Geodesia
Geodesicas
Una geodésica es una curva localmente longitud minimiza . De manera equivalente , es un camino que una partícula que no está acelerando seguiría . En el plano , las geodésicas son líneas rectas . En la esfera, las geodésicas son grandes círculos ( como el ecuador) . Las geodésicas en un espacio dependen de la métrica de Riemann , que afecta a las nociones de distancia y aceleración.
Geodesia preservar una dirección en una superficie ( Tietze 1965 , pp 26-27) y tiene muchas otras propiedades interesantes . El vector normal a cualquier punto de un arco de geodésica encuentra a lo largo de la normal a una superficie en ese punto ( Weinstock 1974 , p . 65 ) .
Por otra parte , no importa lo mal que se distorsiona una esfera, existen un número infinito de geodésicas cerradas en él. Este resultado general , se demostró en la década de 1990 , se extendió el trabajo anterior de Birkhoff , quien demostró en 1917 que existe al menos una geodésica cerrada en una esfera distorsionada , y Lyusternik y Schnirelmann , quien demostró en 1923 que existen al menos tres geodésicas cerradas en una esfera tal ( Cipra 1993 , p . 28 ) .
Para una superficie dada paramétricamente por
, , y , de la línea geodésica se puede encontrar al minimizar la longitud de arco
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pero
y de manera similar para y .reiterar en
Esto puede ser reescrito como
donde
y
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A partir de la ecuación ( ◇ )
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y tomando los derivados ,
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por lo que la ecuación diferencial de Euler- Lagrange entonces da
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En el caso especial cuando
, , y son funciones explícitas de sólo .
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Ahora, si y son funciones explícitas de sólo y ,
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así
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En el caso de
donde y son funciones explícitas de solamente ,entonces
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así
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y
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Para una superficie de revolución en la que
se hace girar alrededor del eje x de manera que la ecuación de la superficie es
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la superficie se puede parametrizar por
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La ecuación de las geodésicas es entonces
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