☆1: Operações com tensores. Quais expressões abaixo representam uma operação válida? Justifique. (Lembre-se, índices gregos variam de 0 a 3 e índices latinos de 1 a 3.)
(a) Aᵦ Bᵦ
(b) Aₙ Bₙ
(c) Aᵦᵧᵩᵪ Bᵝᵞᵠᵡ
(d) (Aᵦᵧ Bᵝᵞ)(Cᵦᵧ Dᵝᵞ)
(e) Aᵦᵧ + Bₘₙ
☆2: Simetria em índices tensoriais. Aᵩᵪ é antissimétrico nos seus índices.
(a) Escreva Aᵩᵪ na forma de uma matriz 4 × 4. Sabendo que essa matriz é antissimétrica, explique quantos elementos linearmente independentes o tensor Aᵩᵪ contém. (Resposta: 6.)
(b) Escreva a expressão para Aᵩᵪ Aᵠᵡ realizando o somatório nos índices repetidos e simplifique ao máximo a sua expressão.
Agora considere um tensor Bᵩᵪ que é simétrico nos seus índices.
(c) Explique quantos elementos linearmente independentes o objeto Bᵩᵪ contém. (Resposta: 10.)
(d) Mostre que AᵝᵞBᵦᵧ = 0.
☆3: Energia relativística. Seja pᵝ = (E , p) e p = 𝛾mv. Use a métrica (+,−,−,−) e unidades naturais (c = 1).
(a) Discuta se a contração pᵝ pᵦ depende do referencial.
(b) Calcule pᵝ pᵦ e use isso para mostrar que E² = p² + m².
(c) Seja um referencial (coordenadas x', y', z', t') com velocidade v paralela ao eixo x. Utilize as transformações de Lorentz p₁' = γ(p₁ - v E) e E' = γ(E - v p₁) para mostrar que E² - p² = E'² - p'².
(d) Partindo de E² = p² + m², mostre que E = 𝛾m.
☆4: Consequências básicas da relatividade especial. Considere dois referenciais, S e S', com movimento relativo v = const. paralelo ao eixo x. Fazendo uso das transformações de Lorentz entre S e S' e da expressão para o intervalo infinitesimal invariante (ds² = dt² - dx²), faça o que se pede abaixo:
(a) Verique a relatividade da simultaneidade.
(b) Deduza a expressão para a dilatação do tempo.
(c) Deduza a expressão para a contração do espaço.
☆5: Relação canônica de comutação. Considere que o operador posição é apenas a operação de multiplicação pela variável x e que o operador momento linear é p = −iℏ∂/∂x.
(a) De modo explícito, desenvolva a expressão [x,p] f(x) e verifique que o resultado é iℏ f(x).
Comumente a relação canônica de comutação [x,p] = iℏ é tomada como um postulado da mecânica quântica, válido independente da representação escolhida para os operadores x e p. No item (a), escolhemos a representação que satisfaz a relação canônica de comutação quando tais operadores agem sobre funções na variável x.
(b) Qual seria uma possível representação de x e p tal que [x,p] g(p) = iℏ g(p)?
Atenção: Neste caso, g(p) é uma função da variável p ou uma função do operador p, ou seja, outro operador?
☆6: Operadores 𝒂 e 𝒂†. Obviamente, pode-se idealizar experimentos nos quais x e p podem ser medidos, ainda que com precisão limitada. Discuta se é possível idealizar experimentos onde 𝒂 ou 𝒂† poderiam ser medidos.
☆7: Problema 2.2 do livro-texto.
☆8: Problema 2.3 do livro-texto. O resultado deste problema é particularmente importante e será usado em praticamente todos os nossos estudos de quantização de campos.
☆9: Notação do número de ocupação. Complete as informações da parte para 3 partículas no quadro na pág. 30 do livro-texto.
☆10: Notação do número de ocupação. Reproduza o quadro na pág. 30 do livro-texto, mas considerando que existem três possíveis estados de momento (p₁, p₂ e p₃).
☆11: Anticomutadores para férmions.
