Práctica.
Inscripción de un polígono dentro de un triángulo.
Sesión 1: Recapitulación de los conceptos de Homotecia e inscripción geométrica.
En esta primera sesión se presentan 2 conceptos importantes que te ayudarán a resolver el problema (no rutinario) planteado, así como ejemplos visuales en GeoGebra que podrás manipular, te recordamos cómo utilizar herramientas básicas de Geogebra y al final te presentamos una serie de preguntas para verificar que los conceptos presentados hayan quedado claros.
¡Recuerda!
La constante de homotecia es el cociente de las distancias del polígono homotético entre las del original.
Anota la información que se te pide a continuación
(después de haber manipulado los ejemplos).
(después de haber manipulado los ejemplos).
- Mide uno de los ángulos internos de los polígonos originales y su correspondiente en los polígonos que surgen a partir de la homotecia, con las herramientas de GeoGebra.
- Mide el perímetro de los polígonos originales y el perímetro de los polígonos que surgen a partir de la homotecia, con las herramientas de GeoGebra.
- Mide las áreas de los polígonos originales y de los polígonos que surgen a partir de la homotecia, con las herramientas de GeoGebra.
- Compara la información recabada y busca si existe alguna relación entre los datos recabados.
Sesión 2: Un problema que te podrá ayudar.
En esta segunda sesión te presentamos un problema y su solución, acerca de la inscripción de un triángulo dentro de otro. También te damos una pista para la solución del problema (no rutinario).
Ejercicio 1.
¿Cómo inscribir un triángulo, semejante a uno dado, dentro de otro tríángulo fijo?
¿Cómo inscribir un triángulo, semejante a uno dado, dentro de otro tríángulo fijo?
Sea ABC el triángulo donde se va a inscribir el triángulo semejante al triángulo dado PQR.
Sean Q' y R' puntos sobre CA y AB, respectivamente.
Construimos P' de manera que P'Q'R' sea semejante a PQR (sobre cada uno de los puntos Q' y R' y del mismo lado de Q'R', construir ángulos iguales a los ángulos en Q y R del triángulo PQR.
Trazamos la semirrecta por A y P' y llamamos P'' al punto donde ésta corta a BC.
Por P'' construimos las paralelas a P'Q' y a R'P', estas cortarán respectivamente a CA en Q'' y a AB en R''.
El triángulo P''Q''R'' es semejante a P'Q'R', por ser homotéticos desde A, y entonces semejante a PQR.
Sesión 3: Solucionar el problema (no rutinario).
En esta tercera sesión daremos solución al problema planteado, con el objetivo de hacer uso de los conocimientos recapitulados de las sesiones anteriores.
Recordemos.
Vimos que es posible inscribir un triángulo, semejante a uno dado, dentro de otro triángulo fijo, mediante un triángulo semejante que tenía dos vértices sobre los lados del triángulo y una homotecia que ajustara el último vértice faltante, el cual sería la clave para poder trazar el triángulo deseado.
Problema.
¿Es posible inscribir un cuadrado dentro de un triángulo de manera que uno de sus lados esté sobre uno de los lados del triángulo?
Demuestra tu respuesta.
¿Es posible inscribir un cuadrado dentro de un triángulo de manera que uno de sus lados esté sobre uno de los lados del triángulo?
Demuestra tu respuesta.
De acuerdo a tu representación gráfica selecciona una de las siguientes opciones.
Sólo pueden haber tres vértices del cuadrado que queden inscritos en el triángulo.
Notemos que dos vertices, correspondientes a un mismo lado, podran estar inscritos sobre uno de los lados del triangulo, es decir un lado del cuadrado podra ser un segmento de uno de los lados del tringulo, lo que pueda dar la idea intuitiva de que tal vez si se puede.
No siempre se puede inscribir un cuadrado, tal vez un rectángulo sí.
Notemos que las longitudes de los lados más grandes del rectángulo pueden reducirse y las longitudes de los lados más pequeños pueden incrementarse, esto sin que los vértices del rectángulo dejen de estar inscritos en el triángulo, estos ajustes se harán hasta que los lados sean iguales, dando la idea intuitiva de que sí se puede.
Los cuatro vértices del cuadrado quedan inscritos dentro del triángulo.
Como estamos suponiendo que nuestro problema se cumple deberemos dar una construcción adecuada que asegure que esto siempre puede ocurrir.
¡A construir!
Realiza la solución a este problema, justificando cada paso que ejecutes, se te recomienda empezar haciéndola a lápiz, para posteriormente realizarla en el software de Geogebra, interactúa con tu archivo y exporta tu construcción en una imagen.
Preguntas guía.
A continuación se te presentarán una serie de preguntas que te guiarán por el camino para que seas capaz de resolver este problema.
¿Has visto algún problema similar a este? ¿Cuál?
¿Qué fue lo primero que se debió realizar en aquel problema?
¿Cómo aseguras que la construcción de este cuadrado sea semejante al ya dado?
¿De qué forma ajustas el cuadrado para que “quepa” dentro del triángulo?
¿Cuál punto crees que sea el centro de la homotecia?
¿Esta construcción asegura que los cuatro vértices del cuadrado queden inscritos en el triángulo?
¿Recuerdas alguna condición que crees que nos haga falta notar?
¿Cómo aseguras que sólo haya un vértice no inscrito de un cuadrado semejante?
¿Esto será suficiente para que los cuatro vértices queden inscritos?
Por último.
Sube la imagen de tu construcción y los argumentos que necesitaste para la misma.
Realiza el siguiente cuestionario de salida.