Integral definida
Integral Definida
Una integral definida es una integral
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con límites superior e inferior . Si
está restringida a tumbarse en la recta real , la integral definida es conocida como una integral de Riemann (que es la definición usual encontrado en los libros de texto de primaria ) . Sin embargo , una integral definida en general se toma en el plano complejo , lo que resulta en la integral de contorno
con
, , y en general que los números complejos y el camino de la integración de a conocido como un contorno
El primer teorema fundamental del cálculo permite integrales definidas que se calculan en términos de integrales indefinidas , ya que si
es la integral indefinida de una función continua , entonces
Este resultado , mientras enseñaba a principios de los cursos de cálculo elementales , es en realidad un resultado muy profundo que conecta el puramente algebraica integral indefinida y lo puramente analítica (o geométrica) integral definida . Integrales definidas pueden ser evaluados en Matemática usando Integrate [f,
x, a, b].
La cuestión de qué integrales definidas se pueden expresar en términos de funciones elementales no es susceptible a cualquier teoría establecida . De hecho , el problema pertenece a la trascendencia teoría , que parece ser " infinitamente duro. " Por ejemplo , hay integrales definidas que son iguales a la constante de Euler - Mascheroni
.Sin embargo , el problema de decidir si puede expresarse en términos de los valores en valores racionales de funciones elementales implica la decisión en cuanto a si
es racional o algebraica , la cual no se conoce .
Normas de integración de la integración definida incluyen
y
Para
,
Si
es continua en y es continua y tiene una primitiva en un intervalo que contiene los valores de para , entonces
Integrales triples de Watson son ejemplos de ( muy) desafiando integrales múltiples . Otros integrales difíciles incluyen Ahmed integral y Abel integral.
Integración definida para la entrada general es un problema difícil para los paquetes de matemáticas ordenador, y se necesita un poco de cuidado en su aplicación a las integrales definidas . Considere la integral definida de la forma
que puede ser hecho trivialmente mediante el aprovechamiento de la identidad trigonométrica
Dejar que
,
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Muchos paquetes de matemáticas de ordenador, sin embargo, son capaces de calcular esta integral sólo para valores específicos de
, o no del todo . Otro ejemplo de que es difícil para los paquetes de software de computadora es
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que es no trivial igual a 0.
Algunas integrales definidas , los dos primeros de los cuales se deben a Bailey y Plouffe ( 1997 ) y el tercero de los cuales se debe a Guénard y Lemberg ( 2001 ), que fueron identificados por Borwein y Bailey ( 2003 , p . 61) y Bailey et al. ( 2007 , p . 62 ) para ser " técnicamente correcto ", pero " no es útil " calculado por Mathematica se reproducen a continuación . Felizmente , Mathematica versión 5 los devuelve en la misma forma sencilla dada por Borwein y Bailey incluso sin la necesidad de una simplificación adicional :
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es la constante de catalán. Un cuarto integrante propuesto por un desafío también es trivialmente computable en Matemática ,
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(Sloane's A091477), donde es la constante de Apéry
Una hermosa integral definida por L. Glasser y O. Oloa (L. Glasser , com. Pers. , 6 de enero , 2007) viene dada por
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(Sloane's A127196), donde
es la constante de Euler- Mascheroni . Esta integral ( en la forma que se consideren originalmente por Oloa ) es el caso de la clase de integrales
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examinada por Glasser . La forma cerrada dada anteriormente se encontró de forma independiente por Glasser y Oloa (L. Glasser , comunicación personal , 02 de febrero 2010 , . . . . O. Oloa , comunicación personal , 2 de febrero de 2010) , y las pruebas de los resultados fueron publicada posteriormente por Glasser y Maná (2008) y Oloa ( 2008 ) . Las generalizaciones de esta integral posteriormente han sido estudiados por Oloa y otros , véase también Bailey y Borwein ( 2008 ) .
Una clase interesante de integrales es
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que tienen los valores especiales
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(Bailey et al. 2007, pp. 42 and 60).
Una integral increíble determinada empíricamente es
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donde
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(Bailey et al. 2007, p. 61).
Un complicado aspecto integral definida de una función racional con una solución simple está dado por
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(Bailey et al. 2007, p. 258).
Otro integrante reto es que para el volumen del tetraedro de Reuleaux ,
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(Sloane's A102888; Weisstein).
IIntegrandos que parecen iguales podrían proporcionar resultados muy diferentes , como se ilustra en la pareja hermosa
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debido a V. Adamchik (Sloane's A115287; Moll 2006;error corregido ), donde es la constante de omega y es la función W - Lambert . Estos pueden ser calculados usando la integración de contorno.
Paquetes de matemáticas ordenador a menudo también devuelven resultados mucho más complicado de lo necesario. Un ejemplo de este tipo es proporcionado por la integral
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Para
y que se desprende de una simple aplicación de la regla de Leibniz integral (Woods 1926 , pp 143-144 ) .
Hay una amplia gama de métodos disponibles para la integración numérica . Buenas fuentes de tales técnicas incluyen Press et al. ( 1992 ) y Hildebrand ( 1956 ) . La técnica de integración numérica más sencilla utiliza las fórmulas de Newton-Cotes (también llamadas fórmulas de cuadratura ), que se aproximan a una función tabulada en una secuencia de intervalos regularmente espaciados por varios polinomios de grado . Si se tabulan los puntos finales , entonces el 2 - fórmulas y 3 puntos se denominan la regla trapezoidal y la regla de Simpson , respectivamente. La fórmula de 5 puntos se llama la regla de Boole . Una generalización de la regla trapezoidal se Romberg integración , lo que puede producir resultados precisos para muchas menos evaluaciones de función.
Si se conoce la forma de una función analítica (en lugar de sus valores simplemente ser tabulados en un número fijo de puntos ) , el mejor método numérico de integración se llama en cuadratura gaussiana . Al escoger las abscisas óptimos en los que calcular la función , la cuadratura de Gauss produce las aproximaciones más precisas posibles . Sin embargo , dada la velocidad de las computadoras modernas , la complicación adicional de la cuadratura de Gauss formalismo menudo hace que sea menos deseable que el método de fuerza bruta de simplemente calcular repetidamente el doble de puntos en una cuadrícula regular hasta que se obtenga la convergencia. Una excelente referencia para la cuadratura de Gauss es Hildebrand ( 1956).
El 02 de junio 1996 tira cómica Foxtrot por Bill Amend ( Enmendar 1998 , p 19 ; . Mitchell 2006/2007) contó con la siguiente expresión como un problema de examen de " duro" destinados a una clase de matemáticas de recuperación pero accidentalmente entregado a la clase normal, :
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La integral corresponde a la integración en un cono esférico con ángulo de apertura
y el radio 4. Sin embargo, no está claro lo que el integrando representa físicamente ( que se asemeja a la computación de un momento de inercia , pero que le daría un factor en lugar de ) dado.
