Embedded Files
DIt deel bouwt verder op het deel TRILLERS (B) en op het deel TRILLERS (U).
Veerkracht
Veerkracht
Over veerkracht leerde je al in de 2e graad. We hadden het dan over de ideale veer die gehoorzaamt aan de wet van Hooke.
DE WET VAN HOOKE
De veerkracht (FV) die een veer uitoefent, is recht evenredig met de vervorming (∆x) van die veer.
FORMULE VOOR DE VEERKRACHT
De bovenstaande evenredigheid kunnen we als een gelijkheid schrijven als we gebruik maken van de veerconstante (k):
met hierin:
FV , de veerkracht in N.
∆x, de verplaatsing uit de evenwichtspositie in m.
k, de veerconstante van de veer in N/m.
OEFENING
Bereken de veerconstante van een veersysteem dat in evenwicht is als de veer 5,2 cm is uitrekt (∆x) als je er een massa (m) van 326 gram aanhangt.
OPLOSSING
Er is evenwicht dus de nettokracht is nul.
Dat wil zeggen dat:
De veerkracht is dus: FV = - FZ = m∙g = 3,20 N
∆x = 0,052 m
dus
FV = 62 N/m
OEFENING
We gaan uit van de situatie in de vorige oefening. We rekken de veer nog 4,0 cm verder uit en laten los.
Hoe groot is op dat moment de veerkracht?
Hoe groot is op dat moment de versnelling van de massa?
Met welke periode (T) zal de massa op en neer gaan oscilleren?
OPLOSSING
De veerconstante van de veer is:
k = 62 N/m
Om verder te rekenen gebruik je het resultaat dat je kreeg met je rekenmachine: k = 61,501153846153846 N/m
Het systeem was oorspronkelijk in evenwicht. Dan was de nettokracht op de massa 0.
We meten dus vanaf de uitwijking vanaf die positie:
∆x = 0,040 m
De nettokracht (opwaarts) is:
FNETTO = k∙∆x = 2,5 N
De versnelling (a) van de massa (m = 0,326 kg) is:
a = FNETTO / m = 7,5 m/s²
De trillingsperiode is:
T = 0,46 s
Veerkracht bij een harmonische trilling
Veerkracht bij een harmonische trilling
We gaan hier uit van een object dat een ongedempte harmonische trilling uitvoert met amplitude A, dat zich op t₀ = 0 in de evenwichtspositie (x₀ = 0) bevindt en dat zich op dat moment in de positieve zin beweegt.
Dan is dit de bewegingsvergelijking:
De veerkracht op een bepaalde positie (x) is in dat geval:
Tijdens een harmonische trilling verandert de veerkracht voortdurend.
De kracht in functie van de tijd is dan:
Dit is de krachtfunctie die de elastische kracht beschrijft bij een harmonisch trillend object dat zich op t₀ = 0 in de evenwichtspositie (x₀ = 0) bevindt en dat zich op dat moment in de positieve zin beweegt.
met hierin:
F(t) , de veerkracht in N.
A, de amplitude van de trilling in m.
T, de periode van de trilling in s.
t, de tijd in s.
k, de veerconstante van het systeem in N/m.
Veerkracht & versnelling bij een harmonische trilling
Veerkracht & versnelling bij een harmonische trilling
Omdat we nu de veerkracht kennen op elk moment, kunnen we ook de 2e wet van Newton (F = m∙a) toepassen om de versnellingsfunctie te vinden:
Dit levert ons deze nieuwe formule voor de versnelling bij een eenvoudige harmonische trilling op:
OEFENING
Een object met massa m = 0,40 kg voert een HT zonder faseverschuiving uit met amplitude A = 0,10 m en een periode T = 1,20 s.
Hoe groot is de veerkracht op t = 0,15 s?
Gebruik de 2e wet van Newton om de versnelling van het object op dat moment te berekenen.
Gebruik de versnellingsfunctie om de versnelling van het object op dat moment te berekenen.
OPLOSSING
- 1 -
Strategie 1
Vul de gegevens in de plaatsfunctie, x(t), in en je vindt: x = 0,071 m
Bereken de veerconstante uit de formule voor de periode en je vindt: k = 11,0 N/m
Gebruik F = - k∙x en je vind: F = - 0,78 N
Strategie 2
Bereken de veerconstante uit de formule voor de periode en je vindt: k = 11,0 N/m
Gebruik de krachtfunctie, F(t), en je vindt: F = - 0,78 N
- 2 -
F = - 0,78 N
m = 0,40 kg
F = m∙a dus a = F/m
Invullen en je vindt: a = - 1,9 m/s²
- 3 -
je hebt de waarden voor A, k, T, m en t.
