☆1: Como revisão, expresse a densidade de carga ρ(r) das seguintes distribuições em termos da função delta de Dirac tridimensional: (a) carga pontual Q localizada em (x,y,z)=(0,a,b); carga total Q distribuída uniformemente (b) na superfície de uma esfera de raio R; (c) na superfície de um cilindro de raio R e comprimento L no plano xy, (d) na superfície de um disco de raio R, (e) em uma circunferência de raio R no plano xy.
Atenção: Em cada caso, faça um desenho da distribuição de cargas incluindo os eixos cartesianos e variáveis relevantes.
Dica: Confira sua resposta usando Q = ∫ ρ dτ e expressando o elemento de volume dτ no sistema de coordenados mais adequado ao problema.
☆2: Considere o problema 2.3 do Griffiths, mas com o ponto P paralelo ao eixo da barra, a uma distância d de uma das extremidades, e com distribuição não-uniforme de cargas dada por λ(x) = k(1-x/L), sendo k uma constante.
(a) Esboce o gráfico desta distribuição, indicando nos eixos alguns valores relevantes de λ e x.
(b) Desenhe a barra e faça uma ilustração qualitativa do acúmulo de cargas ao longo da sua extensão.
(c) Se a carga total da barra é Q, determine a contante k.
(d) Escreva os vetores dl, r e r' em termos de vetores unitários e grandezas relevantes ao problema (repare que aqui o vetor r indica a posição do ponto P). Deixe claro seu sistema de eixos coordenados em uma ilustração do problema e indique os vetores e grandezas relevantes.
(e) Obtenha uma expressão para o vetor campo elétrico no ponto P, isto é, para E(r).
(f) Expanda E(r) em série de Taylor considerando L/d << 1. Retenha os termos ~1/d², compare com a expressão com o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme e interprete o resultado.
☆3: A lei da gravitação universal formulada por Newton propõe que o campo gravitacional de uma massa puntifome decai com o inverso do quadrado da distância, assim como o campo elétrico de uma carga puntiforme. De modo análogo, a forma diferencial da "lei de Gauss" para o campo gravitacional g é escrita como ∇ • g(r) = - 4πG ρ(r), onde G é a constante da gravitação e ρ(r) é a densidade de massa.
(a) Mostre que a forma integral é dada por ∫ g • da = - 4πG mᵢₙₜ onde mᵢₙₜ = ∫ ρ(r) dτ é a massa no interior da "gaussiana".
Agora, considere que a distribuição de massa da Terra é esfericamente simétrica e dada por (i) ρ(r) = a para 0 ≤ r ≤ 0.55R, (ii) ρ(r) = b/r² para 0.55R ≤ r ≤ R, e (iii) ρ(r) = 0 para R ≤ r.
(b) Sendo a massa da Terra M e o raio R, determine as constantes "a" e "b" sabendo que a distribuição de massa varia de modo contínuo entre as duas regiões.
(c) Usando a "lei de Gauss" gravitacional, determine o campo gravitacional g(r) em todas regiões.
Atenção: Você deve discutir a simetria do problema para justificar a forma que g(r) deve ter de modo a permitir o desenvolvimento que leva de ∫ g(r) • da para |g(r)| × 4πr².
(d) Esboce um gráfico de |g(r)| em função de r, marcando sobre os eixos os valores de |g(r)| para os valores r = 0.55R e R.
(e) Compare este perfil do campo gravitacional com aquele previsto por modelos mais detalhados para a distribuição de massa da Terra, como o modelo de referência preliminar da Terra.
☆4: Considere uma distribuição uniforme de cargas sobre o eixo z entre +d/2 e -d/2. A carga total distribuida é q.
(a) Calcule o potencial elétrico em um ponto P(x,y,z) qualquer. [Resposta: clique aqui.]
A partir do potencial calculado no item anterior, determine o vetor campo elétrico em duas situações diferentes:
(b) a uma distância perpendicular s = √(x² + y²) relativa ao ponto médio da distribuição (z = 0). [Resposta: clique aqui.]
(c) em um ponto sobre o eixo z fora da distribuição, isto é, para |z| > d/2 e x = y = 0. [Resposta: clique aqui.]
