Números Complejos
Número Complejo
Los números complejos son el campo
de números de la forma , donde e son números reales e i es la unidad imaginaria igual a la raíz cuadrada de , . Cuando se utiliza una sola letra para denotar un número complejo , a veces se le llama " afijo". En la notación de componente,
se puede escribir . El campo de los números complejos incluye el campo de los números reales como un subcampo.
El conjunto de los números complejos se implementa en Matemática como complejos . Un número x puede ser una prueba para ver si es complejo con el comando Elemento [x, Complejos ] , y las expresiones que son números complejos tienen cabeza de Complejo .
Los números complejos son cantidades abstractas útiles que se pueden usar en los cálculos y resultan en soluciones físicamente significativas . Sin embargo , el reconocimiento de este hecho es el que tomó mucho tiempo para los matemáticos a aceptar . Por ejemplo , John Wallis escribió: " Estas cantidades imaginarias ( como se les llama comúnmente ) que surjan de la raíz de un Supuesto Cuadrado negativo ( cuando ocurren ) tienen fama de dar a entender que el caso propuesto es imposible" (Wells , 1986, pág . 22 ) .
A través de la fórmula de Euler , un número complejo
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
se puede escribir en forma de " fasor "
Aquí,
es conocido como el módulo complejo ( o, a veces el complejo de norma) y se conoce como el complejo argumento o fase. El gráfico de arriba muestra lo que se conoce como un diagrama de Argand del punto , donde el círculo de trazos representa el módulo complejo
de y el ángulo representa su argumento complejo . Históricamente, la representación geométrica de un número complejo como un simple punto en el plano era importante, ya que hizo que toda la idea de un número complejo más aceptable. En particular , los números "imaginarios" se aceptó en parte a través de su visualización.
A diferencia de los números reales , números complejos no tienen un orden natural , así que no hay analógico de las desigualdades de valores complejos . Esta propiedad no es tan sorprendente , sin embargo cuando se ven como elementos de estar en el plano complejo , ya que los puntos en un plano también carecen de un orden natural .
El cuadrado absoluto de
se define por , con conjugado complejo , y el argumento se pueden calcular a partir de
El real
y partes imaginarias están dadas por
la identidad de de Moivre relaciona poderes de los números complejos por el real
por
Un poder de número complejo
elevado a un exponente entero positivo se puede escribir en forma cerrada como
Los primeros son explícitamente
(10)
(11)
(12)
(13)
(Abramowitz and Stegun 1972).
suma compleja
(14)
resta compleja
(15)
la multiplicación compleja
(16)
y la división compleja
(17)
también se pueden definir para los números complejos . Los números complejos también se pueden tomar para potencias complejas. Por ejemplo , la potencia compleja obedece
(18)
Donde
es el argumento complejo.
Argumento Complejo
Un número complejo
se puede representar como
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Donde
es un número real positivo llamado el módulo complejo de , y (a veces también denotado )es un número real llamado el argumento. El argumento a veces también se conoce como la fase o , más raramente y más confusamente , la amplitud ( Derbyshire 2004 , pp 180-181 y 376 )
El argumento complejo de un número
se implementa en Matemática como Arg [z].
El argumento complejo puede calcularse como
Aquí,
, a veces también denominado , corresponde al ángulo en sentido antihorario desde el eje real positivo , es decir , el valor de tal que and . El tipo especial de tangente inversa utilizado aquí tiene en cuenta el cuadrante en el que
figura y se devuelven por el comando FORTRAN ATAN2(y, x) y el Matemática comando ArcTan[x, y], y es a menudo (incluso por comandos de Mahemática Arg ) no se limite a la gama . En el caso degenerado cuando the ,
Los valores especiales del argumento complejo incluyen
De la definición del argumento , el complejo argumento de un producto de dos números es igual a la suma de sus argumentos,
(9)
(10)
(11)
(12)
Por lo tanto, se deduce que
(13)
dándose el caso especial
(14)
Tenga en cuenta que todas estas identidades sostendrán únicos factores de módulo de
si el argumento se limita a .