Vul de versnellingsfunctie, a(t), in en je vindt: a = - 1,9 m/s²
OEFENING
We vonden al een versnellingsfunctie voor de HT door 2 keer de bewegingsvergelijking af te leiden.
Bewijs dat de versnellingsfunctie die we hier hebben inderdaad overeenkomt met de functie die we al hadden.
OPLOSSING
Het bewijs vind je in een apart document.
Potentiële energie bij een harmonische trilling
Potentiële energie bij een harmonische trilling
OEFENING
Is de veerkracht een veldkracht?
Is de veerkracht een kracht die plaatsafhankelijk is?
OPLOSSING
Nee. Het is een CONTACTKRACHT.
Ja. Je kan dus potentiële energie associëren met een elastisch systeem.
Om de energie in een veersysteem te berekenen, gebruiken we de klassieke methode:
zoek hoe groot de arbeid is die je moet verrichten om het systeem in een bepaalde toestand te brengen.
Je geeft een voorwerp elastische potentiële energie (Eel of Epot,el of EV ) door een veer in te drukken of uit rekken over een bepaalde afstand (∆x). De arbeid (W) die je hierbij verricht is de elastische energie die het gekregen heeft.
Uitgangspunt: in de evenwichtspositie is er geen elastische potentiële energie.
De elastische potentiële energie bij een elastisch vervormd systeem is de arbeid (W) die je hebt verricht om die vervorming te veroorzaken:
Je kan niet de eenvoudige formule voor de arbeid gebruiken want de kracht die je uitoefent om een veer te vervormen is niet constant maar plaatsafhankelijk: F = k∙∆x, met daarin de veerconstante (k) en de vervorming (∆x).
Je zou dus kunnen integreren:
maar hier is het veel eenvoudiger om simpelweg de oppervlaktemethode te gebruiken en de oppervlakte van de driehoek te berekenen. ➡
Het is logisch om te zeggen dat er zonder vervorming geen elastische potentiële energie is. Het is dus slim om het nulpunt voor de potentiële energie in deze evenwichtspositie te kiezen. In dat geval is ∆x = x.
Dit is de formule om de elastische potentiële energie in een veersysteem te berekenen:
met hierin:
Epot,el , de elestische potyentiële energie in J.
x, de positie gemeten t.o.v. de evewichtspositie in m.
k, de veerconstante van het systeem in N/m.
OEFENING
Kan, met de keuze die wij maakten, de elastische potentiële energie kleiner dan nul zijn?
OPLOSSING
Nee, dat kan niet.
k is altijd positief.
x kan positief of negatief zijn maar het kwadraat in de formule zorgt er voor dat het negatief teken verdwijnt.
OEFENING
Hoe groot is de potentiële energie van een veersysteem met veerconstante k = 60 N/m als het 7,0 cm vervormd is?
OPLOSSING
Neem de evenwichtspositie als nulpunt voor de positie en gebruik:
met:
k = 60 N/m
x = 0,070 m
Je vindt dan:
∆EPOT,EL = 0,15 J
Omzetting van energie bij een harmonische trilling
Omzetting van energie bij een harmonische trilling
Om een harmonische trilling te krijgen, moet je eerst energie in het systeem steken. Bij een simpele veer met een massa eraan vast, doe je dat typisch door de veer uit te rekken en dan los te laten. Je hebt dan potentiële energie in het systeem gestoken.
Tijdens de trilling zie je de veer langer en korter worden en de massa versnellen en vertragen. Er wordt voortdurend potentiële energie omgezet in kinetische energie en weer omkeerd.
Hierbij geldt nog steeds:
of ook:
De totale energie in het systeem blijft dus constant, nl. de energie die je in het systeem hebt gestoken.
Bij een ongedempte, harmonische trilling wordt voordurend potentiële energie omgezet naar kinetische energie en weer omgekeerd.
De totale energie in het elastisch systeem blijft constant.
OEFENING
Een veersysteem met veerconstante k = 60 N/m trilt harmonisch met een amplitude A = 7,0 cm. De massa die wordt verplaatst is m = 0,25 kg. Met welke snelheid gaat deze massa door het evenwichtspunt?
OPLOSSING
De maximale potentiële energie van deze veer (bij een uitwijking x = A = 0,070 m) hadden we al gevonden in een vorige oefening:
EPOT,EL = 0,15 J
Die potentiële energie wordt volledig omgezet in kinetische energie:
EK = 0,15 J
Dus:
Vul de gegevens in en je vindt:
v = 1,1 m/s
OEFENING
Een veersysteem met veerconstante k voert een harmonische trilling uit met amplitude A.
Schrijf een formule neer voor de maximale potentiële energie.
Schrijf een formule neer voor de totale energie van het systeem.
OPLOSSING
Neem de formule voor de potentiële energie van een veersysteem en vul de amplitude, A, in als positie (x).
Dit is dan de formule die je zoekt:
De totale energie heeft dezelfde formule want:
op positie x = A is de potentiële energie maximaal en de kinetische energie nul.
op positie x = 0 is de potentiële energie nul en de kinetische energie maximaal.
We kunnen het behoud van energie bij een harmonische trilling ook wiskundig bewijzen.
We kennen de positiefunctie van het systeem:
Die kunnen we invullen in de formule voor de potentiële energie:
De potentiële energie van een object dat een ongedempte harmonische trilling beschrijft, verandert periodiek in de tijd volgens de wiskundige functie sin².
We kennen de snelheidsfunctie van het systeem:
Die kunnen we invullen in de formule voor de potentiële energie:
De kinetische energie van een object dat een ongedempte harmonische trilling beschrijft, verandert periodiek in de tijd volgens de wiskundige functie cos².
Als we de functies voor de potentiële en de kinetische energie optellen, krijgen we een uitdrukking die onafhankelijk is van de tijd. Het systeem heeft dus op elk moment dezelfde totale energie.
De volledige uitwerking vind je in een apart document.
De totale energie van een object dat een ongedempte harmonische trilling beschrijft, verandert NIET in de tijd.
OPDRACHT
Gebruik deze Desmos-app. Wijzig de parameters van de energiefuncties en interpreteer wat er gebeurt.
Bij een ongedempte, harmonische trilling wordt voordurend potentiële energie omgezet naar kinetische energie en weer omgekeerd.
De totale energie in het elastisch systeem blijft constant en is:
met hierin:
A, de amplitude van de trilling in meter.
k, de veerconstante van het systeem in N/m.
OEFENING
Ik zeg: "de totale energie in een harmonisch trillend veersysteem hangt af van de amplitude (A) en van de veerconstante (k) maar is onafhankelijk van de massa (m)."
Ga na of deze uitspraak al dan niet correct is en vertel waarom.
ANTWOORD
De uitspraak is CORRECT.
Je ziet het in de formule maar je kan het ook gewoon zelf bedenken want je steekt zelf potentiële energie in het systeem om de trilling te starten. Hoeveel moeite je doet hangt af van van de amplitude en van hoe sterk de veer is. Eenmaal gestart, blijft de energie in het systeem constant.
Met welke periode (T) het object dan uiteindelijk gaat trillen, hangt wél af van de massa.
SIMULATIE
Gebruik de simulatie Massa's en veren van Phet om te leren over de energie bij een harmonische trilling.
Zet de beweging op traag, de demping en de zwaartekracht op nul en bestudeer de omzettingen van energie tijdens de harmonische trilling.
Zet daarna de zwaartekracht aan. Merk op dat dan ook rekening gehouden wordt met de potentiële energie omwi!le van de zwaartekracht. De totale energie in het systeem blijft wel constant.
Totale energie in het veersysteem - alternatieve formules
Totale energie in het veersysteem - alternatieve formules
Bij een ongedempte, harmonische trilling wordt voordurend potentiële energie omgezet naar kinetische energie en weer omgekeerd.
De totale energie in het elastisch systeem blijft constant en is:
of ook:
met hierin:
A, de amplitude van de trilling in meter.
T, de peirode van de trilling in s.
m, de massa van het object in kg.
ω, de hoeksnelheid (= pulsatie) van de trilling in rad/s.
Die laatste formule gaan we gebruiken als we het hebben over energie in golven.
EXTRA OEFENINGEN
EXTRA OEFENINGEN
... VIND JE IN JE WERKBOEK.
Page updated
Report abuse