(d) Faça um esboço das linhas de campo elétrico ao redor da barra em pontos quaisquer. Você não precisa provar como é a orientação das linhas, mas deve apresentar argumentos convincentes.
☆5: Considere uma caixa metálica retangular com arestas alinhadas com o sistema de eixos xyz. A base está está no plano xy e a tampa está a uma altura c. Um dos lados está no plano xz e o outro a uma distância b. Para referência, a posição de quatro vértices é (x,y,z) = { (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) }. A tampa, em z = c está em um potencial fixo V₀ em relação aos outros lados da caixa, que estão aterrados.
(a) Obtenha uma solução particular da equação de Laplace ∇²V(x,y,z) = 0 que satisfaz as condições de contorno nos 5 lados, excetuando a tampa. [Resposta: clique aqui. m e n são inteiros ≥1 e γₘₙ é uma constante que deve ser definida na sua solução.]
(b) Para aplicar-se a última condição de contorno (V = V₀ em z = c) de modo consistente, é preciso escrever o potencial V como uma combinação linear de Vₘₙ, isto é, fazer V = Σ Σ Aₘₙ Vₘₙ sendo Aₘₙ os coeficientes dessa combinação (os somatórios são sobre todos valores aceitáveis de m e n). Determine Aₘₙ de modo que V satisfaça a última condição de contorno. [Resposta: clique aqui.]
☆6: Considere um disco condutor de raio R e espessura desprezível mantido em um potencial V₀. No prob. 2.25 você encontrou que o potencial em um ponto P a uma altura z sobre seu eixo de simetria é dado por V(z) = (σ/2ε₀) × [ ∓ z + √(R² + z²) ], sendo os sinais "-" para z > 0 e "+" para z < 0.
(a) Expresse esse potencial em uma série de potências de z/R. [Resposta: clique aqui.]
(b) Com o resultado do item anterior, determine o potencial V(r,θ) em um ponto qualquer, inclusive fora do eixo z, para o qual r << R. Expresse sua resposta como uma série de potências de r/R e em termos dos polinômions de Legendre.
Dica: O problema exibe simetria azimutal? Se sim, você sabe que a solução tem a forma geral dada pela Eq. (3.65), bastando determinar os coeficientes Aₙ e Bₙ. Uma maneira de fazer isso é notando que (i) o potencial é finito em r = 0 e (ii) V(z) é recuperado de V(r,θ) tomando θ = 0, para o qual r = z, de modo que Pₙ(cosθ) = Pₙ(1).
(c) De modo análogo, obtenha o V(r,θ) para r >> R. Note que a condição (i) do item anterior agora é outra.
☆7: O momento de dipolo de uma distribuição contínua de cargas é definido como p ≡ ∫ r ρ(r) dτ, atentando-se ao fato de p ser um vetor. Dado isso, mostre que p = 0 para uma distribuição com simetria esférica. Isso significa que o termo de dipolo não contribui para o potencial produzido por distribuições de carga com simetria esférica. Em particular, se essa distribuição também tiver carga total nula (Q = 0), isso significa que a primeira contribuição para o potencial vem somente a partir do termo de quadrupolo.
☆8: Considere três cargas puntiformes: uma de carga +q localizada em (x,y,z) = (a,0,0); outra de carga +q localizada em (0,a,0); e outra de carga -2q em (0,0,2a). O potencial produzido por esta distribuição em pontos afastados pode ser aproximado por V(r) ≈ Vmono + Vdip.
(a) Explique porque Vmono = 0.
(b) Agora, expresse a densidade de cargas ρᵢ(r) da i-ésima carga em termos de uma delta de Dirac tridimensional. Use o resultado para escrever ρ(r) = ρ₁(r) + ρ₂(r) + ρ₃(r).
(c) Calcule o momento de dipolo p ≡ ∫ r ρ(r) dτ desta distribuição. Use o resultado para determinar uma expressão aproximada para o potencial elétrico V(r) em um ponto qualquer longe do dipolo, isto é, V(r) ≈ Vdip.
☆9: Considere uma distribuição contínua ρ(r) de carga total q localizada em meio a um campo elétrico E(r) produzido por alguma fonte externa. Assuma que este campo varia muito pouco ao longo da distribuição de cargas.
