Trillers (U)

- UITGEBREIDE KENNIS over TRILLERS -

Inhoud

Snelheid & versnelling van een eenvoudige HT

In dit deel behandelen we een geïdealiseerde trilling, die zonder energieverlies verloopt en waarbij de amplitude dus niet verandert.

⚠️

Grafische rekenmachines rekenen standaard in radialen!

Niet ➜ f(x) = sin (x + 180°)

Wél ➜ f(x) = sin (x + π)

TERMINOLOGIE - HARMONISCHE TRILLING

Een HARMONISCHE TRILLING is een periodieke beweging die zonder energieverlies verloopt en kan worden beschreven met een sinusfunctie.

Bij een harmonische trilling beweegt een object heen en weer rondom een evenwichtspositie. De kracht die het object terug naar die evenwichtspositie trekt, is recht evenredig met de evenwichtspositie (volgens de wet van Hooke).

Bewegingsvergelijking

TERMINOLOGIE - BEWEGINGSVERGELIJKING

Een BEWEGINGSVERGELIJKING is de formule die de positie (x) van een object beschrijft in de tijd (t):

De bewegingsvergelijking noemen we ook PLAATSFUNCTIE, POSITIEFUNCTIE, PLAATSVERGELIJKING, POSITIEVERGELIJKING.

Uit een vorig experiment vonden we al dat het positiediagram van een harmonische trilling wellicht een sinusfunctie is. Dat wil zeggen dat in de bewegingsvergelijking van een harmonische trilling wellicht een sinus zal staan.

OPDRACHT

Gebruik de Desmos-app om deze sinusfunctie te bestuderen:

f(t) = A ∙ sin ( m∙t + n )

Welke parameter beïnvloed ...

de amplitude?
de periode?
de verschuiving?

Kies A = 1, m = 1 en n = 0. Vul een tijd in de formule in en kijk na of jij inderdaad die waarde op de positie-as vindt.

OPLOSSING

In deze sinusfunctie

f(t) = A ∙ sin ( m∙t + n )

beïnvloedt ...

parameter A de amplitude
parameter m de periode
parameter n de verschuiving over de t-as

Je berekende waarde is mogelijk niet dezelfde als die je op de grafiek afleest. Dat komt dan waarschijnlijk omdat je rekenmachine nog is ingesteld om met graden (DEG) te rekenen terwijl we in de wetenschap standaard rekenen met radialen (RAD).

Doe de test. Als je rekenmachine is ingesteld op RAD, dan vind je:

sin(π) = 0

De bewegingsvergelijking van de harmonische trilling vinden we het makkelijkst door de beweging van de triller te beschouwen als de projectie van een punt dat een eenparig cirkelvormige beweging uitvoert. [ VIDEO ]

OPDRACHT

Gebruik de app bij Simple harmonic motion as a projection of uniform circular motion van PhysClips en bekijk het verband tussen de ECB en de harmonische trilling.

Harmonische trilling als projectie van een ECB. [ BRON: Ximera ]

De wiskundige afleiding van de bewegingsvergelijking van de harmonische trilling vind je in het document. →

Wiskunde van de harmonische trilling

Dit is de bewegingsvergelijking voor een harmonisch trillend object dat zich op t₀ = 0 in de evenwichtspositie (x₀ = 0) bevindt en dat zich op dat moment in de positieve zin beweegt.

Met hierin:

de amplitude van de trilling, A
de hoeksnelheid die we kunnen associëren met de trilling, ω

Het is een beetje gek om de hoeksnelheid (ω) te vinden in een formule waarbij het object rechtlijnig beweegt.

Met wat rekenwerk vinden we een formule die meer aansluit bij wat we over een trillend object weten.

Dit is de bewegingsvergelijking voor een harmonisch trillend object dat zich op t₀ = 0 in de evenwichtspositie (x₀ = 0) bevindt en dat zich op dat moment in de positieve zin beweegt.

Met hierin:

de amplitude van de trilling, A
de periode van de trilling, T

OEFENING

Een object voert een ongedempte harmonische trilling uit met amplitude 3,20 cm en periode 0,83 s. Het bevond zich bij de start van de meting (t = 0 s) in de evenwichtspositie (x = 0 m) en bewoog op dat moment in de positieve zin.

Op welke positie bevond het zich 8,2 s na de start van de meting?
Beweegt het op dat moment in de positieve of in de negatieve richting?

OPLOSSING

⚠ ZET JE REKENMACHINE IN RAD ⚠

Om te bepalen of het object zich op dat moment in de positieve of in de negatieve richting beweegt, moet je in principe de snelheid bepalen (zie verder).

Je kan ook (bv. met Desmos) snel een grafiek maken en die aflezen → het object beweegt zich dan in de positieve zin.

We kunnen de bewegingsvergelijking nóg praktischer schrijven omdat we ook weten welke parameters de periode (T) van een harmonische trilling bepalen, nl. de massa (m) en de veerconstante (k).

De bewegingsvergelijking wordt dan:

⚠️ De formules die we hebben gevonden hebben hun beperkingen.

Welke tijd je in onze formule steekt maakt niet uit, je trilling blijft doorgaan. Maar een échte trilling valt uiteindelijk (omwille van wrijvingskrachten) stil. Anders gezegd: de amplitude van de trilling vermindert in de tijd. In de formule die zo’n echte trilling beschrijft vind je dan ook een extra factor die bepaalt hoe de amplitude kleiner wordt naarmate de tijd toeneemt.

OPDRACHT

Gebruik de Desmos app. Je start van een harmonische trilling zonder demping, met deze bewegingsvergelijking:

waarbij de amplitude zelf ook verandert in de tijd:

Voorspel en bekijk daarna wat er gebeurt als je ...

de parameter T wijzigt.
de parameter A₀ wijzigt.
de parameter c wijzigt.

Fasehoek

Een trilling kan je zien als de projectie P’ van een punt P dat eenparig cirkelvormig beweegt. Elke positie van triller P‘ komt dus overeen met een plaats van P op de cirkel. En bij elke plaats van punt P hoort ook een hoek θ. Die hoek θ noemen we de fasehoek of kortweg de fase, vaak aangeduid met de Griekse letter phi: φ, Φ.

φ = 30° = π/6

x = A/2 en v > 0

φ = 90° = π/4

x = A en v = 0

φ = 150° = 5π/6

x = A/2 en v < 0

φ = 225° = 5π/4

x = - 0,7... A en v < 0

OEFENING

Wat is de fasehoek 8,2 s na de start van de meting?
Beweegt het op dat moment in de positieve of in de negatieve richting?

OPLOSSING

De fasehoek is het argument van de sinus:

We hebben natuurlijk het liefst een fasehoek 0 ≤ φ < 2π

We vertalen de gevonden fasehoek naar dit interval en vinden:

φ = 5,526... rad = 316,6...°

De fasehoek bevindt zich in het 4e kwadrant van de cirkel en het object beweegt op dat moment dus in de positieve zin.

We kunnen de fasehoek ook gebruiken om de bewegingsvergelijking van de harmonische trilling algemener te maken.

De wiskundige afleiding van deze bewegingsvergelijking vind je in het document. →

Wiskunde van de harmonische trilling

Dit is de bewegingsvergelijking voor een harmonisch trillend object.

Met hierin:

de amplitude van de trilling, A
de periode van de trilling, T
de beginfase van de trilling, φ₀

OPDRACHT

Gebruik deze Desmos app om te bestuderen wat de faseverschuiving φ₀ precies betekent.

Omdat we een faseverschuiving ook kunnen associëren met een verschuiving in de tijd, kunnen we i.p.v. een fasehoek een tijd opnemen in onze bewegingsvergelijking.

De wiskundige afleiding van deze bewegingsvergelijking vind je in het document. →

Wiskunde van de harmonische trilling

Dit is de bewegingsvergelijking voor een harmonisch trillend object.

Met hierin:

de amplitude van de trilling, A
de periode van de trilling, T
t₀ de tijd waarmee de trilling voorloopt op een trilling met φ₀ = 0.

OPDRACHT

Gebruik deze Desmos app om te bestuderen wat de betekenis is van t₀ in de bewegingsvergelijking.

OPDRACHT

Gebruik het positiediagram van deze HT en leid daaruit de parameters af die je vindt in de bewegingsvergelijkingen.

A = ?
T = ?
φ₀ = ?
t₀ = ?

OPLOSSING

A = 5 mm
T = 0,6 s

De sinus is een halve periode opgeschoven. Je zou dus kunnen zeggen dat we pas zijn beginnen meten op het moment dat de trilling van het object al een halve periode bezig was als het vanuit de evenwichtspositie vertrok en toen in de positieve zin bewoog.

φ₀ = 180° = π (radialen)
t₀ = 0,3 s

Snelheid & versnelling van een eenvoudige HT

Als we de bewegingsvergelijking, x(t), van een object kennen, kunnen we de snelheidsfunctie, v(t), vinden door de afgeleide te nemen naar t.

Dit is de bewegingsvergelijking van een eenvoudige HT:

De snelheidsfunctie is dan:

OPDRACHT

Gebruik wat je leerde in de lessen wiskunde of gebruik Wolfram|Alpha om te verifiëren dat de afleiding van de SNELHEIDSFUNCTIE, v(t), correct is. (Kernwoord = derivative.)

Positiediagram van een eenvoudige HT
met A = 4 m en T = 5 s

Snelheidsdiagram van een eenvoudige HT
met A = 4 m en T = 5 s

Dit is de snelheidsfunctie voor een harmonisch trillend object dat zich op t₀ = 0 in de evenwichtspositie (x₀ = 0) bevindt en dat zich op dat moment in de positieve zin beweegt.

Met hierin:

de amplitude van de trilling, A
de periode van de trilling, T

OPDRACHT

Gebruik deze Desmos app om te bestuderen wat de relatie is tussen de bewegingsvergelijking en de snelheidsfunctie.

Als we de bewegingsvergelijking, x(t), van een object kennen, kunnen we de snelheidsfunctie, v(t), vinden door de afgeleide te nemen naar t.

Als we ook van de snelheidsfunctie, v(t), de afgeleide nemen naar t, vinden we de versnellingsfunctie, a(t).

Dit is de snelheidsfunctie van een eenvoudige HT:

De versnellingsfunctie is dan:

OPDRACHT

Gebruik wat je leerde in de lessen wiskunde of gebruik Wolfram|Alpha om te verifiëren dat afleiding van de VERSNELLINGSFUNCTIE, v(t), correct is. (Kernwoord = derivative.)

Positiediagram van een eenvoudige HT
met A = 4 m en T = 5 s

Versnellingsdiagram van een eenvoudige HT
met A = 4 m en T = 5 s

Dit is de versnellingsfunctie voor een harmonisch trillend object dat zich op t₀ = 0 in de evenwichtspositie (x₀ = 0) bevindt en dat zich op dat moment in de positieve zin beweegt.

Met hierin:

de amplitude van de trilling, A
de periode van de trilling, T

OPDRACHT

Gebruik deze Desmos app om te bestuderen wat de relatie is tussen de bewegingsvergelijking en de versnellingsfunctie.

OEFENING

Bereken de positie, de snelheid en de versnelling op t = 3,0 s van een harmonisch trillend object met deze gegevens:

geen faseverschuiving (φ₀ = 0)
A = 4 m
T = 5 s

Check je resultaat met de Desmos app.

OPLOSSING

Gebruik de functies.

Vul de gegevens in en t = 3 s.

Je vindt:

x = -2,4 m
Het object bevindt zich aan de negatieve kant.
v = -12,2 m/s
Het object beweegt naar de negatieve kant.
a = 54 m/s²
Het object is aan het vertragen want de versnellingsvector en de snelheidsvector hebben een tegengestelde zin.

OEFENING

Een object trilt harmonisch tussen positie -A en positie A. Duid op deze figuur aan waar ...

de positie (x) maximaal positief is.
de positie (x) maximaal negatief is.
de positie (x) nul is.
de snelheid (v) maximaal is.
de snelheid (v) nul is.
de versnelling (a) maximaal positief is.
de versnelling (a) maximaal negatief is.
de versnelling (a) nul is.

OPLOSSING

OEFENING

Duid op het positiediagram van deze HT aan wanneer ...

de positie (x) positief, negatief en nul is.
de snelheid (v) positief, negatief en nul is.
de versnelling (a) positief, negatief en nul is.

OPLOSSING

Meerdere trillingen tegelijk

EXPERIMENT

We maken een wagentje vast aan 2 identieke veren, zoals weergegeven in de figuur. Is er een manier waarop we de veren kunnen laten trillen zonder dat het wagentje beweegt?

EXPERIMENT

We maken een massa vast aan 2 identieke veren, zoals weergegeven in de figuur. Is er een manier waarop we de veren kunnen laten trillen zonder dat de massa beweegt?

Je kan wel degelijk meerdere veren tegelijk laten trillen zonder dat een object dat eraan vasthangt beweegt! We moeten er voor zorgen dat de trillingen van de 2 veren op elk moment exact het tegenovergestelde doen. De 2 trillingen moeten dezelfde amplitude en dezelfde trillingsperiode hebben én hun fasehoek moet 180° verschillen.

REKENTECHNIEK

Als een object beweegt onder invloed van meerdere harmonische trillingen tegelijk, vind je de bewegingsvergelijking van het object door alle aparte bewegingsvergelijkingen op te tellen.

OEFENING

Stel dat een object beweegt onder invloed van 2 trillingen tegelijk. De trillingen hebben deze bewegingsvergelijkingen: