Revisa la Construcción 1 en GeoGebra. Manipula los controles del cuadrado y observa cómo cambian los valores numéricos que se muestran en pantalla. ¿Qué puedes decir del área del cuadrado y el producto de sus diagonales?

Explora ahora la Construcción 2 en GeoGebra. Observa cómo cambian las medidas que se muestran para el rectángulo dinámico. Contesta:

• ¿Lo visto en el caso anterior se cumple para este rectángulo?

• En el caso anterior, ¿cómo se expresa dos veces el área del cuadrado únicamente en términos de sus lados? (sin constantes)

• ¿Es posible extrapolar lo obtenido anteriormente a este rectángulo (sustituyendo cada lado del cuadrado por los del rectángulo)?

Entrega en el siguiente espacio la reformulación de tu proposición que se cumple para los rectángulos.

El siguiente archivo contiene una proposición que podría resultar semejante a la tuya. Abre la Construcción 3 e interactúa con ella. Construye sobre esta plantilla una demostración visual de dicha proposición y posteriormente redacta formalmente tu prueba; puedes utilizar la herramienta de texto en la misma actividad. A manera de guía, puedes cuestionarte: 

• ¿Cómo son los triángulos formados por una de las diagonales y los lados del rectángulo?

• ¿Cómo se puede expresar la medida de las diagonales en términos de los lados del rectángulo?

Anexa tu evidencia en el siguiente apartado.

Habiendo visto lo anterior, ¿es necesario que el cuadrilátero sea un rectángulo para que la conclusión sea válida?, ¿qué fue lo que se utilizó en la demostración?, ¿será válido un resultado análogo en paralelogramos, trapecios, cuadriláteros cíclicos? ¿Se podrá replantear la proposición para que se cumpla en más casos?

En la Construcción 4 encontrarás casos que te ayudarán a abordar algunas de estas interrogantes. Cuestiónate:

• ¿Qué sucede si en lugar de considerar los lados del cuadrilátero al cuadrado se intercambia por el producto de dos lados opuestos?

• ¿Esto se seguiría cumpliendo para los rectángulos? Observa cómo cambian estos valores en la construcción.

Entrega en el siguiente foro la reformulación de tu proposición que se cumple para un caso más general de cuadriláteros. Compara tu proposición con la de tus compañeros. ¿Cuál de ellas crees que es verdadera?, ¿hay alguna proposición que generalice a otras?

La Construcción 5 muestra una proposición que puede resultar similar a las propuestas por el grupo en la sesión anterior. Interactúa con ella y utilizala como plantilla para demostrar lo que se enuncia. Entrega aquí tu trabajo sobre la construcción y redacta en un documento aparte una demostración formal basada en el esquema de la plantilla.

Una vez ya demostrada la proposición, responde la siguiente pregunta:

• ¿Qué podríamos decir de un cuadrilátero que cumple que el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de sus lados opuestos?

• ¿Tenemos una forma de caracterizar cierto tipo de cuadriláteros?

• ¿Eran cíclicos todos los cuadriláteros de la clase anterior que cumplían la propiedad?

En la Construcción 6 se presenta nuevamente una guía de demostración para el nuevo enunciado. Al igual que en la actividad anterior, trabaja sobre esta plantilla y entrega en el siguiente apartado la evidencia de tu GeoGebra, así como la redacción formal de la prueba.

Participa en el siguiente foro y responde a las preguntas:

• ¿Qué fue lo que más te gustó de la práctica?

• ¿Qué fue lo que menos te gustó?

• ¿Qué tan útil sentiste que fue el apoyo de las construcciones para la demostración del Teorema?

• ¿Te ayudó ver las participaciones de tus compañeros en los foros? ¿Por qué?

• ¿Crees que el tiempo destinado a las actividades es el adecuado? En caso de no serlo, ¿cómo distrubuirías los tiempos?

• Con respecto al tema, ¿qué aspecto del Teorema de Ptolomeo te parece más importante (el enunciado, la construcción, la demostración, etc.)? ¿Por qué?