(a) Qual é a única solução para "c" que satisfaz {c,c} = {c†,c†} = 0 e [c,c†] = 1? O que isso te fala sobre usar [c,c†] ao invés de {c,c†} para férmions? (Dica: tente reescrever ccc† na forma c†cc.)
(b) Repita o Exemplo 3.4, mas considerando que {cᵢ,cⱼ†} é desconhecido. Exigir que n₁|11⟩ = |11⟩ impõe qual condição sobre {cᵢ,cⱼ†}?
☆12: Simetrização/antissimetrização da função de onda. Neste problema, você desenvolverá em maiores detalhes o Exemplo 3.6 do livro-texto.
(a) Partindo de (3.38), realize cálculos explícitos para obter (3.39).
(b) Aplique |xy⟩, como fornecido após a eq. (3.39), em |pq⟩ e desenvolva os cálculos explicitamente até chegar em (3.40).
☆13: Problema 3.1 do livro-texto.
☆14: Problema 3.3 do livro-texto.
☆15: Exemplo 4.5 do livro-texto, com mais partículas. Considere que, ao invés de uma, existem duas partículas no sistema descrito pela hamiltoniana (4.37). Considere que existem somente três estados de momento.
(a) Enumere todos elementos da base do número de ocupação. (Como a hamiltoniana não altera o número total de partículas, você não precisa considerar estados contendo somento uma partícula.)
(b) Escolha dois elementos distintos dessa base e calcule como termo de energia potencial atua sobre eles.
(c) Agora a hamiltoniana será representada por uma matriz de que dimensão? A parte que envolve a energia potencial terá um aspecto semelhante ao visto na eq. (4.39)?
(d) [Opcional] Utilize um software para determinar os autovalores da hamiltoniana e o ket do estado fundamental.
☆16: Problema 4.3 do livro-texto.
☆17: Unidades naturais. Em unidades onde ℏ = c = 1, mostre que:
(a) 1 kg = 5,61 ⨉ 10²⁶ GeV
Dica: use E = mc².
(b) 1 s = 1,52 ⨉ 10²⁴ GeV ⁻¹
Dica: use E = hf.
(c) 1 m = 5,07 ⨉ 10¹⁵ GeV ⁻¹
Dica: use c = 2,998×10⁸ m/s.
Comentário: em unidades naturais, segue que [energia] = [massa] = [comprimento] ⁻¹ = [tempo] ⁻¹.
☆18: "Dedução" da lagrangiana relativística para a partícula livre. Lembrando que p = ∂L/∂v use a definição do momento relativístico (p = γmv) para deduzir a lagrangiana (5.21).
☆19: Invariância do eletromagnetimo sob transformações de calibre.
(a) Aplique a transformação de calibre Aᵝ → Aᵝ - ∂ᵝΛ na expressão (5.53) para a densidade de lagrangiana ℒ do eletromagnetismo. Você verá que a nova lagrangiana ℒ' não é igual à lagrangiana original ℒ.
(b) Mostre que, apesar do resultado anterior, a nova ação S' = ∫ d⁴x ℒ' é igual a ação original S = ∫ d⁴x ℒ.
☆20: Problema 5.6 do livro-texto. Partindo de S = ∫ L dt como dado em (5.25), utilize as equações de Euler-Lagrange para obter que a força resultante sobre a partícula no campo eletromagnético é F = q(E + v × B).
☆21: Problema 5.7 do livro-texto. Hamiltoniana da partícula imersa no campo eletromagnético no limite não-relativístico.
☆22: Termo extra na lagrangiana do campo eletromagnético. Retorne ao Exemplo 5.6 do livro-texto, mas desta vez adicione o termo (5.65) à lagrangiana (5.53). Verifique como a adição deste termo muda (ou não) as equações de Maxwell dadas por (5.55).
☆23: Campo vetorial massivo. Seja a lagrangiana ℒ = a FᵝᵞFᵦᵧ + b AᵝAᵦ. Determine as constantes "a" e "b" de modo que soluções do tipo exp[i(k•x-ωt)] (ondas planas) possuam energia satisfazendo a relação de energia de Einstein (E² = p² + m²).
