Decaimiento Beta

7.1: Decaimiento Gamma

8: Aplicaciones de la Ciencia Nuclear

https://espanol.libretexts.org/Fisica/F%C3%ADsica_Nuclear_y_de_Part%C3%ADculas/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_la_F%C3%ADsica_Nuclear_Aplicada_(Cappellaro)/07%3A_Desintegraci%C3%B3n_radiactiva_II/7.02%3A_Decaimiento_Beta

Figura 7 Esquemas de desintegración beta 

Recordemos las gráficas de cadena de masa y decaimiento Beta de la Fig. 7. Al estudiar la energía de unión del SEMF vimos que en A fijo había un mínimo en la masa nuclear para un valor particular de Z. Para alcanzar ese mínimo, los nucleidos inestables sufren desintegración beta para transformar el exceso de protones en neutrones (y viceversa).

Reacciones y Fenomenología

La reacción de desintegración beta se escribe como:

Esta es la 𝛽-decadencia. (o decaimiento beta negativo) La reacción subyacente es:

n⟶p+e-+𝜈¯

que convierte un protón en un neutrón con la emisión de un electrón y un antineutrino. Hay otros dos tipos de reacciones, la 𝛽+ reacción,

con esta reacción subyacente

p⟶n+e++𝜈

que ve la emisión de un positrón (el electrón antipartícula) y un neutrino; y la captura de electrones:

con esta reacción subyacente

p+e-⟶ n+𝜈

un proceso que compite con, o sustituya, la emisión de positrones.

El neutrino y la partícula beta ( 𝛽± ) comparten la energía.

Dado que los neutrinos son muy difíciles de detectar (como veremos son casi sin masa e interactúan muy débilmente con la materia), los electrones/positrones son las partículas detectadas en la desintegración beta y presentan un espectro de energía característico (ver Fig. 45). La diferencia entre el espectro de las 𝛽± partículas se debe a la repulsión o atracción de Coulomb desde el núcleo. Observe que los neutrinos también se llevan el momento angular. Son partículas spin-1/2, sin carga (de ahí el nombre) y de masa muy pequeña. Durante muchos años en realidad se creía que tenía masa cero. No obstante se ha confirmado que sí tiene una masa en 1998.

Figura 2 Beta decaimiento Distribución del momento (arriba) y energía cinética (abajo) para β-(Izquierda) y β+(derecha) decaimiento. 

Leyes de Conservación

Como el neutrino es difícil de detectar, inicialmente la desintegración beta pareció violar la conservación de energía. La introducción de una partícula extra en el proceso permite respetar la conservación de energía. Además de la energía, hay otras cantidades conservadas:

• Energía: El valor Q de una desintegración beta viene dado por la fórmula habitual:

𝑄𝛽−=[𝑚𝑁(𝐴𝑋)−𝑚𝑁(𝐴𝑍+1𝑋′)−𝑚𝑒]𝑐2

Usando las masas atómicas y descuidando las energías de unión del electrón como de costumbre tenemos

𝑄𝛽−={[𝑚𝐴(𝐴𝑋)−𝑍𝑚𝑒]−[𝑚𝐴(𝐴𝑍+1𝑋′)−(𝑍+1)𝑚𝑒]−𝑚𝑒}𝑐²=[𝑚𝐴(𝐴𝑋)−𝑚𝐴(𝐴𝑍+1𝑋′]𝑐² 

La energía cinética (igual a la 𝑄) es compartida por el neutrino y el electrón (descuidamos cualquier retroceso del núcleo masivo). Entonces, el electrón emergente (recuerden, la única partícula que realmente podemos observar) no tiene una energía fija, como lo fue por ejemplo para el fotón gamma. Pero exhibirá un espectro de energía (que es el número de electrones a una energía dada) así como una distribución de momenta. Veremos cómo podemos reproducir estas gráficas mediante el análisis de la teoría QM de la desintegración beta.

• Momentum: El impulso también se comparte entre el electrón y el neutrino. Por lo tanto, el momento de los electrones observado varía de cero a una transferencia de impulso máxima posible.

• Momento angular (tanto el electrón como el neutrino tienen spin 1/2)

• ¿Paridad? Resulta que la paridad no se conserva en esta decadencia. Esto insinúa que la interacción responsable viola la conservación de la paridad (por lo que no pueden ser las mismas interacciones que ya estudiamos, e.m. e interacciones fuertes)

• Carga (así la creación de un protón es, por ejemplo, siempre acompañada de la creación de un electrón)

• Número de Lepton: no conservamos el número total de partículas (creamos beta y neutrinos). Sin embargo, se conserva el número de partículas masivas y pesadas (o bariones, compuestas por 3 quarks). También se conserva el número de leptón. Los leptones son partículas fundamentales (incluyendo el electrón, muón y tau, así como los tres tipos de neutrinos asociados a estos 3). El número de leptones es +1 para estas partículas y -1 para sus antipartículas. Entonces un electrón siempre va acompañado de la creación de un antineutrino, e.g., para conservar el número de leptones (inicialmente cero).

Teoría de Fermi de Decaimiento Beta

Las propiedades de la desintegración beta se pueden entender estudiando su descripción cuántico-mecánica a través de la regla de oro de Fermi, como se hace para la desintegración gamma.

𝑊=2𝜋/ℏ|⟨𝜓𝑓|𝑉^|𝜓𝑖⟩|2𝜌(𝐸𝑓)

En el proceso de decaimiento gamma hemos visto como el campo e.m. se describe como un operador que puede crear (o destruir) fotones. Nadie se opuso al hecho de que podemos crear estas partículas sin masa. Después de todo, estamos familiarizados con partículas cargadas que producen (crean) un campo e.m. Sin embargo en QM los fotones también son partículas, y por analogía podemos tener también creación de otro tipo de partículas, como el electrón y el neutrino.

Para la desintegración beta necesitamos otro tipo de interacción que sea capaz de crear partículas masivas (el electrón y el neutrino). La interacción no puede ser dada por el campo e.m.; además, a la luz de las posibilidades de crear y aniquilar partículas, también necesitamos encontrar una nueva descripción de las propias partículas que permita estos procesos. Todo esto se obtiene mediante la teoría cuántica de campos y la segunda cuantificación. La teoría cuántica de campos da una unificación de e.m. y fuerza débil (interacción electro-débil) con una constante de acoplamiento e. La interacción responsable de la creación del electrón y neutrino en la desintegración beta se llama la interacción débil y su una de las cuatro interacciones fundamentales ( junto con la gravitación, el electromagnetismo y la fuerte interacción que mantiene unidos nucleones y quarks). Una característica de esta interacción es la violación de la paridad.

Elemento Matriz

La interacción débil se puede escribir en términos de las funciones de onda del campo de partículas:

𝑉𝑖𝑛𝑡 = 𝑔Ψ†𝑒Ψ†𝜈¯

donde Ψ𝑎(Ψ†𝑎) aniquila (crea) la partícula a, y g es la constante de acoplamiento que determina qué tan fuerte es la interacción. Recuerde que el operador análogo para el campo e.m. fue ∝𝑎†𝑘  (creando un fotón de momentum k).

Luego, el elemento de la matriz

𝑉𝑖𝑓 =⟨𝜓𝑓|𝐻𝑖𝑛𝑡|𝜓𝑖⟩

se puede escribir como:

𝑉𝑖𝑓=𝑔∫𝑑³𝑥→Ψ𝑝∗(𝑥→)[Ψ𝑒∗(𝑥→)Ψ𝜈¯∗(𝑥→)]Ψ𝑛(𝑥→)

(Aquí

†→∗ ya que tenemos operadores escalares).

A la primera aproximación el electrón y el neutrino se pueden tomar como ondas planas:

𝑉𝑖𝑓=𝑔∫𝑑³𝑥→Ψ𝑝∗(𝑥→)𝑒𝑖𝑘→𝑒⋅𝑥→𝑉𝑒𝑖𝑘→𝜈⋅𝑥→𝑉Ψ𝑛(𝑥→)

y ya que 𝑘𝑅≪1 podemos aproximar esto con

𝑉𝑖𝑓=𝑔𝑉∫𝑑3𝑥→Ψ𝑝∗(𝑥→)Ψ𝑛(𝑥→)

Luego escribimos este elemento de la matriz como

𝑉𝑖𝑓 =𝑔/𝑉𝑀np

donde 𝑀np es una función muy complicada de los estados de giro nuclear y momento angular. Además, utilizaremos en la Regla de Oro de Fermi la expresión

|𝑀np|²→|𝑀np|²𝐹(𝑍0,𝑄𝛽)

donde la función Fermi 𝐹(𝑍0,𝑄𝛽) da cuenta de la interacción Coulomb entre el núcleo y el electrón que habíamos descuidado en la expresión anterior (donde solo consideramos la interacción débil).

Densidad de estados

Al estudiar la desintegración gamma calculamos la densidad de los estados, tal como lo exige la Regla de Oro de Fermi. Aquí tenemos que hacer lo mismo, pero el problema se complica por el hecho de que existen dos tipos de partículas (electrón y neutrino) como productos de la reacción y ambas pueden estar en un continuo de estados posibles. Entonces el número de estados en un pequeño volumen de energía es producto de los estados de electrones y neutrinos:

.

𝑑²𝑁s=𝑑𝑁e𝑑𝑁𝜈

Las dos partículas comparten la 𝑄 energía:

𝑄𝛽 =𝑇e+𝑇𝜈

Por simplicidad asumimos que la masa del neutrino es cero (es mucho menor que la masa de electrones y de la masa cinética del propio neutrino). Entonces podemos tomar la expresión relativista

𝑇𝜈 = 𝑐𝑝𝜈 ,

mientras que para el electrón

𝐸²=𝑝²𝑐²+𝑚²𝑐⁴→𝐸=𝑇𝑒+𝑚𝑒𝑐² with 𝑇𝑒=√(𝑝𝑒²𝑐²+𝑚𝑒²𝑐⁴)−𝑚𝑒𝑐²

y luego escribimos la energía cinética del neutrino en función de los electrones,

𝑇𝜈 =𝑄𝛽 −𝑇𝑒.

El número de estados para el electrón se puede calcular a partir del momento cuantificado, bajo el supuesto de que el estado del electrón es una partícula libre

(𝜓∼𝑒𝑖𝑘→⋅𝑟→) en una región de volumen𝑉=𝐿³:

𝑑𝑁𝑒=(𝐿2𝜋)34𝜋𝑘𝑒2𝑑𝑘𝑒=4𝜋𝑉(2𝜋ℏ)3𝑝𝑒2𝑑𝑝𝑒

y lo mismo para el neutrino,

d

N

ν

=

4πV

(2πℏ

)

3

p

2

ν

d

p

ν

𝑑𝑁𝜈=4𝜋𝑉(2𝜋ℏ)3𝑝𝜈2𝑑𝑝𝜈

donde se utilizó la relación entre el impulso y el número de onda:

p

⃗ 

=ℏ

k

⃗ 

.

𝑝→=ℏ𝑘→.

A un valor determinado de momento/energía para el electrón, podemos escribir la densidad de estados como

ρ(

p

e

)d

p

e

=d

N

e

d

N

ν

d

T

ν

=16

π

2

V

2

(2πℏ

)

6

p

2

e

d

p

e

p

2

ν

d

p

ν

d

T

ν

=

V

2

4

π

4

ℏ

6

c

3

[Q−

T

e

]

2

p

2

e

d

p

e

𝜌(𝑝𝑒)𝑑𝑝𝑒=𝑑𝑁𝑒𝑑𝑁𝜈𝑑𝑇𝜈=16𝜋2𝑉2(2𝜋ℏ)6𝑝𝑒2𝑑𝑝𝑒𝑝𝜈2𝑑𝑝𝜈𝑑𝑇𝜈=𝑉24𝜋4ℏ6𝑐3[𝑄−𝑇𝑒]2𝑝𝑒2𝑑𝑝𝑒

donde usamos:

d

T

ν

d

p

ν

=c

𝑑𝑇𝜈𝑑𝑝𝜈=𝑐 y

p

ν

=(

Q

β

−

T

e

)/c.

𝑝𝜈=(𝑄𝛽−𝑇𝑒)/𝑐.

La densidad de los estados es entonces

ρ(

p

e

)d

p

e

=

V

2

4

π

4

ℏ

6

c

3

[Q−

T

e

]

2

p

2

e

d

p

e

=

V

2

4

π

4

ℏ

6

c

3

[Q−(

p

2

e

c

2

+

m

2

e

c

4

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

√

−

m

e

c

2

)]

2

p

2

e

d

p

e

𝜌(𝑝𝑒)𝑑𝑝𝑒=𝑉24𝜋4ℏ6𝑐3[𝑄−𝑇𝑒]2𝑝𝑒2𝑑𝑝𝑒=𝑉24𝜋4ℏ6𝑐3[𝑄−(𝑝𝑒2𝑐2+𝑚𝑒2𝑐4−𝑚𝑒𝑐2)]2𝑝𝑒2𝑑𝑝𝑒

o reescribir esta expresión en términos de la energía cinética electrónica:

ρ(

T

e

)=

V

2

4

π

4

ℏ

6

c

3

[Q−

T

e

]

2

p

2

e

d

p

e

d

T

e

=

V

2

4

c

6

π

4

ℏ

6

[Q−

T

e

]

2

T

2

e

+2

T

e

m

e

c

2

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

√

(

T

e

+

m

e

c

2

)

𝜌(𝑇𝑒)=𝑉24𝜋4ℏ6𝑐3[𝑄−𝑇𝑒]2𝑝𝑒2𝑑𝑝𝑒𝑑𝑇𝑒=𝑉24𝑐6𝜋4ℏ6[𝑄−𝑇𝑒]2𝑇𝑒2+2𝑇𝑒𝑚𝑒𝑐2(𝑇𝑒+𝑚𝑒𝑐2)

( as 

p

e

d

p

e

=(

T

e

+

m

e

c

2

)/

c

2

d

T

e

)

( as 𝑝𝑒𝑑𝑝𝑒=(𝑇𝑒+𝑚𝑒𝑐2)/𝑐2𝑑𝑇𝑒)

Conociendo la densidad de los estados, podemos calcular cuántos electrones se emiten en la desintegración beta con una energía dada. Esto será proporcional a la tasa de emisión calculada a partir de la Regla de Oro de Fermi, multiplicada por la densidad de los estados:

N(p)=CF(Z,Q)

|

V

fi

|

2

p

2

c

2

[Q−T

]

2

=CF(Z,Q)

|

V

fi

|

2

p

2

c

2

[Q−(

p

2

e

c

2

+

m

2

e

c

4

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

√

−

m

e

c

2

)]

2

𝑁(𝑝)=𝐶𝐹(𝑍,𝑄)|𝑉𝑓𝑖|2𝑝2𝑐2[𝑄−𝑇]2=𝐶𝐹(𝑍,𝑄)|𝑉𝑓𝑖|2𝑝2𝑐2[𝑄−(𝑝𝑒2𝑐2+𝑚𝑒2𝑐4−𝑚𝑒𝑐2)]2

y

N(

T

e

)=

C

c

5

F(Z,Q)

|

V

fi

|

2

[Q−

T

e

]

2

T

2

e

+2

T

e

m

e

c

2

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

√

(

T

e

+

m

e

c

2

)

𝑁(𝑇𝑒)=𝐶𝑐5𝐹(𝑍,𝑄)|𝑉𝑓𝑖|2[𝑄−𝑇𝑒]2𝑇𝑒2+2𝑇𝑒𝑚𝑒𝑐2(𝑇𝑒+𝑚𝑒𝑐2)

Estas distribuciones no son otra cosa que el espectro de las partículas beta emitidas (electrón o positrón). En esta expresión recogimos en la C constante diversos parámetros derivados de los cálculos de la Regla de Oro de Fermi y densidad de estados, ya que queremos destacar únicamente la dependencia de la energía y el impulso. Además, se introdujo una nueva función, F (Z, Q), llamada función Fermi, que toma en cuenta la forma de la función de onda nuclear y en particular describe la atracción o repulsión de Coulomb del electrón o positrón del núcleo. Así, F (Z, Q) es diferente, dependiendo del tipo de decaimiento. Estas distribuciones se graficaron en la Fig. 45. Observe que estas distribuciones (así como la tasa de decaimiento a continuación) son producto de tres términos:

• el Factor estadístico (derivado del cálculo de la densidad de estados),

• p

• 2

• c

• 2

• [Q−T

• ]

• 2

• 𝑝2𝑐2[𝑄−𝑇]2

• la función Fermi (contabilizando la interacción Coulomb), F (Z, Q)

• y la amplitud de transición de la Regla de Oro de Fermi,

• |

• V

• fi

• |

• 2

• |𝑉𝑓𝑖|2

Estos tres términos reflejan los tres ingredientes que determinan el espectro y la tasa de desintegración de los procesos de desintegración beta.

Tasa de decaimiento

La tasa de decaimiento se obtiene de la regla de oro de Fermi:

W=

2π

ℏ

|

V

if

|

2

ρ(E)

𝑊=2𝜋ℏ|𝑉𝑖𝑓|2𝜌(𝐸)

donde ρ (E) es la densidad total de los estados. ρ (E) (y así la tasa de decaimiento) se obtiene sumando sobre todos los estados posibles de la partícula beta, contados por la densidad de los estados. Así, en la práctica, necesitamos integrar la densidad de estados sobre todo el impulso posible del electrón/positrón saliente. Tras la integración sobre

p

e

𝑝𝑒 obtenemos:

ρ(E)=

V

2

4

π

4

ℏ

6

c

3

∫

p

max

e

0

d

p

e

[Q−

T

e

]

2

p

2

e

≈

V

2

4

π

4

ℏ

6

c

3

(Q−m

c

2

)

5

30

c

3

𝜌(𝐸)=𝑉24𝜋4ℏ6𝑐3∫0𝑝𝑒𝑚𝑎𝑥𝑑𝑝𝑒[𝑄−𝑇𝑒]2𝑝𝑒2≈𝑉24𝜋4ℏ6𝑐3(𝑄−𝑚𝑐2)530𝑐3

(donde tomamos

T

e

≈pc

𝑇𝑒≈𝑝𝑐 en el límite relativista para la alta velocidad de electrones).

Finalmente podemos escribir la tasa de decaimiento como:

W=

2π

ℏ

|

V

if

|

2

ρ(E)=

2π

ℏ

g

V

2

|

M

np

|

2

F(Z,

Q

β

)

V

2

4

π

4

ℏ

6

c

3

(Q−m

c

2

)

5

30

c

3

𝑊=2𝜋ℏ|𝑉𝑖𝑓|2𝜌(𝐸)=2𝜋ℏ𝑔𝑉2|𝑀𝑛𝑝|2𝐹(𝑍,𝑄𝛽)𝑉24𝜋4ℏ6𝑐3(𝑄−𝑚𝑐2)530𝑐3

=

G

2

F

|

M

np

|

2

F(Z,

Q

β

)

(Q−m

c

2

)

5

60

π

3

ℏ(ℏc

)

6

=𝐺𝐹2|𝑀𝑛𝑝|2𝐹(𝑍,𝑄𝛽)(𝑄−𝑚𝑐2)560𝜋3ℏ(ℏ𝑐)6

donde introdujimos la constante

G

F

=

1

2

π

3

−

−

−

√

g

m

2

e

c

ℏ

3

𝐺𝐹=12𝜋3𝑔𝑚𝑒2𝑐ℏ3

lo que da la fuerza de la interacción débil. Comparando con la fuerza de la interacción electromagnética, dada por la constante fina

α=

e

2

ℏc

∼

1

137

𝛼=𝑒2ℏ𝑐∼1137, la interacción débil es mucho menor, con una constante

∼

10

−6

.

∼10−6.

También podemos escribir la tasa de decaimiento diferencial

dW

d

p

e

𝑑𝑊𝑑𝑝𝑒:

dW

d

p

e

=

2π

ℏ

|

V

if

|

2

ρ(

p

e

)∝F(Z,Q)

[Q−

T

e

]

2

p

2

e

𝑑𝑊𝑑𝑝𝑒=2𝜋ℏ|𝑉𝑖𝑓|2𝜌(𝑝𝑒)∝𝐹(𝑍,𝑄)[𝑄−𝑇𝑒]2𝑝𝑒2

La raíz cuadrada de esta cantidad es entonces una función lineal en la energía cinética de neutrinos,

Q−

T

e

𝑄−𝑇𝑒:

dW

d

p

e

1

p

2

e

F(Z,Q)

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

√

∝Q−

T

e

𝑑𝑊𝑑𝑝𝑒1𝑝𝑒2𝐹(𝑍,𝑄)∝𝑄−𝑇𝑒

Esta es la relación Fermi-Kurie. Por lo general, la gráfica Fermi-Kurie se utiliza para inferir por regresión lineal la energía máxima de electrones (o Q) al encontrar la intercepción en línea recta.

Figura

7.2.3

7.2.3: Ejemplo de gráfica Fermi-Kurie (véase también Krane, Fig. 9.4, 9.5) (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)