2.4. Ρυθμός Μεταβολής

Τα τελευταία δύο χρόνια (που έχω διαθέσιμο βιντεοπροβολέα στην τάξη) τα πρώτα λεπτά δείχνω δείχνω στους μαθητές το παραπάνω αρχείο του GeoGebra , γίνεται συζήτηση και κατόπιν λύνουμε την άσκηση παραδοσιακά στον πίνακα. Είναι η πρώτη άσκηση που λύνω στο ρυθμό μεταβολής και αφιερώνω μια διδακτική ώρα για την επίλυση μόνο του β΄ ερωτήματος, ώστε να υπάρξει δυνατότητα συζήτησης πάνω στη σημασία της έννοιας της παραγώγου σε εφαρμογές. Η δυναμική προβολή που προσφέρει το αρχείο του λογισμικού και η σχετική συζήτηση βοηθά τους μαθητές να αντιληφθούν διαισθητικά ποιο μέγεθος του προβλήματος μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό και ποια μεγέθη με ρυθμό αργό ή γρήγορο και στη συνέχεια να εκτιμήσουν το ισχυρότατο εργαλείο της παραγώγου, με τη βοήθεια του οποίου μπορούμε να υπολογίσουμε με απόλυτη ακρίβεια το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής όλων των μεγεθών.

Η χρήση του GeoGebra ως εργαλείο για την επίδειξη ενός δυναμικού σχήματος και συζήτηση με τους μαθητές, στα πλαίσια μετωπικής διδασκαλίας, παλαιότερα δεν με έβρισκε σύμφωνο. Είναι, όπως είχε πει εύστοχα ο εκλεκτός συνάδελφος Κώστας Γαβρίλης "σα να έχεις μια Ferrari και να τη χρησιμοποιείς μόνο μέσα στην κίνηση βάζοντας 1η και 2η ταχύτητα".

Μιας όμως και ο βιντεοπροβολέας είναι διαθέσιμος τον αξιοποίησα έστω κι έτσι, για την πρώτη επαφή των μαθητών με το ρυθμό μεταβολής.

Παρακάτω αναφέρω περιληπτικά κάποιες από τις ερωτήσεις που συζητήθηκαν με τους μαθητές.

Ερωτήσεις πριν την εμφάνιση των x(t), y(t), x'(t) και y'(t).

Θεωρούμε ότι η σκάλα ξεκινάει από την κατακόρυφη θέση (κολλημένη στον τοίχο) και γλιστρά ώσπου να βρεθεί στην οριζόντια θέση. Αφού το κάτω μέρος της σκάλας γλιστρά, πόσο διάστημα θα διανύσει (το κάτω μέρος της σκάλας) από την αρχική στην τελική θέση; (3 μέτρα, όσο το μήκος της σκάλας)

Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστρά στο δάπεδο με ρυθμό 0,1 m/sec, δηλαδή πόσα εκατοστά το δευτερόλεπτο; (10 εκατοστά)

Σε πόσα δευτερόλεπτα θα έχει διανύσει όλη την απόσταση; (τα 10 εκατοστά σε 1 δευτερόλεπτο, το ένα μέτρο, δηλαδή τα 100 εκατοστά σε 10 δευτερόλεπτα, τα 3 μέτρα σε 30 δευτερόλεπτα, τόσο διαρκεί η κίνηση της σκάλας) Στο αρχείο φαίνεται αυτό από τις τιμές που λαμβάνει ο δρομέας (που αναπαριστά το χρόνο).

Πώς να συμβολίσουμε τα μεγέθη ΟΑ και ΟΒ; (x(t) και y(t), είναι συναρτήσεις ως προς το χρόνο, δεν έχουν δει ακόμα την εικόνα του σχολικού βιβλίου που δίνει τα x και y)

Ποιο αυξάνει και ποιο μειώνεται;

Πόσο γρήγορα αυξάνει το x; (10 εκατοστά το δευτερόλεπτο)

Ποιο μαθηματικό μέγεθος είναι η ταχύτητα του x(t) (ή ο ρυθμός μεταβολής του x(t)); (η παράγωγος x'(t))

Άρα το x αυξάνει με σταθερό ρυθμό. Το y μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό ή στην αρχή αργά και μετά γρήγορα, ή στην αρχή γρήγορα και μετά αργά. Οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν πριν ξαναδούν το αρχείο, αφού απαντήσουν να απαντήσουν εκ νέου μετά την παρατήρηση της κίνησης της σκάλας στο αρχείο του GeoGebra. Εδώ μαθητής με ρώτησε: "γιατί στο τέλος η σκάλα πέφτει τόσο γρήγορα;" Ακολούθησε η γνώμη και άλλων μαθητών και έγινε ενδιαφέρουσα συζήτηση.

Κάπου εδώ μπορούμε να εμφανίζουμε στο αρχείο του GeoGebra και τα x(t), y(t), x'(t) και y'(t) και να συνεχίζουμε τη συζήτηση.

Διαβάστε την εκφώνηση από το σχολικό βιβλίο και προτείνετε πως να βρούμε τη λύση στο β΄ ερώτημα. (να πάμε το χρόνο στο σημείο που το y είναι ίσο με 2,5)

Το y είναι ίσο με 2,5 μέτρα στην αρχή σχετικά ή προς το τέλος της κίνησης της σκάλας; Ποιο δευτερόλεπτο είναι αυτό; Τι να κάνουμε στο αρχείο; (η κορυφή της σκάλας έχει κατέβει μισό μέτρο τα πρώτα 16,8 δευτερόλεπτα, και τα επόμενα 13 δευτερόλεπτα κατεβαίνει κατά 2,5 μέτρα!)

Ο ρυθμός μεταβολής του y είναι αρνητικός αριθμός, το αναμέναμε αυτό; Γιατί;

Μετά από όλα αυτά υπάρχει ο κίνδυνος κάποιος μαθητής να πει πως δε χρειάζεται να λύσουμε την άσκηση στο χαρτί, έχουμε ήδη βρει την απάντηση με τη βοήθεια του αρχείου. Είναι και αυτή μια ενδιαφέρουσα και εποικοδομητική συζήτηση. Οφείλει η διδάσκουσα να μην καταφύγει αμέσως στο ότι έτσι θα ζητηθεί στις εξετάσεις αλλά να δώσει πιο πειστικά επιχειρήματα. Για παράδειγμα, για την κατασκευή του αρχείου χρειάστηκε πρώτα να επιλυθεί η άσκηση και μετά να γραφούν οι τύποι που δίνουν τα x(t), x΄(t), y'(t), θ΄(t) κλπ.

Αυτά, μεταξύ άλλων, είναι κάποιες πιθανά ερωτήματα που θα μπορούσε να τεθούν κατά τη διδασκαλία της συγκεκριμένης άσκησης, κάποια από αυτά δε, θα μπορούσαν να τεθούν σε όλα σχεδόν τα προβλήματα του ρυθμού μεταβολής.

Υπάρχει και β΄ τρόπος λύσης της άσκησης, με πιο επίπονες πράξεις, όπου υπολογίσουμε το x(t) και το y(t) συναρτήσει του χρόνου, στη συνέχεια υπολογίζουμε το t_o , παραγωγίζουμε την y(t) και τέλος βρίσκουμε το y'( t_o) (η λύση πρόχειρα γραμμένη εδώ)

Η μελέτη του ρυθμού με τον οποίο μεταβάλλεται η γωνία θ (η γωνία μειώνεται στην αρχή αργά και μετά γρήγορα ή αντίστροφα; κλπ) ενδεχομένως να χρειαστεί να γίνει την επόμενη διδακτική ώρα.