Embedded Files
DIt deel bouwt verder op het deel over VALLEN.
Inhoud
Inhoud
Kepler ontdekte de natuurwetten die de beweging van planeten beschrijven, maar hij vond geen oorzaak. Newton wel. Hij bedacht als eerste dat de kracht die alle planeten in een baan rond de zon houdt (en de maan in een baan rond de aarde) wel eens dezelfde zou kunnen zijn als de kracht die voorwerpen op de aarde doet neervallen: de zwaartekracht of gravitatiekracht.
Het kanon van Newton
Het kanon van Newton
Newton legt zijn redenering met een tekening uit in zijn Principia. →
Galilei had al beschreven wat een bal doet als je hem gewoon laat vallen: hij versnelt naar de aarde toe. En als je hem weggooit, dan is de vorm van de baan een parabool.
Newton gaat nog een stapje verder. Wat gebeurt er als je een bal afschiet met een kanon? Dan vliegt hij verder. Als je steeds harder schiet, dan komt hij steeds verder op de grond tot... hij helemaal niet meer op de grond komt. Hij blijft “vallen” en beschrijft hierbij een baan omheen de aarde! Je krijgt dan cirkelbanen en ellipsen, zoals Kepler heeft beschreven! Schiet je nog harder, dan krijg je parabolen en hyperbolen.
De beginsnelheid die nodig is om een lichaam vanaf het aardoppervlak te lanceren zodat het zich uit de omgeving de aarde zal verwijderen, noemen we de ontsnappingssnelheid. Voor de aarde is die ontsnappingssnelheid 11,2 km/s. Om de ontsnappingssnelheid te berekenen veronderstellen we dat de aarde perfect bolvormig is (wat niet zo is) en dat er geen luchtweerstand is (ook niet waar). De échte snelheid om van de aarde te ontsnappen ligt nog een beetje hoger!
De maan heeft een grote ‘horizontale’ snelheid. De maan valt dus als het ware naar de aarde toe maar beweegt ondertussen ook ‘zijwaarts’. Het resultaat is dat ze een (bijna) cirkelvormige baan om de aarde beschrijft. Voor de beweging van de aarde omheen de zon geldt exact hetzelfde.
Figuur uit Philosophiae Naturalis Principia Mathematica van isaac Newton.
SIMULATIE
Gebruik de simulatie Newton’s Cannon van Daniel Schroeder en bekijk de (correcte) redenering van isaac Newton.
Hoe groot is de gravitatiekracht?
Hoe groot is de gravitatiekracht?
De gravitatiekracht is de kracht die ALLE massa’s op elkaar uitoefenen. Als je een voorwerp weggooit, dan valt het. Als je het héél hard weggooit ... dan blijft het vallen. Newton toont aan dat Galilei met zijn valbeweging en Kepler met zijn planeetbeweging eigenlijk het zelfde fenomeen beschrijven. Newton slaagt er ook in om af te leiden welke factoren de grootte van de gravitatiekracht bepalen.
Newton ontdekte dat de gravitatiekracht recht evenredig is met het product van de massa's van de objecten die elkaar aantrekken.
Newton ontdekte dat de gravitatiekracht omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand tussen de massa's.
Aangezien de massa's en de afstand ertussen onafhankelijk zijn van elkaar, wil dat ook zeggen dat
Om van deze uitdrukking een gelijkheid te maken, voegen we een evenredigheidsconstante, Cte, toe, die afhangt van de gekozen eenheden:
De zwaartekracht tussen alledaagse voorwerpen is bijzonder klein. Zo klein dat die in Newtons tijd niet meetbaar was. Pas in 1798 lukt het de Engelsman Cavendish om rechtstreeks de zwaartekracht tussen metalen bollen te meten. Hij gebruikte hiervoor een torsiebalans, de zgn. torsiebalans van Cavendish.
Dankzij de metingen van Cavendish kon de evenredigheidsconstante in de gravitieformule van Newton gemeten worden. Die constante noemen we de universele gravitatieconstante, G.
De universele gravitatieconstante, G, heeft deze waarde [BRON: CODATA]:
DE GRAVITATIEWET VAN NEWTON
De GRAVITATIEKRACHT (FG) tussen twee voorwerpen is recht evenredig met het product van hun massa’s en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun onderlinge afstand.
De gravitatiekracht wordt beschreven door deze formule:
met hierin:
de massa's van de objecten, m1 en m2
de onderlinge afstand tussen de objecten, r
de universele gravitatieconstante, G
SIMULATIE
Gebruik de simulatie Gravity Force Lab van Phet en bestudeer de gravitatiekracht tussen 2 massa's.
OEFENING
Twee massa's bevinden zich op een afstand r van elkaar. Wat gebeurt er met de grootte van de gravitatiekracht als ik de ene massa 5 keer groter maak en de andere 2 keer groter?
OPLOSSING
De gravitatiekracht is recht evenredig met het product van de massa's:
F ～ m1∙m2
Als ik de ene massa 5 keer groter maak en de andere massa 2 keer groter, dan wordt de kracht 10 keer groter.
OEFENING
Twee massa's bevinden zich op een afstand r van elkaar. Wat gebeurt er met de grootte van de gravitatiekracht als ik hun onderlinge afstand 3 keer kleiner maak?
OPLOSSING
De gravitatiekracht is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen de massa's:
F ～ 1/r-2
Als ik de afstand 3 keer kleiner maak, wordt de kracht 9 keer groter.
SIMULATIE
Gebruik de simulatie Gravity and Orbits van Phet en bestudeer hoe de gravitatiekracht van de zon ervoor zorgt dat de aarde omheen de zon beweegt.
Door tijdens de simulatie de zwaartekracht kort af te zetten of de massa van de ster te wijzigen, kan je de aarde ook een ellipsbaan laten beschrijven. (Denk aan Kepler!)
OPDRACHT
Gebruik Desmos grafische rekenmachine en maak een grafiek van de gravitatiekracht in functie van de afstand tussen 2 objecten.
Waarom kies je best voor { r > 0 } ?
ANTWOORD
Je kiest best om je grafiek te maken met { r > 0 } omdat de kracht bij r = 0 oneindig groot is.
OEFENING
Bereken de gravitationele aantrekkingskracht tussen de 2 meisjes die zich op 2 m van elkaar bevinden.
OPLOSSING
m1 = 60 kg
m2 = 50 kg
r = 2 m
Vul de gegevens in in de formule voor de gravitatiekracht en je vindt:
Fgrav = 5∙10-8 N
Dit is een héél kleine (maar wel meetbare) kracht. Geen wonder dat we hiermee voor gewone fenomenen absoluut geen rekening moeten houden.
OEFENING
Een object bestaat uit gelijke massa's (m) die zijn geplaatst op een cirkel zoals in de figuur.
Schets de totale gravitatiekracht die de massa M ondervindt omwille van de aanwezigheid van dat object.
Hoe groot is de gravitatiekracht in het centrum van de cirkel? En waarom?
OPLOSSING
Zó bijvoorbeeld:
Dit is een symmetrische situatie.
De y-componenten van de gravitatiekrachten van de paren massa's hebben een gelijke grootte maar hebben een tegengesteld zin. Die heffen elkaar op! De nettokracht wijst dus naar het centrum van de cirkel.
De totale gravitatiekracht in het centrum van de cirkel is uiteraard nul (!) want elke kracht wordt tegengewerkt door een even grote en tegengestelde kracht.
In de vorige oefeningen zie je hoe alle kleine beetjes massa van een object samen de totale gravitatiekracht vormen die dat object op een ander object uitoefent.
In het geval van een homogeen, bolvormig object, lijkt de gravitatiekracht te komen vanuit het punt in het centrum van de bol. In het geval van een niet-homogeen en/of onregelmatig object, is er ook steeds een punt van waaruit de gravitatiekracht lijkt te komen. Het is ook het punt waar de gravitatiekracht op een object lijkt aan te grijpen. Dat punt noemen we het ZWAARTEPUNT of MASSAMIDDELPUNT van het object.
OEFENING
Hoogspringers gebruiken de zgn. fosburyflop om over een lat te springen. Verklaar waarom een atleet met deze techniek over een hogere lat kan geraken dan op het eerste gezicht mogelijk is.
OPLOSSING
De hoogspringer gaat over de lat maar het zwaartepunt van de hoogspringer niet!
De atleet kan dus met evenveel energie toch over een hogere lat geraken.
Hoogspringen met de fosburyflop.
OEFENING
Titan is de grootste maan van Saturnus. Dit object heeft een straal R = 2575 km en een massa M = 1,345∙1023 kg.
Bereken de gravitatiekracht op een astronaut met massa m = 100 kg die op het oppervlak van Titan zou staan.
Vergelijk die kracht met de zwaartekracht als de astronaut op het oppervlak van de aarde zou staan.
OPLOSSING
Titan is een (bijna) bolvormig object. De gravitatiekracht lijkt dus te komen vanuit een een massa M die in het centrum zit.
m = 100 kg
M = 1,345∙1023 kg
R = 2575 km = 2,575∙106 m
Gebruik de formule voor de gravitatiekracht met deze gegevens en je vindt:
FZ,TITAN = 135 N
Op aarde is de zwaartekracht op de astronaut heel wat meer:
FZ,TITAN = m ∙9,81 N/kg = 981 N
De astronaut voelt zich op Titan meer dan 7 keer lichter dan op aarde.
OEFENING
Als je dichter bij het aardoppervlak komt wordt de gravitatiekracht steeds groter.
Wat gebeurt er met de zwaartekracht als je ONDER het aardoppervlak komt? Bijvoorbeeld in een héél diepe put?
ANTWOORD
Als je dichter bij het aardoppervlak komt wordt de gravitatiekracht steeds groter. Alle massa van de aarde trekt je samen naar het zwaartepunt van de aarde toe.
Als je ONDER het aardoppervlak van de aarde bent, is er ook massa die je je naar boven trekt! Hoe dieper je gaat, hoe meer massa boven je en hoe kleiner de nettokracht (naar beneden) is! Je voelt dus steeds minder gravitatie.
In het (massa)centrum van de aarde is de (netto) gravitatiekracht zelfs nul!
Het zwaarteveld
Het zwaarteveld
Net als de elektrostatische kracht, is de gravitatiekracht een veldkracht. We kunnen dus spreken over het GRAVITATIEVELD of ZWAARTEVELD van een object.
TERMINOLOGIE - GRAVITATIEVELD, ZWAARTEVELD
In de fysica spreken we over een VELD als we het hebben over de ruimte waar een bepaalde kracht wordt gevoeld.
Een GRAVITATIEVELD of ZWAARTEVELD is dus een ruimte waar de gravitatiekracht kan worden gevoeld.
Rond elke massa bevindt zich een gravitatieveld.
Net als bij de elektrostatische kracht, kunnen we het zwaarteveld grafisch voorstellen met veldlijnen. De raaklijn in een punt op een veldlijn geeft de richting aan van de gravitatiekracht in dat punt.
Voorstelling van het gravitatieveld van het aarde-maansysteem (niet op schaal) met de veldlijnen (blauw) en de equipotentiaallijnen (rood). Het punt P is het evenwichtspunt.
OEFENING
Ik zeg: "Een object dat zich in een gravitatieveld bevindt, zal gaan bewegen volgens een veldlijn. M.a.w. de veldlijnen zijn meteen ook de banen die een object kan volgen." Is deze uitspraak juist of fout? Waarom?
ANTWOORD
De uitspraak is FOUT.
Dankzij de veldlijnen kunnen de richting en zin van de gravitatiekracht in een punt afleiden. De beweging van een object in dat punt zal zeker afhangen van de gravitatiekracht (het object krijgt een versnelling, a) maar ook van de grootte, de richting en de zin van de snelheid van dat object.
Een satelliet zal voorbeeld een bijna cirkelvormige baan omheen de aarde beschrijven terwijl in de buurt van de aarde het patroon van de veldlijnen radiaal is.
SIMULATIE
Gebruik de simulatie Gravity van NSTMF en creëer een situatie waarbij een licht object een baan beschrijft omheen een zwaar object.
De zwaarteveldsterkte
De zwaarteveldsterkte
In elk punt van de ruimte rond een massa M, voelt een andere massa m de gravitatiekracht. Er heerst een zwaarteveld. Om de sterkte van het zwaarteveld weer te geven, gebruik je de zwaarteveldsterkte (g).
De redenering is als volgt:
plaats een testmassa (m) van 1 kg in het zwaarteveld.
op die plaats is de grootte van de gravitatiekracht op die testmassa (q) FG = m . g
g is de grootte van het zwaarteveld op die plaats.
OEFENING
In de formule FG = m . g staat g voor de zwaarteveldsterkte. Wat is dan de standaard eenheid voor de zwaarteveldsterkte?
De kracht staat in Newton (N) en de massa in kilogram (kg).
De zwaarteveldsterkte is gelijk aan de kracht gedeeld door de massa.
De eenheid van de zwaarteveldsterkte is dus newton per kilogram (N/kg), wat hetzelfde is als m/s².
Als de zwaarteveldsterkte op een bepaalde plaats 3 N/kg is, wil dat zeggen dat de gravitatiekracht op een massa van 1 kg op die plaats gelijk is aan 3 N, de kracht op een massa van 2 kg gelijk is aan 6 N, enz...
Als de zwaarteveldsterkte op een bepaalde plaats 3 N/kg (dus 3 m/s²) is, wil dat zeggen dat de gravitatiekracht aan élke massa een versnelling van 3 m/s² geeft.
Merk uit de vorige oefening op dat de zwaarteveldsterkte een grootheid is die alleen afhangt van het voorwerp dat het zwaarteveld veroorzaakt!
In tegenstelling tot de gravitatiekracht, is de zwaarteveldsterkte een grootheid die onafhanlijk is van de massa die zich in het zwaarteveld bevindt!
OEFENING
Is de zwaarteveldsterkte een scalaire of een vectoriële grootheid?
Het is een VECTORIËLE grootheid.
Je hebt immers een kracht(vector) gedeeld door een hoeveelheid massa.
Een vector delen door een scalaire grootheid levert opnieuw een vector op!
Het zwaarteveld op een bepaalde plaats heeft dus steeds een grootte, een richting en een zin.
Aangezien de zwaarteveldsterkte vectorieel is, kunnen we de formule FG = m . g beter ook vectororieel schrijven. Een vector (hier: de veldsterkte) vermenigvuldigd met een scalar (hier: de massa) is immers inderdaad een vector.
GROOTHEID - DE ZWAARTEVELDSTERKTE
De ZWAARTEVELDSTERKTE, g, op een bepaalde plaats is een maat voor hoe sterk de gravitatiekracht is die wordt veroorzaakt door een object.
De zwaarteveldsterkte wordt gegeven door de volgende formule.
Met hierin:
de grootte van de gravitatiekracht op een testmassa (in N), FG
de grootte van de testmassa (in kg), m
de grootte van de zwaarteveldsterkte (in N∙kg-1), g
Omdat de zwaartezveldsterkte een vectoriële grootheid is, kunnen we de formule voor de zwaarteveldsterkte eigenlijk beter zó schrijven:
We gaan nu de formule opschrijven voor de gravitatiekracht die onze vaste massa M op de testmassa m uitoefent. Op die manier vinden we een andere uitdrukking voor de zwaarteveldsterkte.
We zien dus dat
De zwaarteveldsterkte g op een afstand r van een massa M kan je schrijven als
met hierin:
de massa van het object dat het zwaarteveld veroorzaakt, M
de afstand tot het zwaartepunt (!) van dat object, r
de universele gravitatieconstante, G
OEFENING
De maan is een bol met straal r = 1738 km. Op het oppervlak van de maan is de zwaarteveldsterkte 1,62 N/kg. Hoe groot is de zwaarteveldsterkte op een hoogte van 1738 km boven het maanoppervlak?
ANTWOORD
De maan is (ongeveer) een bol. Het zwaartepunt van een bolvormig object is het centrum van de bol. Als je op het maanoppervlak staat, sta je dus op 1738 km van dat zwaartepunt. Als je je op 1738 km boven het oppervlak bevindt, ben je dus dubbel zo ver van dat zwaartepunt en is de zwaarteveldsterkte 4 keer zo klein als óp het oppervlak want
Het antwoord is dus: g = 0,41 N/kg of g = 0,41 m/s²
OEFENING - DE AARDE WEGEN
Eratosthenes slaagde er al in om redelijk nauwkeurig de omtrek (en dus ook de straal) van de aarde te meten. Recente metingen wijzen uit dat die straal gemiddeld 6371 km is. Je kent ook de gemiddelde zwaarteveldsterkte aan het aardoppervlak: 9,81 N/kg. Bereken met deze gegevens de massa van de aarde.
