función puede realizarse a partir de un conjunto de reglas fijas de aplicación sistemática. A la hora de derivar una función, se utilizan primero las propiedades generales de la derivación, para reducirla a una serie de funciones simples conocidas, cuyas derivadas se obtienen directamente a partir de una tabla.

Regla de los cuatro pasos

El proceso más general utilizado para la obtención de derivadas de funciones se denomina regla de los cuatro pasos. Dada una función f (x) continua y derivable, esta regla aplica las siguientes etapas:

• • Se determina: f (x + h).

  • Se calcula: f (x + h) - f (x).

  • Se obtiene el cociente incremental entre ambos términos:

  • Se calcula el límite de este cociente incremental cuando h tiende a cero:

Suma y diferencia de funciones

Dadas dos funciones u (x) y v (x) continuas y derivables, la derivada de la función suma (o diferencia) de las dos es igual a la suma (o diferencia) de sus derivadas.

Producto de una función por una constante

Dada una función f (x) continua y derivable y un número real l, la derivada del producto de ambos es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Dada una función:

Entonces la derivada será:

Producto de funciones

Dadas dos funciones continuas y derivables, la derivada del producto de las dos es igual a la derivada de la primera por la segunda, sin derivar, más la primera por la derivada de la segunda. Dada una función:

Entonces su derivada se calcula como:

Cociente de funciones

Dadas dos funciones continuas y derivables u (x) y v (x), donde la segunda es distinta de cero, la derivada del cociente de la primera por la segunda se determina con arreglo a la expresión dada a continuación.

Dada una función:

Se cumple que su derivada primera es:

Composición de funciones

Dada una función f (u) derivable con respecto a u, siendo u derivable con respecto a x, la derivada de la composición de funciones f [u(x)] con respecto a x es igual al producto de la derivada de f con respecto a u por la derivada de u con respecto a x.

Es decir, si

entonces se cumple que:

Este principio se conoce por regla de la cadena de la derivación de funciones compuestas.

Para derivar cualquier función basta con conocer las propiedades de la derivación y, con objeto de simplificar los cálculos, memorizar las fórmulas genéricas de las derivadas de las funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Funciones potencial, logarítmica y exponencial

La derivada de una función potencial, que se expresa como f (x) = uⁿ (x), se calcula como el producto del exponente por la derivada de la función u (x) y por la función u (x) elevada a un grado menos (n-1).

La derivada de una función logarítmica, de fórmula general f (x) = log_a u(x), se obtiene como el cociente de la derivada de u (x) por la propia función u (x) y todo ello multiplicado por el logaritmo en base a del número e. Esta fórmula se simplifica para los logaritmos neperianos, ya que log_e e = 1.

Finalmente, para derivar una función exponencial de expresión general f (x) = a^u(x), se multiplica la propia función por la derivada del exponente, y todo ello multiplicado por el logaritmo neperiano de la base. Como caso particular, hay que resaltar que la función y = e^x tiene como derivada ella misma (y¿ = e^x).

Funciones trigonométricas

La derivación de funciones trigonométricas se resume en unas reglas muy sencillas de recordar. En esencia, la derivada delseno es igual al coseno, y la del coseno coincide con el seno cambiado de signo (todo ello multiplicado, claro está, por la derivada de la función que figura como argumento de la razón trigonométrica). Es decir:

Las restantes funciones trigonométricas se determinan aplicando las reglas de la derivación de un cociente de funciones (para la tangente, la cotangente, etcétera) y la regla de la cadena (para las funciones circulares inversas).

Derivación de una función implícita

La derivación de una función expresada en la forma explícita y 5 f (x) es sencilla si se conocen las reglas de derivación. En cambio, esta tarea se complica cuando la función que ha de derivarse está implícita en una expresión (por ejemplo: y³ + xy ++ 2x = 5, donde se ha de derivar y).

Para obtener esta derivada, lo primero que hay que hacer es despejar y. A veces, esta operación resulta complicada, por lo que resulta preferible aplicar el procedimiento siguiente:

• • Derivar los dos miembros de la ecuación implícita.

  • Despejar y¿ en la ecuación resultante.Tal valor será el resultado de la derivada de la función implícita.

Tabla de derivadas

A partir de las fórmulas de las derivadas de las funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas y de la aplicación de las propiedades de derivación, es posible obtener fácilmente la derivada de cualquier función explícita. En la tabla adjunta se resumen las reglas generales de derivación.

Tabla de derivadas de funciones comunes:

A partir de ellas y aplicando las propiedades y reglas de derivación, puede obtenerse la derivada de cualquier función de estructura más compleja: