Sesión I. Introducción al cálculo de áreas con curvas
Al existir varios métodos para calcular áreas nos centraremos en las curvas ya que no hay una fórmula para determinar las áreas para la gran mayoría de curvas o figuras con partes curvas, hablaremos de las partes y el background de lo que llamamos integral. Además de mostrar su metodología y razón de funcionar para facilitar el uso de la integral para calcular áreas
En esta práctica contaremos con el uso de la herramienta geogebra para desarrollar la noción de lo que estamos haciendo y comprender más a fondo esta técnica a través de 5 ejercicios que nos ayudarán a comprender puntos importantes para construir la integral definida
Ejercicio 1
En este ejercicio se deberá intentar aproximar el área de media circunferencia de radio 1 sin usar la fórmula, construyendo rectángulos, y luego responde las preguntas
Observaciones
Nunca podremos acabar de igualar el área de la curva usando solo rectángulos ya que siempre habrá espacio para agregar más rectángulos y si dividimos su base en cualquier valor para que estas divisiones sean las bases de nuestros rectángulos siempre va a haber una aproximación más exacta si dividimos la base por un número mayor (considerando que nuestros rectángulos se quedan totalmente fuera o dentro de nuestra figura). A esta “iteración” la llamamos refinamiento que viene de dar una mejor “división” a la curva de la que ya habíamos dado.
Por ejemplo si dividimos en 3 secciones la curva podemos refinarlo y dividirlo en más para intentar acércanos más al área exacta
Ejercicio 2
Usando lo que aprendiste en el ejercicio 1 aproxima el área de la figura que sigue y responde las preguntas
Observaciones
Ya sabemos que no podemos calcular exactamente su área por el ejercicio anterior ya que la respuesta se reduce a calcular el área de los medios círculos y restarlas, por lo cual calcular el área de los medios círculos se reduce aún más al ejercicio 1 de esta práctica, así sabemos que el área de la figura depende totalmente del área de las dos semi circunferencias y nos fijamos en los rectángulos que usamos para aproximar su área. (Considerando las restriciones finales del cuestionario del ejercicio 2)
Como podemos ver las dos circunferencias se unen en una sola pero los rectángulos no. ¿Qué podemos ver de esto? Pues que el área debajo de la curva es más grande que la suma de las áreas de los rectángulos internos y menor a la suma del área de los rectángulos externos
Y si logramos que las sumas de los rectángulos externos sean igual a la suma de los internos entonces el área de la curva queda atrapada entre las dos y se vuelve igual
A esto le llamamos sumas inferiores y sumas superiores y usaremos este conocimiento para llegar a no una aproximación si no a una igualdad del área
Ejercicio 3
Calcula el área de la siguiente figura usando solo rectángulos exteriores y después solo usando rectángulos internos
Observaciones
Notemos que nuestra figura tiene lados rectos y eso facilita nuestro trabajo ya que podemos determinar su área con rectángulos. ¿Por qué? Porque su suma superior y su suma inferior va a ser igual si tomamos puntos en especifico
Claro que estamos haciendo una elección muy particular, pero usando conocimiento adquirido de los ejercicios anteriores podemos notar este camino, ya que a diferencia de los ejercicios anteriores esta figura no posee una parte curva, y así podemos notar que las sumas superiores e inferiores son iguales y podemos decir que el área de la figura es 45
Sesión II. Integrales
Ejercicio 4
Calcula la siguiente integral y encuentra la relación entre el área bajo la curva y la gráfica de su primitiva.
(Puedes usar geogebra como herramienta visual para buscar la relación)
Observaciones
Ejercicio 5
Terminaremos esta practica usando todo lo aprendido para calcular el área bajo la curva del primer ejercicio, para la cual usaremos la siguiente teoría e identidades trigonométricas.
Integración por sustitución
Identidades Trigonométricas
Conclusión al ejercicio 1 | 5
