Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Εμβαδόν Κυκλικού Τομέα πR2 x
κατόπιν έχουμε πολλαπλασιασμό χιαστί x 360 = πR2 μ και ομοίως προκύπτει ο ζητούμενος τύπος.
Γωνία σε μοίρες 360 μ
Οι επόμενοι δύο σύνδεσμοι δεν ισχύουν πλέον. Τους αφήνω, διότι αν ξαναβρώ αυτό το applet θα το συνδέσω, είναι πολύ ενδιαφέρον.
Εφαρμογίδιο (applet) με τη γεωμετρική απόδειξη του νόμου των Συνημιτόνων (γενίκευση της απόδειξης του Πυθαγορείου Θεωρήματος που βρίσκεται στα στοιχεία του Ευκλείδη).
Ο νόμος των Συνημιτόνων διδάσκεται στο 9ο Κεφάλαιο, αλλά η απόδειξή του χρησιμοποιεί την έννοια του εμβαδού, γι' αυτό προτείνεται να διδαχθεί στο 10ο κεφάλαιο.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο - ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
18-4-2012
Μήκος Τόξου και Εμβαδόν Κυκλικού Τομέα
Προτείνω να διδάσκονται ταυτόχρονα (μέσα στην ίδια διδακτική ώρα) οι τύποι που μας δίνουν το μήκος του τόξου ℓ των μ μοιρών ℓ = πRμ/180 και του εμβαδού του κυκλικού τομέα μ μοιρών πR2μ/360. Για την αιτιολόγηση του πως προκύπτουν οι δύο αυτοί τύποι το σχολικό βιβλίο προτείνει την αναγωγή στην μονάδα, δηλαδή από το μήκος τόξου
του κύκλου (των 360 μοιρών) υπολογίζουμε το μήκος του τόξου της μιας μοίρας (διαιρώντας με το 360) και στη συνέχεια των μ μοιρών
(πολλαπλασιάζοντας με το μ). Αντίστοιχα γίνεται και για τον υπολογισμό του εμβαδού του κυκλικού τομέα. Επειδή
αρκετοί μαθητές δε μπορούν να συγκρατήσουν τον τρόπο αυτό προτείνω να διδαχθεί και ένας δεύτερος τρόπος υπολογισμού, βασισμένος στο ότι η γωνία του τόξου και το μήκος του είναι ποσά ανάλογα, δηλαδή
Γωνία σε μοίρες 360 μ
Μήκος τόξου 2πR ℓ
κατόπιν έχουμε πολλαπλασιασμό χιαστί ℓ 360 = 2πRμ και προκύπτει ο ζητούμενος τύπος.
Ομοίως για το εμβαδόν του κυκλικού τομέα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο - ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Φυλλάδιο με Ασκήσεις, οι περισσότερες προέρχονται από τις σημειώσεις του ΚΕΕ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο – ΕΜΒΑΔΑ
Η γνωστή άσκηση (βλέπε διπλανό σχήμα) που προτείνεται και ως δραστηριότητα από το σχολικό βιβλίο (σελ. 249)
λύνεται επίσης με τον ίδιο τρόπο:
μ+τ = εμβαδό ημικυκλίου με διάμετρο ΒΓ = π(ΒΓ/2)2/2 = (π/8) ΒΓ2
(ΑΒΓ)+τ = εμβαδόν τεταρτοκυκλίου με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ = π ΑΒ2/4 = (π/8) ΒΓ2 αφού ΑΒ2 + ΑΓ2= ΒΓ2 ή 2ΑΒ2=ΒΓ2
Συνεπώς μ+τ = (ΑΒΓ)+τ άρα μ = (ΑΒΓ)
18-4-2012
Μηνίσκοι του Ιπποκράτη
Ισχύει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των εμβαδόν των δύο μηνίσκων ι
(βλέπε διπλανό σχήμα) ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
Προτείνων τη λύση την γνωστής άσκησης των μηνίσκων του Ιπποκράτη ως εξής:
μ1+τ1+μ2+τ2 = άθροισμα εμβαδών των δύο ημικυκλίων με διαμέτρους β και γ = π(β/2)2/2+ π(γ/2)2/2 = (π/8) (β2+γ2) = (π/8) α2
(ΑΒΓ)+τ1+τ2 = εμβαδόν ημικυκλίου με διάμετρο α =
= π(α/2)2/2 = (π/8) α2
Συνεπώς μ1+τ1+μ2+τ2 = (ΑΒΓ)+τ1+τ2 άρα μ1+μ2 = (ΑΒΓ)
Αυτός ο τρόπος λύσης γενικεύεται σε πολλές ασκήσεις μηνίσκων.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13ο - ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12ο - ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ
Προτεινόμενες Ιστοσελίδες στο Διαδίκτυο
GeoGebra Tutorial: Πως χρωματίζουμε τους Mηνίσκους του Ιπποκράτη (Lunes of Hippocrates) στο GeoGebra.
Εφαρμογίδιο (Applet) για κατασκευή "κανονικών" και "ημικανονικών" ψηφιδωτών (regular and semiregular tesselations).
Μοιράζω ακόμη, την ώρα του μαθήματος το βιβλίο "Η χαρά του π" του Ντέιβιντ Μπλάτνερ. Τους δείχνω πριν το μοιράσω ότι περιέχει μέσα, εκτός από την ιστορία του π, και ένα εκατομμύριο ψηφία του. Τους αφήνω να το δουν την ώρα του μαθήματος. Πολλές φορές δείχνουν εξαιρετικό ενδιαφέρον μαθητές που δεν το περιμένει κανείς, ακόμη και κάποιοι που αδιαφορούν παντελώς για τη γεωμετρία. Όταν ήμουν στο γυμνάσιο, όταν αναφέρθηκε ο αριθμός π την επόμενη σχολική χρονιά από την οποία διδάχθηκε το θυμούνταν όλοι και μου είπαν: "αυτός ο αριθμός που μας είχατε φέρει το βιβλίο με τα ψηφία του!"
Από τις ασκήσεις αυτές, όσες αναφέρονται στο συγκεκριμένο κεφάλαιο δίνονται σε μορφή docx εδώ και οι λύσεις τους εδώ. Μπορεί έτσι ο εκπαιδευτικός να επιλέξει έναν μικρό αριθμό για να φτιάξει εύκολα το δικό του φυλλάδιο.
Εγώ φέτος (2012) επέλεξα 6 ασκήσεις από το ΚΕΕ και δύο δικές μου και μοίρασα αυτό το φυλλάδιο.
Το πρώην Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας (ΚΕΕ) το 1999 εφοδίασε τους εκπαιδευτικούς με μια εξαιρετική σειρά ασκήσεων και τις λύσεις τους.