☆24: Equação de Klein-Gordon. Classicamente, o 4-momento é pᵝ = (E , p). Quanticamente, o 4-momento é um operador atuando em funções. A energia é representada pelo operator hamiltoniano H e o momento é p = −i∇, isto é, pᵝ = (H , −i∇).
(a) Aplique o operador pᵝpᵦ em uma função 𝜑(x,t) e obtenha a equação de Klein-Gordon.
Atenção: H não é igual a i∂/∂t. Por outro lado, postulamos que 𝜑 satisfaz a "equação de Schrödinger", isto é, H𝜑 = i∂𝜑/∂t. (Diferente do caso não-relativístico, aqui H ≠ −i/2m ∇² + V.) Veja que esse postulado não diz que H é um operador representado por i∂/∂t, mas sim que sua ação sobre 𝜑 equivale a ação de i∂/∂t em 𝜑.
(b) Considere uma solução para 𝜑 do tipo onda plana, com frequência ω e vetor de onda k. Mostre que a energia da partícula descrita por 𝜑 satisfaz E² = p² + m².
☆25: Problema 6.1 do livro-texto. Usar a lagrangiana de Klein-Gordon para obter a equação de Klein-Gordon, o momento canônico do campo e a densidade de hamiltoniana.
☆26: Energia relativística. No caso não-relativístico, a energia total de uma partícula é a cinética p²/2m mais a potencial V(x). No caso relativístico a expressão E² = p²c² + m²c⁴ fornece a energia de uma partícula livre, isto é, essa expressão contém contribuições somente da energia cinética (E = γmc² - mc²) e da energia de repouso (E = mc²). Qual é a expressão para a energia total no caso relativístico?
☆27: Campo escalar. Seja a lagrangiana ℒ = 1/2 (∂ᵝ𝜑)(∂ᵦ𝜑) - V(x) para o campo escalar real 𝜑.
(a) Considere V(𝜑) = α𝜑² sendo α uma constante real e positiva. Faça um gráfico de V por 𝜑. Há um mínimo para V? Em caso afirmativo, o valor de 𝜑 no mínimo de V é chamado de estado fundamental.
(b) Considere V(𝜑) = α𝜑² ± β𝜑⁴ sendo α e β constantes reais e positivas. Faça o gráfico de V(𝜑) e determine para qual sinal a energia potencial possui um limite inferior. Qual o valor de 𝜑 no estado fundamental?
(c) Considere V(𝜑) = - α𝜑² + β𝜑⁴. Faço o gráfico de V(𝜑) e responda se o estado fundamental é degenerado. Em caso afirmativo, discuta sob qual tipo de transformação o estado fundamental é simétrico.
(d) Repita o item anterior, mas para a lagrangiana ℒ = 1/2(∂ᵝ𝚽ᵀ)(∂ᵦ𝚽) - [ - α𝚽ᵀ𝚽 + β(𝚽ᵀ𝚽)² ], onde 𝚽ᵀ = (𝜑,𝜓) é uma matriz linha cujos elementos são os campos escalares reais 𝜑 e 𝜓. Repare que agora seu gráfico será tridimensional, de V por 𝜑 e 𝜓.
Comentário: Este é um modelo de campo "vetorial" (vetor no espaço dos campos). Ao desenvolver as contas da lagrangiana, realizando o produto matricial, você nota que há dois campos escalares idênticos, 𝜑 e 𝜓. Caso β = 0, esses campos são totalmente independentes um do outro.
☆28: Dois campos escalares. Verifique que a lagrangiana (7.14) mantém a mesma forma após a transformação indicada em (7.15).
☆29: Problema 7.3 do livro-texto.
☆30: Problema 7.4 do livro-texto.
☆31: Problema 8.1 do livro-texto.
☆32: Problema 8.2 do livro-texto. Muito importante, pois seu resultado será usado na parte de quantização dos campos.