OPLOSSING
g = 9,81 N/kg
r = 6371 km = 6,371∙106 m
Vul de gegevens in en je vindt:
M = 5,97∙1024 kg
Besluit: we kunnen de massa van de aarde bepalen zonder de aarde te verlaten!
Zwaarte-energie in een homogeen zwaarteveld
Zwaarte-energie in een homogeen zwaarteveld
Voor de meeste zaken die in ons dagelijks leven gebeuren, mogen we het gravitatieveld van de aarde als een homogeen veld beschouwen want:
als je niet te ver kijkt, zie je de kromming van de aarde niet. Ze lijkt vlak.
de zwaartekracht heeft bij goede benadering) overal een richting die loodrecht staat op dat "aardvlak".
als je geen grote hoogteverschillen hebt, is de zwaartekracht op een bepaalde massa overal even groot en (bij goede benadering) onafhankelijk van de hoogte.
TERMINOLOGIE - HOMOGEEN ZWAARTEVELD
Een HOMOGEEN ZWAARTEVELD is een gravitatieveld waar de zwaarteveldlijnen evenwijdig aan elkaar lopen en de veldsterkte overal even groot is.
Homogeen zwxaarteveld met de veldlijnen (blauw) en de equipotentiaallijnen (rood).
Als een object zich op een bepaalde hoogte boven het aardoppervlak bevindt, dan kan (!) het vallen omwille van de gravitatiekracht. Omdat het zich op die plaats bevindt, heeft het dus de mogelijkheid om te versnellen en daarna arbeid te verrichten.
Als het object op de grond ligt heeft het die mogelijkheid niet.
TERMINOLOGIE - POTENTIËLE ENERGIE
Een object heeft POTENTIËLE ENERGIE als het de mogelijkheid heeft om arbeid te verrichten omdat het zich op een bepaalde PLAATS bevindt.
Een object dat kan vallen onder invloed van de zwaartekracht heeft dus potentiële energie omdat het zich op een bepaald PLAATS in het gravitatieveld bevindt.
In het geval van het homogeen zwaarteveld bij het oppervlak van de aarde kunnen we dus zeggen dat het object potentiële energie heeft omdat het zich op een bepaalde HOOGTE bevindt t.o.v. een gekozen referentiehoogte.
TERMINOLOGIE - ZWAARTE-ENERGIE (EZ), GRAVITATIONELE POTENTIËLE ENERGIE (Epot,G)
ZWAARTE-ENERGIE (EZ) of GRAVITATIONELE POTENTIËLE ENERGIE (Epot,G) is de energie die een voorwerp krijgt als je het omhoog brengt, tegen de zwaartekracht in.
ZWAARTE-ENERGIE (EZ) is de energie die een voorwerp met massa m heeft omdat het zich op een bepaalde hoogte (h) in het zwaartekrachtveld bevindt.
In het homogeen zwaarteveld waarin we leven, geef je een voorwerp zwaarte-energie (EZ) door het omhoog te brengen tot op een bepaalde hoogte (h). De arbeid die je hierbij verricht is de zwaarte-energie die het gekregen heeft.
Arbeid verrichten op een object, tegen de zwaartekracht in, is dat object potentiële energie geven.
De formule voor de zwaarte-energie op een bepaalde hoogte (h) vinden we dus zo:
Dit is de formule om de zwaarte-energie van een object te berekenen in een homogeen gravitatieveld:
met hierin:
de hoogte t.o.v. de referentiehoogte (waar we EZ nul kiezen), h
de zwaarteveldsterkte, g
de massa van het object, m
In het homogeen gravitatieveld van aan het oppervlak van de aarde, is het de gewoonte om het nulpunt voor de potentiële gravitationele energie te kiezen op de hoogte waarop een object niet verder naar beneden kan en om de positieve richting omhoog te kiezen.
OEFENING
Een bal met een massa (m) van 200 gram hangt aan een touw, zoals aangegeven in de figuur. Als ik de bal loslaat, welke snelheid (v) zal de bal dan in het punt P hebben? (Hou geen rekening met energieverlies door wrijving en luchtweerstand.)
OPLOSSING
We maken gebruik van de wet van behoud van energie: potentiële energie wordt omgezet in kinetische energie.
We kiezen het nulpunt van potentiële energie in het laagste punt, wat dus hier het punt P is.
Als we de potentiële energie kennen die de bal bovenaan had, kennen we dus de kinetische energie in punt P.
Vereenvoudigen en omvormen geeft ons deze formule:
De snelheid door het evenwichtspunt P is dus:
Merk op dat we de massa van de bal niet nodig hebben om de snelheid te berekenen!
Merk op dat de grootte van de snelheid van de bal dezelfde is als wanneer die gewoon 20 cm naar beneden valt. De richting van de snelheidsvector is uiteraard niet hetzelfde.
Merk op dat het touw helemaal geen arbeid uitoefent! Het enige dat het touw doet is de richting van de snelheid veranderen.
OEFENING
Ik hou een bal vast boven een put, zoals aangegeven in de figuur. De bal bevindt zich op 10 m (= h0) van de grond en de put is 5 m (= h1) diep. Met welke snelheid zal de bal op de bodem van de put vallen als ik hem loslaat? Kies het nulpunt voor de potentiële energie gewoon op de grond en hou geen rekening met energieverlies omwille van de luchtweerstand.
OPLOSSING
Hier moet je oppassen. De bal beweegt uiteindelijk ONDER het gekozen referentiepunt en de potentiële energie zal daar negatief zijn.
Het VERSCHIL in potentiële energie is dan:
∆EZ = m∙g∙∆h (een negatieve waarde ⇒ EZ verkleint)
Al die potentiële energie wordt omgezet naar kinetische energie omdat de bal versnelt:
∆EK = (m∙v²)/2 (een positieve waarde ⇒ ⇒ EK vergroot)
Als we dit samen nemen vinden we dus:
∆EK = - ∆EZ
Omdat de bal vertrok zonder beginsnelheid geldt hier:
∆EK = EK
Hiermee kunnen we dan ons probleem oplossen zoals in de vorige oefening
of:
met in dit geval: ∆h = - 15 m
Vul de gegevens in en he vindt: v = 17 m/s
OEFENING
Vergelijk de elektrische potentiële energie in een homogeen elektrisch veld met de gravitationele potentiële energie in een homogeen zwaarteveld.
Een OPLOSSING kan er zó uitzien.
FG → massa's (m) trekken elkaar aan.
FE → ladingen (q) trekken elkaar aan of stoten elkaar af.
FG → arbeid leveren op massa = Epot vergroten.
FE → arbeid leveren op lading = Epot vergroten.
FG → arbeid leveren op massa = massa verplaatsen tegengesteld aan FZ.
FE → arbeid leveren op lading = lading verplaatsen tegengesteld aan FE.
FG → formule: Epot,G = m ∙ g ∙ h
FE → formule: Epot,E = q ∙ E ∙ d
FG → h meten we vanaf het punt waar we Epot,G = 0 J kiezen.
FE → d meten we vanaf het punt waar we Epot,E = 0 J kiezen.
FG → Epot,G hangt af van de zwaarteveldsterkte (g, in N/kg).
FE → Epot,G hangt af van de elektrische veldsterkte (E, in N/C).
Uit een vorige oefening leer je dat gravitationele potentiële energie (EPOT,G) zowel positief als negatief kan zijn. Het verschil in potentiële energie (∆EPOT,G) kan ook positief (het object stijgt) of negatief (het object daalt) zijn.
De kinetische energie (EK) van een object kan alleen maar positief zijn. Het verschil in kinetische energie (∆EK) kan zowel positief (het object versnelt) als negatief (het object vertraagt) zijn.
Als een voorwerp versnelt in het gravitatieveld dan wordt potentiële energie omgezet in kinetische energie.
In dat geval geldt:
en ook:
In het zwaartekrachtveld zal potentiële energie worden omgezet in kinetische energie als het object daalt en daardoor versnelt.
In het zwaartekrachtveld zal kinetische energie worden omgezet in potentiële energie als het object stijgt en daardoor vertraagt.
De relatie tussen deze twee kan je schrijven als:
Zwaarte-energie in een radiaal zwaarteveld
Zwaarte-energie in een radiaal zwaarteveld
In wat volgt gaan we objecten beschouwen als puntmassa's.
TERMINOLOGIE - PUNTMASSA
Een puntmassa is een denkbeeldig object waarvan alle massa zit geconcentreerd in een mathematisch punt.
Voor heel veel problemen in de fysica kan je een object beschouwen als een mathematisch punt waarbij de massa geconcentreerd zit in het zwaartepunt. (En dat deden we ook al toen we free body diagrams tekenden.)
Schets van een situatie die we "vertalen" naar een situatie met puntmassa's.
Omheen een puntmassa M, bevindt zich een RADIAAL GRAVITATIEVELD want de gravitatiekracht wijst steeds naar die puntmassa toe.
In een radiaal zwaarteveld is het logisch om:
het nulpunt voor de potentiële energie van een object te kiezen op de plaats waar de gravitatiekracht nul is. Die plaats ligt oneindig ver van de puntmassa.
de potentiële energie te laten afnemen als het object dichter bij de puntmassa komt. Op die manier zal een object dat wordt aangetrokken kinetische energie winnen als het potentiële energie verliest.
Dan geldt nog steeds dat ∆EPOT,G + ∆EK = 0
Homogeen zwxaarteveld met de veldlijnen (blauw) en de equipotentiaallijnen (rood).
OEFENING
Ik zeg: "In een radiaal gravitatieveld is de gravitationele potentiële energie van een object ALTIJD NEGATIEF." Beoordeel deze uitspraak.
ANTWOORD
Die uitspraak is JUIST.
In een radiaal gravitatieveld is de potentiële energie van een object nul op afstand oneindig van de aantrekkende puntmassa. Dat was een logische keuze.
Als het object de puntmassa nadert, wordt de potentiële energie kleiner. Dat was ook een logische keuze.
De gravitationele potentiële energie in een radiaal zwaarteveld is dus altijd negatief.
Om de gravitationele potentiële energie te berekenen van een object (m) in het radiaal zwaarteveld rond een puntmassa (M), passen we exact dezelfde redenering toe als bij het homogeen zwaarteveld.
In het radiaal zwaarteveld rond een puntmassa M, geef je een object potentiële energie (EPOT,G) door het te verwijderen van de puntmassa. De arbeid die je hierbij verricht is de potentiële energie die het object gekregen heeft.
Als je dus een object verder van puntmassa M brengt, van afstand r1 naar afstand r2 , verricht je arbeid (W) en verander je de potentiële energie (EPOT,G):
Arbeid verrichten op een object, tegen de zwaartekracht in: je geeft dat object potentiële energie.
We mogen nu NIET de arbeid berekenen met de eenvoudige formule die we gebruikten voor het homogeen veld. De gravitatiekracht is immers niet constant tijdens deze verplaatsing. We moeten de formule met de integraal gebruiken.
Bovendien moeten de gravitaiekracht hier negatief nemen want de positieve zin van de verplaatsing is van het object weg terwijl de kracht naar het object toewijst.
We krijgen dan:
Om de potentiële energie te berekenen op een afstand r, moeten we weten waar het nulpunt van energie zich bevindt. Dat kozen we hier op afstand oneindig (∞).
Als we dus arbeid verrichten om een object van afstand r tot afstand ∞ te brengen, hebben we energie toegevoegd zodat de potentiële energie nul wordt. (Herinner je: op afstand r was de potentiële energie negatief!)
Dan weten we dus ook hoe groot de potentiële energie op afstand r is:
Dit is de formule om de gravitationele potentiële energie van een object te berekenen in een radiaal gravitatieveld:
met hierin:
de massa van het object, m
de massa van de puntmassa die het zwaarteveld veroorzaakt, M
de afstand tot die puntmassa, r
de universele gravitatieconstante, G
OEFENING
Bereken met de formule hoe groot de gravitationele potentiële energie is van een object van 1 kg dat zich oneindig ver bevindt van een puntmassa van 5 kg.
Bereken met de formule hoe groot de gravitationele potentiële energie is van een object van 1 kg dat zich op een afstand van 0 m bevindt van een puntmassa van 5 kg.
ANTWOORD
Als je oneindig invult in de formule voor de potentiële energie, krijg je als antwoord 0 J. Dat is volledig in overeenstemming met onze aanname.
Als je nul invult in de formule voor de potentiële energie, krijg je als antwoord oneindig veel energie, wat onmogelijk is.
Dit is mooi voorbeeld van hoe je moet oppassen met blind rekenwerk. je kan wel rekenen met 2 objecten die zich op dezelfde plaats bevinden maar je kan die situatie nooit écht realiseren.
OEFENING
Je kon al de gravitationele potentiële energie berekenen van een object dat zich op 100 m hoogte boven het aardoppervlak bevindt. Als je die energie nu berekent met de nieuwe formule, krijg je een ander resultaat. Hoe komt dat? En in dat een probleem?
ANTWOORD
Dat komt omdat we een ander nulpunt hebben gekozen om de 2e formule af te leiden.
Dat is geen probleem want als je processen beschrijft werk je meestal met VERSCHILLEN en OMZETTINGEN van energie. Als je met beide formules een VERSCHIL in gravitationele potentiële energie (∆EPOT,G) berekent, krijg je wél hetzelfde resultaat.
OEFENING
Ik zeg: "Als een hemellichaam een eenparig cirkelvormige beweging beschrijft rond een ander hemellichaam, zijn er geen omzettingen van energie." Wat denk je van die uitspraak?
ANTWOORD
Die uitspraak is JUIST!
Bij een ECB is de grootte van de snelheid constant. De kinetische energie blijft dus constant.
De baan van het object is een cirkel. Het object blijft dus steeds op dezelfde afstand van het andere object. De potentiële energie blijft dus constant.
(Het enige wat de gravitatiekracht doet is het object laten afwijken van een rechte baan.)
OEFENING
Een rots met massa 2,83 ∙ 1010 kg wordt omwille van de gravitatiekracht vanop afstand oneindig en met beginsnelheid nul naar de aarde toe getrokken. Na verloop van tijd bereikt de rots het oppervlak van de aarde. Hij zit dan op een afstand r = 6378 km van het centrum van de aarde.
Hoe groot is dan de snelheid van de rots? (Stel: geen luchtweerstand.)
Hoe groot is dan de kinetische energie van de rots?
ANTWOORD
Dit probleem gaat over de omzetting van potentiële energie naar kinetische energie.
Een goede strategie is om eerst te kijken wat er gebeurt met de potantiïele energie en daarna deze formule toe te passen:
Het object start met ∆EPOT,G = 0 op oneindig.
Als het de atmosfeer bereken je de potentiële energie met deze formule:
met:
m = 2,83∙1010 kg
M = 5,97∙1024 kg
r = 6,378∙106 m
Dit levert als resultaat: EPOT,G = - 1,74∙1018 J
De potentiële die het object verloor werd omgezet in kinetische energie:
EK = 1,77∙1018 J
Nu kunnen we de snelheid berekenen met:
Dit geeft ons: v = 11,2 ∙ 103 m/s = 11,2 km/s
Dit is dus de snelheid waarmee de rots toekomt op aarde.
Het is ook de beginsnelheid die je de rots moet geven als je hem "terug naar oneindig" wil brengen, dus als je hem uit het gravitatieveld van de aarde wil brengen.
Rekenen met gravitatie en energie in een systeem met 2 hemellichamen is eenvoudig. Wanneer er 3 hemellichamen (of meer) in het spel zijn, worden de berekeningen erg complex en is er vaak zelfs geen exacte oplossing mogelijk met de wiskunde die we hebben.
Dat was voor wetenschappers zó verrassend dat ze er een naam aan gaven: het drielichamenprobleem.
Ontsnappingssnelheid
Ontsnappingssnelheid
Om een object met massa m te laten ontsnappen aan de zwaartekracht van een planeet met massa M en straal R, moet je potentiële energie toevoegen. Dat kan je doen door het object verticaal te lanceren, tegen de zwaartekracht in. Je geeft het object dus kinetisch energie door het een beginsnelheid te geven.
Als het object hoger gaat, ...
vergroot de potentiële energie (ze wordt minder negatief).
verkleint de kinetische energie want het object vertraagt.
wordt kinetische energie omgezet in potentiële energie.
Om het object te laten ontsnappen uit het zwaartekrachtveld van de planeet, moet je er genoeg energie insteken om het "tot op oneindig" te krijgen.
Daar is de gravitationele potentiële energie nul en de kinetische energie nul (of groter).
Als je dat doet geldt:
en
met ve de beginsnelheid aan het aardoppervlak.
Kinetische energie wordt omgezet naar potentiële energie, dus:
In dit geval hebben we dus:
De snelheid die we zoeken is dan:
Dit is dus de minimale snelheid die je een object moet geven om niet terug te vallen naar de planeet.