(a) Mostre que a força elétrica sobre a distribuição de cargas é Fᵢ ≈ qEᵢ + (p • ∇)Eᵢ onde os índices representam as componentes cartesianas das grandezas.
Dica 1: O elemento de força sobre um elemento de carga é dF = E dq, logo F = ∫ E dq = ∫ E(r) ρ(r) dτ. Isso fornece uma expressão para cada componente de F.
Dica 2: Como E(r) varia pouco na região onde tem-se ρ(r'), cada componente Eᵢ(r) pode ser expandida em série de Taylor para funções de várias variáveis.
Dica 3: Use as definições q = ∫ ρ(r) dτ e p ≡ ∫ r ρ(r) dτ para chegar na forma da resposta final.
(b) Para uma distribuição eletricamente neutra, qual é a primeira contribuição para a força que o campo externo exerce sobre ela? Responda comparando a resposta do item (a) com a Eq. (4.5).
(c) Para uma distribuição esfericamente simétrica, qual é a primeira contribuição para a força que o campo externo exerce sobre ela? Responda comparando a resposta do item (a) com a lei de Coulomb.
(d) Mostre que o torque sobre a distribuição de cargas é Nᵢ ≈ εᵢⱼₖpⱼEₖ onde εᵢⱼₖ é o símbolo de Levi-Civita.
Dica 4: O elemento de torque devido um elemento de força é dN = r × dF, logo N = ∫ r × dF = ∫ r × E(r) ρ(r) dτ e ainda pode-se escrever (r × E)ᵢ = εᵢⱼₖrⱼEₖ. Isso fornece uma expressão para cada componente de N. O resto do desenvolvimento da questão segue de modo semelhante ao anterior por meio de uma expansão de E(r).
☆10: Seja um sistema dielétrico linear constituído por uma esfera maciça de raio R e permissividade elétrica ε₁ concêntrica a uma casca esférica de raio interno a, raio externo b e permissividade ε₂. Entre a esfera e a casca existe vácuo. Suponha que uma carga puntiforme positiva Q seja colocada no centro geométrico do sistema. Clique aqui para uma ilustração do sistema.
(a) Determine o campo elétrico em todas regiões.
(b) Determine todas as densidades de carga de polarização induzidas nos dielétricos.
(c) Mostre que a carga de polarização total no dielétrico ε₁ é nula. Mostre o mesmo para o dielétrico ε₂.
Dica: Lembre-se que ∇ • (r/r³) = 4π δ³(r).
☆11: Considere uma partícula de carga q movendo-se em meio a um campo magnético B com velocidade v. A força por unidade de carga (f = F/q) que atua nela é f = v × B.
(a) Suponha que f e v sejam conhecidos em um único ponto P no espaço. Nesta questão você deve provar que essa informação não é suficiente para determinar B. Faça isso de duas maneiras:
(i) Considerando o módulo |f| de f.
(ii) Escrevendo f = v × B em forma matricial 𝕗 = 𝕄 𝔹 e provando que não é possível resolver para 𝔹 = 𝕄⁻¹ 𝕗. As matrizes 𝕗 e 𝔹 são matrizes coluna, cujos elementos são os componentes de f e B, e a matriz 𝕄 é uma matriz quadrada, envolvendo somente as componentes de v, que você deve construir para garantir que 𝕗 = 𝕄 𝔹 forneça o mesmo que f = v × B.
(b) Use f = v × B para mostrar que B = (f × v)/v² + (B • v) v/v².
Dica 1: Use a Eq. (1.47).
(c) Mostre que é possível determinar B com duas medidas separadas de força e velocidades (par f₁ e v₁ e par f₂ e v₂).
Dica 2: Use a expressão para B do item anterior e escolha v₁ e v₂ ortogonais.
☆12: Considere um fio condutor cilíndrico (raio R e comprimento L) sobre o eixo z. Ele transporta uma corrente estacionária i tal que a densidade de corrente J = (i/πR²) ẑ é constante em sua seção reta. Queremos determinar o campo magnético produzido em pontos a uma distância s do eixo do cilindro tal que s << L.
(a) Mostre que B(s) ≈ (μ₀/2) J × r para s ≤ R;
(b) Mostre que B(s) ≈ (μ₀R²/2s²) J × r para s ≥ R.
