☆1: Seja ψ ∝ exp(−αx²):
(a) Qual é a dimensão da constante de normalização? Explique seu raciocínio.
(b) Qual é a dimensão da constante α? Explique.
(c) Determine a constante de normalização usando que a intergral ∫ |ψ|²dx sobre todo o eixo x deve ser igual a 1.
(d) Considere α=1 (a unidade de α está subentendida) . Por meio de software, calcule as seguintes probabilidades: p(0,1), p(1,2) e p(0,10). A notação p(a,b) representa a probabilidade de uma medida encontrar a partícula na região a ≤ x ≤ b.
☆2: No problema 1.14, definiu-se a corrente de probabilidade J(x,t).
(a) Verifique que J(x,t) e ρ(x,t) ≡ |Ψ(x,t)|² satisfazem a equação da continuidade, ∂J/∂x + ∂ρ/∂t = 0.
(b) Intuitivamente, podemos esperar que a corrente de probabilidade tenha relação com o momento linear. Mostre que essa relação existe verificando que ∫ J(x,t)dx = <p>/m, onde a integral é realizada sobre todo eixo x.
☆3: Imagine um sistema cujos níveis de energia são quantizados (E₁, E₂, etc.) -- um exemplo disso é o poço de potencial. Mostre que, de modo geral, a função de onda Ψ(x,t) = ψ(x) não é solução da equação de Schrödinger dependente do tempo. Isso significa que um estado estacionário (por si só, sem o fator exp{-iEt/ℏ}) não costuma ser solução da equação para a dinâmica do sistema.
☆4: Uma partícula está inicialmente no estado fundamental de um poço de potencial quadrado infinito de largura a.
(a) Qual a probabilidade de uma medida da energia do sistema retornar o valor π²ℏ²/2ma²?
Agora, de modo súbito, a largura do poço dobra de tamanho, de "a" para "2a".
(b) Verifique se a função de onda da partícula antes do poço se alargar é solução da eq. de Schrödinger para o poço após o alargamento. Dica: pergunte-se qual é a nova energia do estado fundamental.
(c) Assim que o poço alarga, qual é a probabilidade de uma medida da energia do sistema encontrar a partícula no novo estado fundamental?
☆5: Oscilador harmônico quântico. Após estudar o método analítico para obter os estados estacionários e energias (ver Griffiths Sec. 2.3.2), responda às seguintes perguntas:
(a) A eq. (2.72) lembra a eq. (2.21), no entanto sua solução não é do tipo seno ou cosseno. Verique isso por um cálculo explícito mostrando que ψ = Asen(kξ) não é solução de (2.72) para nenhum valor de A ou ξ.
(b) Deduza a expressão para aⱼ que soluciona aⱼ₊₂ = (2/j) aⱼ no limite em que j >> 1. (Resposta: aⱼ= C/(j/2)!, sendo C uma constante.)
(c) Sobre a obtenção dos estados estacionários e energias, discuta as diferenças entre o problema do poço infinito e do oscilador harmônico nos quesitos (i) equação diferencial, (ii) condições de contorno e (iii) espaçamento entre os níveis de energia.
☆6: Na pág. 27 das minhas notas de aula eu verifico a ortonormalidade dos estados estacionários do oscilador harmônico para estados gerais. Para você praticar, faça cálculos passo a passo, como os apresentados lá, para verificar (a) a normalização do estado ψ₃ e (b) a ortogonalidade dos estados ψ₃ e ψ₅.
☆7: Obtenha os estados estacionários e respectivas energias para o problema de uma partícula de carga q sujeita a um campo elétrico uniforme ε e uma força restauradora do tipo - mω²x.
Dica 1: Sendo a força resultante F = qε - mω²x e a relação F = - dV/dx, você pode determinar a energia potencial V(x).
Dica 2: Este problema pode ser resolvido com pouquíssimo esforço matemático: reescreva V(x) na forma a(x - b)² + c, faça a mudança de variáveis y = x - b e compare a eq. de Schrödinger obtida com aquela do oscilador harmônico sem carga, eq. (2.70). Com uma análise sábia, sem fazer mais contas, você pode obter as energias daí e obter os estados estacionários por meio de comparações com a eq. (2.85).
☆8: No contexto do problema 2.52, a conservação da corrente de probabilidade J(x,t) (ver prob. 1.14) exige que a corrente na Região I (J₁) seja igual a na Região III (J₃). Essa igualdade impõe condições nos coeficientes da matriz de espalhamenteo S. Verique que tais condições se resumem a dizer que a matriz S é unitária, isto é, que S†S = 𝟙. Note que S† é a matriz conjugada hermitiana de S, isto é, a conjugada transposta de S.
Comentário: Se V(x) ∈ ℝ, a função de onda exibe invariância sob reversões temporais, isto é, Ψ(x,-t) = Ψ(x,t). Isso conduz à condição de que S também seja simétrica, ou seja, igual à sua transposta, S = Sᵀ.
☆9: Funções de onda representando estados físicos reais devem ser elementos do espaço de Hilbert, isto é, devem ser funções f(x) de quadrado integrável. Essa condição é necessária para a interpretação probabilística da mecânica quântica. Em particular, é o que garante que a integral ∫ |f(x)|²dx de x = -∞ a x = ∞ será igual a 1. Neste contexto,
(a) o estado estacionário do poço infinito é de quadrado integrável? A resposta, claro, é que sim, então explique também a sua escolha de limites de integração.
(b) Com base nisso, explique por que está incompleta a afirmação de que os estados estacionários do poço infinito são ψₙ(x) = √(2/a) × sen(nπx/a).
☆10: Enuncie, um por um, os 6 postulados da mecânica quântica utilizando como exemplo concreto uma partícula no poço de potencial quadrado infinito. Nada deve ser dito de modo genérico. Você deve propor uma função de onda útil para enunciar os postulados. Por exemplo, ψ(x) = 3/5 φ₁(x) + 4/5 φ₂(x). Daí, ao invés de falar "os resultados da medida de um observável Q são os autovalores qₙ do operador hermitiano Q̂", você deve especificar quem seria Q, Q̂ e qₙ. Ao invés de falar do postulado referente à regra de Bohr de modo genérico, você deve usar seu exemplo de ψ(x) para especificar as probabilidades. Etc. O ponto importante é que você deve pensar em uma função de onda e em um operador específicos para construir um exemplo autoconsistente para enunciar os 6 postulados.
☆11: Diversas teorias candidatas à descrever efeitos quânticos da gravitação preveem possíveis modificações no princípio da incerteza de Heisenberg. Veja, por exemplo, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 56, 035301 (2023). A chamada abordagem algébrica é uma maneira fenomenológica de se implementar essas modificações na mecânica quântica a partir da hipótese [x,p] = iℏ f(p), onde f(p) é uma função que codifica os efeitos quânticos da gravitação na álgebra dos operadores x e p. Por consistência, f(p) = 1 quando os efeitos gravitacionais estão ausentes. Em ordem mais baixa neste efeitos, pode-se escrever f(p) ≈ 1 + βp², com β constante.
(a) Mostre que o princípio da incerteza agora é dado por Δx Δp ≥ ℏ/2 [1 + β(Δp)²] para estados descritos por funções de onda simétricas (<p>=0).
(b) Mostre que agora existe um limite inferior para a precisão com que a posição pode ser medida dado por (Δx)ₘᵢₙ = ℏ√β. Por vezes, esse limite inferior é interpretado como sugerindo a existência de uma escala fundamental de comprimento na natureza devido aos efeitos quânticos da gravitação.
☆12: No final da página 62 das minhas notas, escrevemos uma equação ilustrando três representações diferentes para a função de onda. Partindo de Ψ(x,t) = <x|s(t)> = <x|𝟙|s(t)>, deduza cada igualdade desta equação escrevendo o operador 𝟙 nas bases relevantes ao problema.
☆13: Na página 54 das minhas notas de aula, encontramos que <Q> = Σ qₙ|cₙ|². Deduza isso a partir de <Q> = <Ψ|𝟙 Q 𝟙|Ψ>. A dedução é simples uma vez que 𝟙 seja representado numa base adequada.
☆14: Mostre que <x|p|ψ> = - iℏ dψ(x)/dx. Repare que isso é a versão precisa da expressão "pψ = - iℏ dψ/dx".
Dica: Primeiro, insira 𝟙 = ∫ |x'><x'| dx' entre o operador p e |ψ>. Depois, insira este mesmo operador, mas na base do momento linear, entre o operador p e |x'>.
☆15: Mostre o desenvolvimento que leva da eq. (4.35) à eq. (4.37).
☆16: A respeito da Seção 4.2 no Griffiths:
(a) Mostre que no caso clássico, a energia mecânica do átomo de hidrogênio pode ser escrita como E = ½ mṙ ² + Ṽ(r) onde ṙ é a velocidade radial e Ṽ(r) = L²/2mr² + V(r) é o potencial efetivo, sendo L o módulo do momento angular e V(r) o potencial coulombiano.
Sugestão: Ver Seções 8.3 e 8.4 do livro de mecânica do Marion & Thornton.
(b) Esboce um gráfico de Ṽ(r).
(c) Utilize Ṽ(r) e a condição de Bohr para quantização das órbitas (L=nℏ) para deduzir os valores permitidos de r para órbitas circulares (ṙ = 0).
(d) Para o estado fundamental, indique os valores correspondentes de raio e energia em um gráfico de Ṽ(r) por r.
(e) Compare o resultado do item anterior com o raio de Bohr e com a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio.