Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Σάββατο, 7 Απριλίου 2012 

5.1. Εκθετική Συνάρτηση

Συνήθως η διδασκαλία της παραγράφου αυτής περιορίζεται κυρίως στη θεωρία ως τη σελίδα 129 του σχολικού βιβλίου και στις αντίστοιχες ασκήσεις. Δε δίνεται έμφαση ή μπορεί να παραληφθεί και εντελώς, η θεωρία που περιλαμβάνεται στις σελίδες 129 και 130, δηλαδή ο αριθμός e και ο νόμος της εκθετικής μεταβολής και κατά συνέπεια οι αντίστοιχες ασκήσεις. Στη συνέχεια σκιαγραφώ πως δίδαξα εγώ αυτές τις δύο υποενότητες, δίχως να έχω διδάξει την παράγραφο του ανατοκισμού.

1η Διδακτική Ώρα

Μοίρασα στους μαθητές το παρακάτω φύλλο εργασίας, το οποίο διδάσκω και στη γενική παιδεία της Γ΄ Λυκείου, στο κεφάλαιο της Στατιστικής.

Συντελεστής Αύξησης ή Μείωσης (Ποσοστά)

Φύλλο Εργασίας Λύσεις του Φύλλου Εργασίας

Στο φύλλο αυτό οι μαθητές εξασκούνται στον υπολογισμό ποσοστών από μνήμης. Ακόμη μαθαίνουν ότι αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 1,2 ο αριθμός αυτός αυξάνει κατά 20% ενώ αν τον πολλαπλασιάσουμε με το 0,85 ο αριθμός μειώνεται κατά 15%. Στο φυλλάδιο ονομάζω το 1,2 συντελεστή αύξησης και το 0,85 συντελεστή μείωσης, δίχως να είμαι σίγουρος ότι είναι δόκιμοι οι όροι. Μετά από αυτή τη διδασκαλία απλοποιείται εξαιρετικά η λύση των προβλημάτων που γίνεται επαναλαμβανόμενη αύξηση ή μείωση κατά ένα ποσοστό, όπως τα προβλήματα 6 και 8 στις σελίδες 132 και 133 του σχολικού βιβλίου. Γίνεται ακόμη ευκολότερα κατανοητός ο ορισμός του αριθμού e, όπως εξηγώ παρακάτω. Θεωρώ τη συγκεκριμένη προσέγγιση προτιμότερη από την εισαγωγή του επιτοκίου τ%, που ακολουθείται στο σχολικό βιβλίο.

2η Διδακτική Ώρα

Πρόβλημα 6 του σχολικού βιβλίου:

Αν αφήσουμε το καπάκι ενός πεντάλιτρου δοχείου με βενζίνη ανοικτό, η βενζίνη εξατμίζεται με ρυθμό 20% ανά εβδομάδα.

α) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της βενζίνης στο δοχείο μετά από t εβδομάδες.  β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

γ) Με τη χρήση υπολογιστή τσέπης να διαπιστώσετε ότι μετά από 40 εβδομάδες μόνο η μυρωδιά της βενζίνης θα υπάρχει στο δοχείο.

Η λύση τους είναι απλούστατη διότι οι μαθητές γνωρίζουν ότι όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με το 0,8, τότε αυτός ελαττώνεται κατά 20%.

Λέμε λοιπόν: αρχικά (t=0) η βενζίνη στο δοχείο ήταν 20 λίτρα

Μετά από 1 εβδομάδα ήταν 20 επί 0,8

Μετά από 2 εβδομάδες ήταν 20 επί 0,8 επί 0,8 = 20 επί (0,8)2

Μετά από 3 εβδομάδες ήταν 20 επί (0,8)3 κλπ.

Χρειάζεται κανείς να εξηγήσει το κουμπί xy σε επιστημονικό κομπιουτεράκι για τον υπολογισμό της δύναμης αριθμού. Η απάντηση στο γ υποερώτημα στο λυσάρι είναι λάθος, δίνουμε τη σωστή, 0,000664 λίτρα και ζητάμε από τους μαθητές να το διαβάσουν (664 εκατομμυριοστά του λίτρου).

Για το σπίτι τους έβαλα το πρόβλημα 8 στη σελίδα 133 καθώς και άλλες δύο παρόμοιες. Τις έλυσαν σχεδόν όλοι.

Κατόπιν έγινε διαπραγμάτευση του παρακάτω προβλήματος (από το βιβλίο: Άλγεβρα Β΄ Λύκείου του Α. Μπάρλα, Ελληνοεκδοτική):

Έστω Q(t)=αβt, α,β>0   η συνάρτηση που δίνει το πλήθος των βακτηριδίων μιας κοινωνίας μετά από t ημέρες από τη στιγμή που άρχισε η μελέτη ανάπτυξης βακτηριδίων. Αν μετά από 72 ώρες το πλήθος των βακτηριδίων είναι 1024 και μετά από 13 ημέρες είναι 1 βακτηρίδιο, τότε:

α) Να βρείτε τον αρχικό πληθυσμό των βακτηριδίων    (Απ: 213) 

β) Να βρείτε μετά από πόσες ημέρες το πλήθος των βακτηριδίων θα είναι το μισό του αρχικού πληθυσμού των βακτηριδίων.    (Απ: 1 ημέρα)

γ) Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο που απαιτείται, ώστε να έχει μείνει το πολύ το 1/8 του αρχικού πλήθους βακτηριδίων.   (Απ: 3 ημέρες)

3η Διδακτική Ώρα

Συζητήθηκε το παρακάτω πρόβλημα για να οριστεί ο αριθμός e (σελίδα 129 του σχολικού βιβλίου) όπως σκιαγραφείται παρακάτω.

Ο αριθμός e

Έχουμε 1 εκατομμύριο ευρώ και το τοκίζουμε με τόκο 100% , τι ποσό θα πάρουμε μετά από ένα έτος;     Θα πάρουμε 2 εκατομμύρια ευρώ.

1 φορά αύξηση 100%                        1∙2=2

Αν κατά τη διάρκεια του έτους το τοκίσουμε 2 φορές και στο τέλος κάθε εξαμήνου το ποσό θα έχει αυξηθεί κατά 50% κάθε φορά (δηλαδή στο τέλος του κάθε εξαμήνου θα παίρνουμε τόκο 50%),  τότε τι ποσό θα πάρουμε στο τέλος του έτους;

2 φορές αύξηση, 50% κάθε φορά      1∙1,5∙1,5=(1,5)2=2,25                                                                                                               (1+1/2)2  

(50% αύξηση σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε με 1,5)  Συνεχίζουμε τις ερωτήσεις με τον ίδιο τρόπο.

4 φορές αύξηση, 25% κάθε φορά                 1∙1,25∙1,25∙1,25∙1,25=(1,25)4=2,4414  

(1+1/4)4

10 φορές αύξηση, 10% κάθε φορά    (1,1)10=2,59 

(1+1/10)10                      

100 φορές αύξηση, 1% κάθε φορά    (1,01)100=2,7048                                                                                                                  (1+1/100)100            

1000 φορές αύξηση, 1‰ κάθε φορά            (1,001)1000=2,7169                                                                                                     (1+1/1000)1000                  

10000 φορές αύξηση, 0,1‰ κάθε φορά       (1,0001)10000=2,7181                                                                                                       κλπ

Την τελευταία στήλη με την ακολουθία τη συμπληρώνουμε στο τέλος, αφού ολοκληρώσουμε την αριστερή στήλη.

To όριο της ακολουθίας  (1+1/ν)ν όταν το ν τείνει στο άπειρο είναι ίσο με τον αριθμό e=2.7 1828 1828 45 90 45

Δίνουμε ιστορικά στοιχεία για τον αριθμό αυτό, ποιος τον ανακάλυψε, πότε, γιατί δε συμβολίζεται με ελληνικό γράμμα όπως ο π (γιατί δεν τον είχαν βρει οι αρχαίοι έλληνες αφού δεν είχαν αναπτύξει τον αλγεβρικό συμβολισμό, δεν ανακάλυψαν την άλγεβρα, όπως και η λέξη άλγεβρα έχει αραβική προέλευση και όχι ελληνική (π.χ. μαθηματικά, φυσική, βιολογία, ιστορία, φιλοσοφία κλπ.)

Δυστυχώς δε μπορούμε εύκολα να εξηγήσουμε γιατί αυτός ο αριθμός είναι τόσο σημαντικός, δηλαδή ότι ο ρυθμός αύξησης της εκθετικής συνάρτησης ex είναι ίσος με την ίδια τη συνάρτηση, τους λέμε ότι θα ασχοληθούν ξανά με το θέμα στην τρίτη λυκείου.

Βλέπε και τη σελίδα του συναδέλφου Αιμίλιου Βλαστού.

Νόμος της Εκθετικής Μεταβολής, ημιζωή, αρχαιολογία κλπ, λύση άσκησης 7, σελίδα 133 στο σχολικό βιβλίο (της χρονιάς 2011-2012).

Παιγνίδι Ραδιοχρονολόγησης από τις εξαιρετικές προσομοιώσεις του πανεπιστημίου του Colorado