☆33: Problema 10.3 do livro-texto.
☆34: Problema 10.4 do livro-texto. A lagrangiana do campo eletromagnético Aᵝ é ℒ = -1/4 Fᵝᵞ Fᵦᵧ.
(a) Utilizando o Teorema de Noether, obtenha o tensor energia momento canônico (𝚹ᵝᵞ) e as cargas conservadas Pᵝ correspondentes.
(b) Interprete fisicamente as cargas conservadas P⁰ e P.
(c) Mostre que o tensor energia-momento dado por Tᵝᵞ = 𝚹ᵝᵞ + ∂ᵩ(FᵝᵠAᵞ) é conservado, simétrico e gera cargas conservadas fisicamente equivalentes a Pᵝ. Verifique que ele equivale à eq. (10.47) do livro-texto.
(d) Mostre que a componente 00 de Tᵝᵞ é a densidade de energia do campo eletromagnético, dado por u = E² + B².
(e) Mostre que a componente 0i de Tᵝᵞ é a densidade de momento do campo eletromagnético (vetor de Poynting), dado por S = E × B.
(f) Mostre que a componente ij de Tᵝᵞ é o tensor das tensões de Maxwell, dado por tᵢⱼ = EᵢEⱼ + BᵢBⱼ - ½ δᵢⱼ (E² + B²).
☆35: Problema 11.1 do livro-texto. O resultado mostra que resultados de medidas do campo 𝜑 não afetam uma a outra quando são realizadas em pontos x e y causalmente desconectados. Isso ilustra que o problema da mecânica quântica de partículas discutido ao final do capítulo 8 não persiste na mecânica quântica de campos.
☆36: Problema 12.1 do livro-texto. Obter a hamiltoniana do campo escalar complexo em termos dos operadores a e b e seus conjugados hermitianos.
☆37: Problema 12.7 do livro-texto. Neste problema, você vê que a carga de Noether Q é um operador associado com uma matriz U que implementa uma transformação linear no operador Ψ correspondente ao campo escalar complexo.
☆38: Problema 14.2 do livro-texto. Neste problema, você verifica que, após a quantização do campo eletromagnético, a partícula resultante (fóton) tem spin 1.
☆39: Problema 17.2 do livro-texto. Neste problema, você confere, de um modo diferente do feito em sala de aula, que o propagador do campo escalar é proporcional à função de Green associada à eq. de Klein-Gordon.
☆40: Problema 17.3 do livro-texto. Este problema apresenta uma maneira alternativa de como obter o propagador em uma teoria sem interações.
☆41: Potencial de Yukawa. Considere o campo escalar real 𝜑(x,t) satisfazendo a equação de Klein-Gordon com fontes: (∂ᵦ∂ᵝ + m²)𝜑 = j(x,t). Suponha que a fonte é puntiforme: j(x,t) = g𝛅³(x). Utilize o método da função de Green e integração por contornos para mostrar que 𝜑 assume a forma do potencial de Yukawa no caso estático: 𝜑(x) = (g/4𝛑) exp(-mr)/r, onde r = |x|.
☆42: Propagador de Feynman. Mostre que a contração entre 𝜑(x) e 𝜑(y) corresponde ao propagador de Feynman Δ(x-y).
☆43: Praticando o teorema de Wick. Escreva o VEV ⟨0|T[aₚ(∞) 𝜑(x) 𝜑(x) 𝜑(x) 𝜑(x) aₖ†(-∞)]|0⟩ em termos de contrações entre os operadores. Note que o operador aₚ(∞) está sendo avaliado em t = ∞, enquanto que aₖ†(-∞) está sendo avaliado em t = -∞.
☆44: Problema 19.1 do livro-texto. Problema para praticar o uso das regras de Feynman no espaço dos momentos.
☆45: Problema 19.2 do livro-texto. Modelo de campo escalar real com interação do tipo 𝜑³.
☆46: Problema 19.3 do livro-texto. Modelo de dois campos escalares reais com interação do tipo 𝜑₁²𝜑₂.