TERMINOLOGIE - ONTSNAPPINGSSNELHEID (ve)
De ONTSNAPPINGSSNELHEID (ve) van een planeet is de verticale beginsnelheid die je een object moet geven om te ontsnappen aan het gravitatieveld van die planeet.
Dit is de formule voor de ontsnappingssnelheid:
met hierin:
de massa van de planeet, M
de straal van de planeet, R
de universele gravitatieconstante, G
OEFENING
Bereken de ontsnappingssnelheid van de aarde.
OPLOSSING
M = 5,97∙1024 kg
R = 6,378∙106 m
G = 6,67430∙10-11 Nm²/kg²
Vul de gegevens in de formule voor de ontsnappingssnelheid in en je vindt:
ve = 11,2 km/s
Merk op dat dit precies dezelfde snelheid is als die waarmee een object op de aarde botst als het zonder beginsnelheid vertrekt op afstand oneindig. Je berekende die snelheid al in een vorige oefening.
⊕ De gravitatiepotentiaal
⊕ De gravitatiepotentiaal
Het is vaak erg handig om met een grootheid te werken die iets zegt over de potentiële energie in het gravitatieveld maar die onafhankelijk is van de massa (m) die je aanbrengt in het veld. Die grootheid heet gravitatiepotentiaal (V).
Het elektrisch equivalent van de gravitatiepotentiaal is de elektrische potentiaal (in J/C).
GROOTHEID - GRAVITATIEPOTENTIAAL
De GRAVITATIEPOTENTIAAL (V) op een bepaalde plaats in een zwaarteveld is de gravitationele potentiële energie van een object gedeeld door de massa (m) van dat object:
Voor een massa (m) die zich in een homogeen gravitatieveld bevindt, vonden we:
De gravitatiepotentiaal op een bepaalde plaats is dan:
De gravitatiepotentiaal (V) op een bepaalde plaats IN EEN HOMOGEEN ZWAARTEVELD, wordt gegeven door deze formule:
met hierin:
de hoogte t.o.v. de referentiehoogte, h
de zwaarteveldsterkte, g
Voor een massa (m) die zich in een radiaal gravitatieveld rond een puntmassa (M) bevindt, vonden we:
De gravitatiepotentiaal op een bepaalde plaats is dan:
De gravitatiepotentiaal (V) op een bepaalde plaats IN EEN RADIAAL ZWAARTEVELD ROND EEN PUNTMASSA (M), wordt gegeven door deze formule:
met hierin:
de massa van de puntmassa die het zwaarteveld veroorzaakt, M
de afstand tot die puntmassa, r
de universele gravitatieconstante, G
OEFENING
Gebruik een van de bovenstaande formules om af te leiden wat de standaard eenheid van gravitatiepotentiaal is.
OPLOSSING
De eerste formule (homogeen veld) gebruiken is het eenvoudigst.
Bijvoorbeeld:
OPDRACHT
Gebruik de Desmos grafische rekenmachine. Maak een grafiek van de gravitatiepotentiaal, V(r) en maak het jezelf gemakkelijk: G = 1 en M = 1 (V)
Om een object te laten ontsnappen uit een radiaal zwaarteveld moeten we genoeg energie toevoegen om de potentiële energie nul te maken. Begrijp je waarom we spreken van een zgn. potentiaalput?
Hoe groot is de gravitatiepotentiaal bij r = 0?
Wat moeten we doen om ons model voor de potentiaal rond een écht hemellichaam (bv. de aarde) realistisch te maken?
ANTWOORD
Hier zie je een voorbeeld van een grafiek.
- 1 -
Als je een puntmassa nadert wordt de potentiaal steeds negatiever en dus jouw potentiële energie ook. Je zal die potentiële energie weer naar nul moeten brengen om te ontsnappen uit het gravitatieveld. Je zal uit de potentiaalput moeten geraken.
- 2 -
De gravitatiepotentiaal bij r = 0 is MIN ONEINDIG.
Dit is een wiskundig artefact omdat we doen alsof de zwaartekracht vanuit een puntmassa komt. Puntmassa's bestaan niet. (Ref.: zwart gat.)
- 3 -
Neem bijvoorbeeld de aarde. De formules voor de potentiële energie en de gravitatiepotentiaal die we hier hebben gebruikt, kan je gebruiken zolang je boven het aardoppervlak bent en de zwaartekracht groter wordt.
Eenmaal ONDER het aardoppervlak wordt de (netto) zwaartekracht KLEINER als je daalt. Ik het centrum van de aarde is ze zelfs nul.
Dat zal je moeten verwerken in de formules om de zaak realistisch te maken.
TERMINOLOGIE - EQUIPOTENTIAALLIJNEN
Equipotentiaallijnen zijn lijnen die naburige posities verbinden met dezelfde potentiaal.
De veldlijnen staan overal loodrecht op de equipotentiaallijnen.
Equipotentiaallijnen in het gravitatieveld kan je vergelijken met de hoogtelijnen die je op een topografische kaart terugvindt.
Hoogtelijnen op een topografische kaart.
Opgelet! We spreken hier over equipotentiaallijnen omdat we in deze cursus vaak in 2 dimensies denken. Eigenlijk moeten we ruimtellijk denken. In 3 dimensies dus. Dan zijn er geen equipotentiaallijnen maar wel equipotentiaalvlakken.
Voorstelling van het gravitatieveld van het aarde-maansysteem (niet op schaal) met de veldlijnen (blauw) en de equipotentiaallijnen (rood). Het punt P is het evenwichtspunt.
SIMULATIE
Gebruik de simulatie Gravitational Field Lines and Equipotential Surfaces van University of Louisville.
Bestudeer hoe het gravitatieveld rond een puntmassa wordt vervormd door de aanwezigheid van andere objecten.
