Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
1. Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία
Ακολουθεί περιληπτική αναφορά σε κάποια στοιχεία που εγώ συζητώ με τους μαθητές στην τάξη, την πρώτη διδακτική ώρα στο μάθημα της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου (και της Β΄, τα επαναλαμβάνω με περισσότερες λεπτομέρειες).
Σκοπός μου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τη διάκριση μεταξύ της πρακτικής και της θεωρητικής (ευκλείδειας) γεωμετρίας καθώς και τους όρους αξίωμα, ορισμός, θεώρημα, πόρισμα.
Αναφορά στον όρο "Γεωμετρία" (μετρώ τη γη)
Αναφορά σε ιστορικά στοιχεία και στους λαούς που ανέπτυξαν τη γεωμετρία.
Σουμέριοι, Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι... Γιατί αναπτύχθηκε η γεωμετρία στην Αίγυπτο; Ποια είναι η μορφή της μορφολογίας του εδάφους εκεί; ...(μια τεράστια πεδιάδα (ποιου ποταμού?) που πλημμυρίζει, όχι σαν τις μικρές πεδιάδες στην Ελλάδα, δεν μπορούσαν μετά να βρουν τα χωράφια τους, γι' αυτό ανέπτυξαν τη γεωμετρία, για πρακτικούς σκοπούς).
Με τους αρχαίους Έλληνες εισάγεται για πρώτη φορά στην ιστορία της ανθρωπότητας η έννοια της απόδειξης, η οποία αποτελεί τη βάση του δυτικού πολιτισμού. Στους ανατολικούς πολιτισμούς ο θεός ή ο βασιλιάς έλεγαν κάτι και κανείς δεν ρωτούσε "γιατί να το κάνουμε αυτό", σήμερα στο δυτικό κόσμο πάντα ρωτάμε το γιατί, θέλουμε να αιτιολογήσει κάποιος τις απόψεις του, αν ο πατέρας μας μας πει να μην αργείς το βράδυ πρέπει να μας εξηγήσει το γιατί, αν κάποιος υπουργός προτείνει αύξηση ή μείωση της φορολογίας θα πρέπει να το αιτιολογήσει, να κάνει κάποια άτυπη απόδειξη (τα αξιώματα είναι κρυμμένα στις συζητήσεις αυτές).
Επεξήγηση των όρων: Ορισμός, Αξίωμα, Θεώρημα, Πόρισμα.
Ορισμός μιας λέξης τι σημαίνει; Μπορεί κάποιος να πει ένα παράδειγμα, να δώσει έναν ορισμό; (αλλοτρίωση, φιλοπατρία, τετράγωνο, παραλληλόγραμμο, παράλληλες ευθείες)
Ορισμός: περιγράφει την έννοια κάποιου όρου.
Τι είναι αξίωμα;
Αξίωμα: ισχυρισμός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη, π.χ. από δύο σημεία διέρχεται μια ευθεία, Ευκλείδειο Αίτημα κλπ
Αξίωμα, (μια πρόταση που τη δεχόμαστε χωρίς απόδειξη, π.χ. αξιωματικά δεχόμαστε ότι ... )
Αναφορά στους μη οριζόμενους όρους, και στο αξίωμα των παραλλήλων και το ισοδύναμο 5ο αίτημα του Ευκλείδη.
Τι είναι θεώρημα;
Θεώρημα: ισχυρισμός που έχει απόδειξη
Από που βγαίνει η λέξη; (θεός και ορώ), τι σημαίνει στα αρχαία ελληνικά ορώ; (βλέπω), άλλες λέξεις που περιέχουν το ρήμα ορώ; (όραση, αόρατος, θεόρατος κλπ)
μαθαίνω ή ανακαλύπτω ένα θεώρημα, διατυπώνω μια θεωρία=βλέπω το θεό, δηλαδή τη σοφία που έφτιαξε ο Θεός τον κόσμο. Οι άλλοι λαοί έχουν την ελληνική αυτή λέξη (theory, theorem) αλλά δεν καταλαβαίνουν την ετοιμολογία της (για το θεός λένε god, για το βλέπω λένε see)
Για πρώτη φορά στην ιστορία, οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν να εξηγήσουν τον κόσμο διατυπώνοντας θεωρίες και στη γεωμετρία έκαναν αποδείξεις.
Πόρισμα, τι σημαίνει; (συμπέρασμα, πόρισμα της εξεταστικής επιτροπής της βουλής για τη λίστα Λαγκάρντ κλπ.)
Πόρισμα: έχει μικρή απόδειξη, προκύπτει άμεσα από το θεώρημα.
Στη συνέχεια αποδεικνύω ότι το θεώρημα: "Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180ο", χρησιμοποιώντας το προαναφερθέν αξίωμα.
Πως σας φαίνεται το αξίωμα αυτό, είναι προφανές ότι ισχύει;
Στην αρχαιότητα προσπάθησαν όλοι οι μεγάλοι έλληνες μαθηματικοί να το αποδείξουν, στο μεσαίωνα οι άραβες μαθηματικοί και στην αναγέννηση οι μαθηματικοί της δυτικής Ευρώπης, κανείς όμως δεν τα κατάφερε.
Την ομάδα Rubin Kazan την ξέρετε; ... Στο μακρινό Καζάν, (εδώ δεν είχαμε τότε πανεπιστήμιο, πότε ιδρύθηκε το πρώτο πανεπιστήμιο στην Ελλάδα; Το 1837 ) ο πρύτανης του πανεπιστημίου Λομπατσέφσκι το 1829 έθεσε το αξίωμα: "Από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται πολλές παράλληλες ευθείες" και απέδειξε το θεώρημα: "Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180 μοίρες" και μια σειρά άλλα. Η απόδειξεις είναι όλες σωστές (βασίζονται σε διαφορετικό αξίωμα), έτσι αναπτύχθηκε μια νέα γεωμετρία, η Υπερβολική Γεωμετρία, η οποία έχει διαφορετικά θεωρήματα από την Ευκλείδεια (και ένας Ούγγρος, ο Bolyai, ανεξάρτητα, το 1832).
Το 1854, ένας μεγάλος Γερμανός μαθηματικός, ο Μπέρναρντ Ρίμαν διατύπωσε το αξίωμα: "Από σημείο εκτός ευθείας δεν διέρχονται καμιά παράλληλη ευθεία" και απέδειξε το θεώρημα: "Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες", η απόδειξη επίσης είναι σωστή και έτσι αναπτύχθηκε μια νέα γεωμετρία, η Ελλειπτική Γεωμετρία, η οποία επίσης έχει διαφορετικά θεωρήματα από την Ευκλείδεια.
Σε πολιτικές συζητήσεις στην τηλεόραση πολλές φορές φαίνεται να πείθουν για αντίθετα πράγματα οι ομιλητές, για παράδειγμα λέει ο ένας ότι πρέπει να αυξηθούν οι φόροι και το τεκμηριώνει και λέμε δίκιο έχει και μετά μιλά ένας άλλος και λέει ότι πρέπει να μειωθούν οι φόροι και επίσης το τεκμηριώνει και φαίνεται να έχει δίκιο. Ο καθένας όμως χρησιμοποιεί διαφορετικά αξιώματα, τα οποία δεν τα αναφέρει όμως ξεκάθαρα.
Ποια γεωμετρία είναι σωστή; (οι μαθητές απαντούν οι Ευκλείδεια)
Ο Αϊνστάιν, το 1915 διατύπωσε τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, όπου αποδέχθηκε ότι η γεωμετρία του σύμπαντος είναι η Ελλειπτική και όχι η Ευκλείδεια.
Στο σύμπαν δεν υπάρχουν παράλληλες, αν θέλουμε να πάμε από εδώ στο Λονδίνο δεν θα πάμε ευθεία αλλά θα ακολουθήσουμε την καμπυλότητα της γης, η βαρύτητα καμπυλώνει τον χωροχρόνο κλπ.
Γιατί μαθαίνουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία; Ο αρχιτέκτονας που κατασκευάζει ένα σπίτι γνωρίζει ότι οι τοίχοι δεν είναι παράλληλοι, αφού δεν υπάρχουν παράλληλες στο σύμπαν, αλλά το λάθος είναι απειροελάχιστο, οπότε πρακτικά είναι παράλληλοι και το σπίτι δεν πέφτει.
Στην παρουσίαση αυτή θα μπορούσαμε να συζητήσουμε δείχνοντας και τις παρακάτω εικόνες από το διαδίκτυο, αν υπάρχει διαθέσιμος βιντεοπροβολέας.
Ανακτήθηκε από το διαδίκτυο μετά από αναζήτηση με χρήση των λέξεων "μη ευκλείδειες γεωμετρίες", επιλέγοντας εικόνες.
Μπορεί ακόμα να παρακολουθήσει με τους μαθητές αυτό το βίντεο, από μια εκπομπή της ΕΤ3 ή/και να παρουσιάσει αυτές τις διαφάνειες.
Εδώ η αντίστοιχη διδακτική πρόταση του Μάκη Χατζόπουλου
Στοιχεία για το μάθημα μπορούν να αντληθούν και από την παρουσίαση της Συναδέλφου Παναγιώτας Κοταρίνου με τίτλο: Η Δραματική Τέχνη στην Εκπαίδευση και το 5ο αίτημα του Ευκλείδη.
Oμιλία του Π. Τσαμάτου με θέμα: "Από τις βαβυλωνιακές πλάκες και τους αιγυπτιακούς παπύρους στα Στοιχεία του Ευκλείδη".
Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες Ευθείες
4.3. Παράλληλες Ευθείες
Φυλλάδιο σε αρχείο acrobat που μπορεί να κατέβει από εδώ.
Το φυλλάδιο αυτό περιέχει 8 ασκήσεις, στις οποίες τα σχήματα δίνονται ημιτελή στους μαθητές. Οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν τα σχήματα πάνω στο φυλλάδιο και στη συνέχεια να επιλύσουν τις ασκήσεις. Το φυλλάδιο είναι έτσι κατασκευασμένο ώστε όλα τα σχήματα να μπορούν να συμπληρωθούν στον κενό χώρο του φυλλαδίου (υπάρχει κενός χώρος για τις προεκτάσεις που απαιτούνται σε κάθε σχήμα). Δίνεται εδώ και ένα αρχείο με τα σχήματα συμπληρωμένα από έναν μαθητή.
Το να δίνονται τα σχήματα στη γεωμετρία είναι ένα θέμα για το οποίο έχουν γίνει πολλές συζητήσεις και δεν θα επεκταθώ εδώ. Είναι προφανές ότι οι μαθητές θα πρέπει να ασκηθούν στην κατασκευή σχημάτων με μολύβι, χρησιμοποιώντας γεωμετρικά τους όργανα ή ακόμα θα έλεγα και με το χέρι τους, κι ας έχει το σχήμα ατέλειες.
Οι συγκεκριμένες ασκήσεις του φυλλαδίου παρουσιάζουν δυσκολία σε σχέση με το επίπεδο ικανότητας επίλυσης γεωμετρικών ασκήσεων που έχουν οι περισσότεροι μαθητές στην αρχή της Α΄ Λυκείου. Γι' αυτό και επέλεξα στο συγκεκριμένο φυλλάδιο να δώσω τα σχήματα ημιτελή και να ζητήσω να τα συμπληρώσουν.
4.6. Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου
Ασκήσεις
Κεφάλαιο 5ο: Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5.1. Παραλληλόγραμμα
Σενάριο για την διδασκαλία του Παραλληλογράμμου από την Πλατφόρμα "Αίσωπος"
5.5. Τετράγωνο
Μια ενδιαφέρουσα άσκηση στο GeoGebra και η λύση της από το blog του Sanjay Gulati
5.9. Μια Ιδιότητα του Ορθογωνίου Τριγώνου
Φυλλάδιο σε αρχείο acrobat που μπορεί να κατέβει από εδώ.
Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα Σχήματα
6.2. - 6.3. Σχέση Εγγεγραμμένης και Επίκεντρης - Γωνία Χορδής και Εφαπτομένης
Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο
Κάθε γωνία που σχηματίζεται από μια χορδή κύκλου και την εφαπτομένη σε ένα άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής.
Μια όμορφη επίδειξη των δύο θεωρημάτων προσφέρει το αρχείο του λογισμικού GeoGebra.
Online τα Στοιχεία του Ευκλείδη στην αυθεντική τους μορφή, σε html έκδοση, με πλήρες εσωτερικό "Search" και πολλά άλλα βοηθήματα για την διευκόλυνση της μελέτης τους
από τον Δημήτρη Μούρμουρα
Ειδικό Διδακτικό Προσωπικό,
Τομέας Φυσικής, Σχολή ΕΜΦΕ - ΕΜΠ
όπως το προτείνει ο ακαταπόνητος μαθηματικός Παναγιώτης Χρονόπουλος (parmenidis)
Προτείνω σε οποιονδήποτε διδάσκει ευκλείδεια γεωμετρία να μελετήσει (η απλά και μόνο να ξεφυλλίσει) το υπέροχο "cult" βιβλίο του καθηγητή στο Πανεπιστήμιο της Κρήτης κ. Πάρι Πάμφιλου : "Έλασσον Γεωμετρικόν".
Ακόμη και να το ξεφυλλίσει απλώς κανείς, να διαβάσει τις εκφωνήσεις των θεωρημάτων και να δει τα σχήματα θα εκτιμήσει το πόσο καλά και με πόση αγάπη για τη γεωμετρία είναι γραμμένο. Η δε αισθητική του είναι μοναδική. Εντυπωσιακό δε είναι ότι το όνομα του συγγραφέα είναι αρχαιοελληνικό, όπως και ο υπέροχος τίτλος του. Έτσι, διαβάζοντας το εξώφυλλο του βιβλίου, νομίζεις ότι είναι γραμμένο την ελληνιστική περίοδο από έναν αρχαίο Έλληνα μαθηματικό.
Εφαρμογές στο GeoGebra aπό το blog του Sanjay Gulati
Κατασκευή Κύκλου που εφάπτεται σε άλλο κύκλο και σε εφαπτομένη ευθεία σε αυτόν.
