Problema Brachistocrono

Encuentra la forma de la curva por donde un cordón deslizante desde el reposo y acelerado por la gravedad deslice ( sin fricción ) de un punto a otro en el menor tiempo . El término deriva del griego

(brachistos) "el menor" y

(chronos) " tiempo de retardo."

El problema braquistocrono fue uno de los primeros problemas que se plantean en el cálculo de variaciones . Newton tuvo el desafío de resolver el problema en 1696 , y lo hizo al día siguiente ( Boyer y Merzbach 1991 , p . 405) . De hecho , la solución , que es un segmento de una cicloide , se encontró por Leibniz , L' hospital , Newton , y los dos Bernoulli . Johann Bernoulli resolvió el problema utilizando el análogo una de considerar el camino de la luz refractada por capas transparentes de densidad variable ( Mach 1893, Gardner 1984 , Courant y Robbins , 1996). En realidad , Johann Bernoulli había encontrado originalmente una prueba incorrecta de que la curva es una cicloide , y desafió a su hermano Jakob para encontrar la curva requerida . Cuando Jakob lo hizo correctamente, Johann trató de sustituir la prueba de su propia ( Boyer y Merzbach 1991 , p . 417) .

En la solución, el cordón puede realmente viajar cuesta arriba a lo largo de la cicloide para una distancia , pero el camino es sin embargo más rápido que una línea recta (o cualquier otra línea )

El tiempo para viajar de un punto a otro está dada por la integral

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

donde

es la longitud del arco y es la velocidad . La velocidad en cualquier punto viene dada por una simple aplicación de la conservación de la energía equivale energía cinética en energía potencial gravitatoria ,

dando

reiterando esto en (◇)junto con la identidad

luego da

La función a ser variada es, pues,

Para continuar , normalmente se tienen que aplicar la ecuación diferencial en toda regla de Euler- Lagrange

Sin embargo , la función

es especialmente buena, ya que no aparece de forma explícita. Por lo tanto, , y podemos usar de inmediato la identidad Beltrami

Computando

(10)

subtrayendo

a partir de , y simplificando entonces da

(11)

La cuadratura ambos lados y reordenando ligeramente resulta en

(12)

(13)

donde el cuadrado de la vieja constante

se ha expresado en términos de un nuevo (positivo ) constante . Esta ecuación se resuelve mediante las ecuaciones paramétricas

(14)

(15)

que son - oh sorpresa - las ecuaciones de una cicloide .

Si se incluye la fricción cinética , el problema también se puede resolver analíticamente , aunque la solución es significativamente más desordenado . En ese caso , los términos correspondientes a la componente normal de peso y la componente normal de la aceleración ( presente a causa de curvatura de la trayectoria ) deben ser incluidos. La inclusión de ambos términos requiere una técnica variacional limitado ( Ashby et al . 1975 ) , pero incluyendo la componente normal de peso sólo da una solución aproximada . Los vectores tangentes y normales son