Valor: 10,0 pontos.
Prazo de entrega: 2 de abril.
Sobre cópias ou resoluções compartilhadas: serão automaticamente agraciadas com nota zero.
Como devem ser as entregas: resoluções justificadas e bem explicadas.
☆1: Oscilador harmônico simples.
(a) Utilize uma função teste de formato triangular para estimar a energia do estado fundamental do OHS.
(b) Compare com o resultado exato ½ℏω.
☆2: Poço de potencial infinito.
(a) Utilize uma função teste x(x - a) para estimar a energia do estado fundamental do poço de potencial localizado em 0 ≤ x ≤ a.
Ponto extra: As derivadas da função teste são descontínuas, mas você não precisa se preocupar com isso neste problema. Por quê?
(b) Compare com o resultado exato ℏ²π²/(2ma²).
☆3: "Meio" oscilador harmônico simples. Considere V(x) que vale ½mω²x² na região x > 0 e que vale ∞ na região x ≤ 0.
(a) Faça um gráfico de V(x) por x.
(b) Discuta quais são as condições de contorno sobre ψ.
(Dica: São duas condições de contorno e uma delas não é para x→−∞.)
(c) Proponha uma função teste que satisfaça as condições de contorno.
(Dica: O formato mais simples é o produto entre duas funções simples, uma que satisfaz uma condição e outra que satisfaz a outra condição.)
(d) Encontre uma estimativa para o estado fundamental e compare com o resultado exato 3ℏω/2.
☆4: Oscilações de Rabi. Considere uma partícula de spin 1/2 imersa em um campo magnético dado por
B(t) = B₀ z + B₁ [cos(ωt) x − sen(ωt) y],
onde B₀ >> B₁. Seja γ a razão giromagnética da partícula e μ = γS o seu momento de dipolo magnético, onde S é o "vetor" cujas componentes S₁, S₂ e S₃ são as matrizes de spin. A hamiltoniana para a interação entre a partícula e o campo magnético é H(t) = − μ · B.
(a) Mostre que a ação do campo magnético produz uma Hamiltoniana dependente do tempo dada por:
H(t) = − ω₀ S₃ - ω₁ [cos(ωt) S₁ − sen(ωt) S₂],
onde definimos ω₀ ≡ γB₀ e ω₁ ≡ γB₁.
(b) Considere que B₀ >> B₁. Separe a hamiltoniana em uma parte H₀ e em uma parte W(t) que pode ser identificada como uma perturbação.
(c) Determine os estados estacionários de H₀ e suas energias. Chame-os de |+⟩ (spin up, estado de menor energia) e |-⟩ (spin down, estado de maior energia).
Considerando a equação (9.13) do livro-texto. Chame de c₊(t) e c₋(t) as probabilidade da partícula ser encontrada nos estados de spin up e spin down, respectivamente.
(d) Considere que o estado inicial é c₊(0) = 1 e c₋(0) = 0, isto é, a partícula está inicialmente no estado de spin up. Resolva a equação (9.13) de modo exato para mostrar que a probabilidade da partícula ser encontrada no estado de spin down é:
P(t) = ¼ (ω₁/Ω)² sen²(Ωt),
onde Ω = ½ √[ (ω − ω₀)² +ω₁² ].
☆5: Poço de potencial. Considere uma partícula inicialmente (t →−∞) no estado fundamental do poço de potencial infinito unidimensional, cujas paredes estão localizadas em x = 0 e x = a. No instante t = 0 essa partícula fica sujeita a uma perturbação tempo-dependente do tipo
V(x, t) = εx exp(-t²),
onde ε é um número real pequeno. (Assuma que o t² no expoente está sendo multiplicado por uma constante de valor unitário e dimensão de 1/[tempo]².)
(a) Calcule o elemento de matriz dessa perturbação entre o estado fundamental e um estado excitado n qualquer.
(b) Calcule a probabilidade (aproximada) da partícula ser encontrada no primeiro estado excitado depois de um tempo suficientemente longo (t→∞).
☆6: Transições eletrônicas. Na tabela <deste link> temos os dados sobre algumas transições eletrônicas do átomo de hidrogênio.
(a) Considerando (i) tempo de vida, (ii) rota de decaimento e (iii) tipo de transição, justifique a razão do estado 2S_{1/2} ser considerado metaestável enquanto que o 2P_{1/2} não é.
(b) Calcule a separação ΔE entre os níveis 2S_{1/2} e 2P_{1/2} em elétron-volts.
(c) Determine o tempo de vida do estado 3D_{3/2}.
Referência de leitura para este problema: "Transições permitidas, transições proibidas e estados metaestáveis" na Seção III.C.5 das minhas <notas de aula> para Teoria de Perturbação Dependente do Tempo.