Let op de veldlijnen en leg een verband met de kracht.
Let op de equipotentiaallijnen en leg een verband met de potentiële energie.
Merk op dat de potentiële energie van een object in het gravitatieveld alleen afhangt van de plaats waar het zich bevindt. Ook de gravitatiepotentiaal hangt alleen af van de plaats.
Als het object zich verplaatst, dan kan de potentiële energie veranderen. Die verandering van potentiële energie hangt ook alleen af van de oude en de nieuwe positie. Het maakt niet uit langs welke weg het object van de oude naar de nieuwe positie gaat! De verandering van potentiële energie is onafhankelijk van het gevolgde pad in het gravitatieveld!
Aangezien arbeid en verandering van potentiële energie gekoppeld zijn, is ook de geleverde arbeid onafhankelijk van het gevolgde pad in het garvitatieveld! Alleen het beginpunt en het eindpunt zijn belangrijk.
TERMINOLOGIE - CONSERVATIEVE KRACHT
Als je een voorwerp in een krachtveld beweegt en de geleverde arbeid is onafhankelijk van de gevolgde weg, dan noemen we de (veld)kracht conservatief. We spreken dan over een CONSERVATIEVE KRACHT.
De gravitatiekracht is een conservatieve kracht.
De zwaartekracht is dus een voorbeeld van een conservatieve kracht.
Ook de coulomkracht is een voorbeeld van een conservatieve kracht.
De wrijvingskracht is een voorbeeld van een niet-conservatieve kracht. (Logisch, want als je een voorwerp verschuift van A naar B, dan kost het meer moeite als je een langere weg kiest.)
De elektrische kracht en de gravitatiekracht.
Andere kracht, zelfde wiskunde.
De elektrische kracht en de gravitatiekracht.
Andere kracht, zelfde wiskunde.
Elektrisch geladen voorwerpen trekken elkaar aan of stoten elkaar af.
Voorwerpen met een massa (ALLE voorwerpen dus) trekken elkaar aan.
De elektrische kracht (FE)
De zwaartekracht (FG)
De elektrische kracht (FE) is een vectoriële grootheid.
De zwaartekracht (FG) is een vectoriële grootheid.
De grootte van de elektrische kracht (FE):
met ke de constante van Coulomb (= de elektrische veldconstante).
Eenheid van FE: newton (N)
Eenheid van FG: newton (N)
Het elektrisch veld
Het gravitatieveld
De elektrische kracht is een veldkracht. Rond een lading heerst een elektrisch veld.
Het elektrisch veld is een vectorveld.
De gravitatiekracht is een veldkracht. Rond een massa heerst een gravitatieveld.
Het gravitatieveld is een vectorveld.
De elektrische veldsterkte (E) is een vectoriële grootheid.
De zwaarteveldsterkte (g) is een vectoriële grootheid.
De grootte van het elektrisch veld op een plaats druk je uit met de elektrische veldsterkte (E):
De grootte van het zwaartekrachtveld op een plaats druk je uit met de zwaarteveldsterkte (g):
Eenheid van E: newton per coulomb (N/C)
Eenheid van g: newton per kiligram (N/kg)
Potentiële energie in het elektrisch veld
Potentiële energie in het gravitatieveld
Een lading verplaatsen tegen de heersende kracht in
= elektrische potentiële energie vergroten.
Een massa verplaatsen tegen de heersende kracht in
= gravitationele potentiële energie vergroten.
De arbeid (W) die je verricht als je een lading tegen de heersende elektrische kracht in beweegt van positie r1 naar positie r2:
De arbeid (W) die je verricht als je een massa tegen de heersende gravitatiekracht in beweegt van positie r1 naar positie r2:
De elektrische potentiële energie (Epot,E) is een scalaire grootheid.
De gravitationele potentiële energie (Epot,G) is een scalaire grootheid.
De elektrische potentiële energie (Epot,E) in een homogeen elektrisch veld:
Hier meten we afstand d vanaf de plaats waar we het nulpunt voor Epot,E kiezen.
De gravitationele potentiële energie (Epot,G) in een homogeen gravitatieveld:
Hier meten we afstand h vanaf de plaats waar we het nulpunt voor Epot,G kiezen.
De elektrische potentiële energie (Epot,E) in een radiaal elektrisch veld:
Hier meten we afstand r vanaf lading Q.
De gravitationele potentiële energie (Epot,G) in een radiaal gravitatieveld:
Hier meten we afstand r vanaf massa M.
Eenheid van Epot,E: joule (J)
Eenheid van Epot,G: joule (J)
Potentiaal in het elektrisch veld
Potentiaal in het gravitatieveld
De elektrische kracht is een conservatieve kracht. We kunnen een elektrische potentiaal definiëren.
De gravitatiekracht is een conservatieve kracht. We kunnen een gravitatiepotentiaal definiëren.
De elektrische potentiaal (VE) is een scalaire grootheid.
De gravitatiepotentiaal (VG) is een scalaire grootheid.
De elektrische potentiaal (VE) in een homogeen elektrisch veld:
De gravitatiepotentiaal (VG) in een homogeen gravitatieveld:
De potentiaal (VE) in een radiaal elektrisch veld:
De potentiaal (VG) in een radiaal gravitatieveld:
Eenheid van VE: joule per coulomb (J/C)
Eenheid van VG: joule per kilogram (J/kg)
Potentiaalverschil in het elektrisch veld
Potentiaalverschil in het gravitatieveld
Bij elektrische systemen werken we vaak met het potentiaalverschil (∆V). Dat noemen we de elektrische spanning (U).
Als het gaat over de zwaartekracht kunnen we ook werken met potentiaalverschillen. Er is geen specifieke naam voor het gravitationeel potentiaalverschil.
Page updated
Report abuse