(c) Esboce um gráfico de |B(s)| em função de s, marcando sobre os eixos o valor de |B(s)| para o valor s = R.
☆13: O centro de uma espira circular de raio a e o centro de uma espira quadrada de lados b estão separados de uma distância d. O tamanho das espiras é pequeno comparado a distância entre elas. Ambas transportam corrente i de mesma intensidade. Elas estão orientadas de modo perpendicular entre si. Clique aqui para uma ilustração. Determine:
(a) A força que a espira quadrada faz sobre a espira circular.
(b) O torque que a espira quadrada faz sobre a espira circular.
☆14: Considere um fio reto cilíndrico infinito de raio R por onde flui uma corrente livre i uniformemente distribuída em sua seção transversal. O fio é feito de um material com propriedades magnéticas lineares, de permeabilidade magnética μ. Fora do fio existe apenas o vácuo.
(a) Calcule o campo H em todo o espaço.
(b) Calcule o campo magnético em todo o espaço.
(c) Calcule a magnetização em todo o espaço.
(d) Em um único gráfico, esboce as três curvas que representam o comportamento de |H|, |B/μ₀| e M em função da distância s medida em relação ao eixo do fio.
(e) Calcule as densidades de corrente de magnetização.
(f) Mostre que a corrente total de magnetização através de uma seção transversal do fio é nula.
☆15: Neste problema, aproximaremos o campo magnético exterior à Terra pelo campo que seria produzido por um dipolo magnético localizado em seu centro. Essa é uma boa primeira aproximação. A magnitude do campo está na faixa de 2,5 × 10⁻⁵ a 6,5 × 10⁻⁵ T, com valor de aproximadamente 3,2 × 10⁻⁵ T no equador.
Considere que um satélite tem sua órbita circular contida no plano equatorial magnético, movendo-se a 8 km/s a uma altura de 100 km acima da superfície terrestre. Clique aqui para uma ilustração. Uma "amarra" (tether), consistindo de um cabo de metal com 1 km de extensão, está pendurada no satélite e aponta na direção do centro da Terra.
(a) Determine o valor da força eletromotriz no cabo. [Resposta: ε ≈ 250 V.]
A órbita deste satélite está na chamada ionosfera, de modo que portadores de carga no espaço externo completam o circuito e corrente flui pelo cabo. Assuma que a ionosfera gire (de modo "rígido") na mesma velocidade angular da Terra.
(b) Determine a potência dissipada no cabo via efeito Joule (P = Ri²) e confirme que ela é o negativo da potência devido a ação da força magnetica sobre o fio (P = F • v). Considere que o cabo é de cobre (resistividade ≈ 10⁻⁷ Ω • m) e tem 1 m² de área de seção reta.
Essa é a versão simplificada de uma situação real estudada pela Nasa em missões do ônibus espacial na década de 90 (tethered satellite system) para investigar possíveis mecanismos de geração de energia elétrica para sistemas em órbita.
☆16: Considere um "trilho" vertical de formato Π ("pi" maiúsculo) feito de material condutor. Ele composto por uma barra horizontal (largura a e resistência R/2) preso a duas barras verticais de resistência desprezível. Abaixo do topo, existe uma barra horizontal conectada ao trilho, mas móvel, cuja largura e resistência também são a e R/2. Todo o sistema é permeado por um campo magnético constante B perpendicular ao plano do trilho. Clique aqui para ver uma ilustração.
Considere que a barra de baixo começa sua queda sob ação (não somente) da gravidade g em t = 0 com velocidade v(0) = 0 e desenvolve velocidade v(t).
(a) Use a lei de Lenz para justificar o sentido da corrente induzida na barra.
(b) Determine a força magnética que atua sobre a barra em função de v(t).
(c) Escreva a segunda lei de Newton para a força resultante vertical sobre a barra e resolva a EDO para obter uma expressão para v(t).
(d) Tome o limite t = ∞ e mostre que a barra se aproxima de modo assintótico a uma velocidade terminal vₜ = v(∞). Sua resposta coincide com a velocidade obtida tomando-se a aceleração igual a zero na segunda lei de Newton?
(e) Na velocidade terminal, determine a potência dissipada na barra via efeito Joule (P = Ri²) e confirme que ela é igual à potência fornecida à barra pela força gravitacional (Potência = mg • v).