Trillers

- BASISKENNIS over TRILLERS -

Inhoud

Een massa aan een veer

Van welke factoren hangt de periode van een triller af?

Eigenfrequentie

⊕ Een massa aan een touw

EXTRA OEFENINGEN

EXPERIMENT

Spring allemaal tegelijk omhoog en kom samen (!) met een klap op de grond. Hoe reageren de dingen in jullie omgeving daarop?

Je merkt op dat de vloer trilt, zelfs als die van dik beton is gemaakt. En omdat de vloer trilt gaan ook andere voorwerpen in de omgeving meetrillen.

OPDRACHT

Jouw woning bevat veel dingen die (soms) trillen. Schrijf er minstens 10 neer!

Waarschijnlijk gaan je ramen als eens trillen als er vrachtwagen voorbij rijdt? Of de kast? Of iets in de keuken? ...

ALLES trilt. Ook de meest rigide voorwerpen bestaan uit moleculen die elkaar vasthouden. Maar dat wil niet zeggen dat die moleculen t.o.v. elkaar perfect op hun plaats blijven.

The movement of a building during high wind.

Een massa aan een veer

De eenvoudigste triller die we kunnen ontwerpen is een massa vastmaken aan een veer.

EXPERIMENT

We maken een massa vast aan een veer. Dit veersysteem gaan we op en neer laten bewegen. We meten gedurende een aantal seconden met de meetcomputer de positie (x) van de massa.

Dit is (ongeveer) de grafiek die we op het scherm zien verschijnen:

TERMINOLOGIE - AMPLITUDE (A)

De AMPLITUDE (A) van een (periodieke) trilling is de maximale uitwijking van de trilling.

De amplitude is de grootste afwijking ten opzichte van de evenwichtsstand.

We hebben tijdens ons experiment 2 grootheden gemeten:

de tijd (t)
de positie (x) = de uitwijking van de massa, gemeten t.o.v. de positie in evenwicht.

De grafiek die we krijgen is een bekende wiskundige kromme: een (eventueel verschoven) sinusfunctie.

De kracht de zorgt dat het systeem blijft trillen is de veerkracht (⚠️ NIET de zwaartekracht).

MIT Physics Demo -- Spray Paint Oscillator

OEFENING

Is de trilling die we hebben uitgemeten een periodiek verschijnsel?

De tijd om 1 keer op en neer te bewegen (de periode, T) verandert gedurende het experiment niet. Als de beweging volledig wrijvingsloos en zonder luchtweerstand zou verlopen, gaat de triller oneindig lang die beweging uitvoeren met een vaste regelmaat.

Maar in werkelijkheid zien we dat de amplitude van de triller afneemt. Om er een écht periodiek verschijnsel van te maken, moet je dus het energieverlies compenseren dat veroorzaakt wordt door wrijving en luchtweerstand.

Van welke factoren hangt de periode van een triller af?

Het tempo waarmee een voorwerp trilt kan verschillend zijn. We gaan nu onderzoeken welke factoren het verschil maken. Probeer eerst zelf te bedenken welke factoren dat kunnen zijn.

EXPERIMENT

We hangen een massa aan een veer en meten de periode (T) bij verschillende amplituden.
We stellen vast dat de periode (T) niet verandert.

De amplitude (A) heeft géén invloed op de periode (T) van een triller.

EXPERIMENT

We hangen eenzelfde massa aan drie verschillende veren en meten telkens de periode (T).
We stellen vast dat de periode (T) kleiner is als de veer "sterker" is.

Hoe "sterker" de veer, hoe kleiner de periode (T) van de trilling.

Een veersysteem met een sterkere veer heeft meer invloed op de massa omdat de veerkracht groter is.
Als de veer sterker is, is de periode van de trilling dus kleiner en de frequentie groter.

EXPERIMENT

We hangen twee verschillende massa's aan een veer en meten telkens de periode (T).
We stellen vast dat de periode (T) groter is als de massa groter is.

Hoe groter de massa (m), hoe groter de periode (T) van de trilling.

Een veersysteem met meer massa reageert "trager" op de veerkracht.
Als de massa groter is, is de periode van de trilling dus ook groter en de frequentie kleiner.

We stellen vast dat er maar 2 factoren zijn die het tempo bepalen waarmee een veersysteem trilt:

de massa van het systeem.
de "sterkte" van de veer, die we kunnen uitdrukken met de veerconstante, k.

⚠️ De amplitude heeft duidelijk GEEN invloed op het tempo waaraan de massa trilt!

EXPERIMENT

We hangen een massa aan een veer. We laten dit systeem op en neer trillen. We meten de tijd om op en neer te bewegen. We meten dus de periode (T) van dit periodiek verschijnsel.

Dat herhalen we een aantal keer. We houden dezelfde veer (en dus dezelfde sterkte van de veer) maar gebruiken telkens een andere massa. Zo komen we tot het wiskundig verband tussen de massa en de periode van de triller.

6CH Klasexperiment - massa's en veren

Als we onze experimentele resultaten uitzetten in een grafiek (T op de x-as, m op de y-as), vinden we als trendlijn een parabool. De wiskundige vergelijking van een parabool is een vergelijking van de 2e graad: y = a∙x² + b∙x + c

In de vergelijking van de trendlijn die we vinden, zijn de factoren b en c héél klein t.o.v. de factor a.
Omdat we geen wiskunde doen maar wel fysica, mogen we de factoren b en c verwaarlozen en onze vergelijking krijgt dan de vorm: y = a∙x²

Dat wil zeggen dat y recht evenredig is met het kwadraat van x of y ∼ x²

Vertaald naar de fysica van onze meting, krijgen we:

m = "een getal" ∙ T²

Hieruit kunnen we besluiten dat:

Uit onze experimenten kunnen we het volgende besluiten.

Een veersysteem met een sterkere veer heeft meer invloed op de massa.
Als de veer sterker is, is de periode (T) kleiner en de frequentie (f) groter.
Een veersysteem met meer massa reageert "trager" op de kracht.
Als de massa (m) groter is, is de periode (T) dus ook groter en de frequentie (f) kleiner.
De periode (T) van een veersysteem is kwadratisch afhankelijk van de massa (m):

OEFENING

Ik bouw een veersysteem door aan een veer een massa van 100 gram te hangen. Ik meet de periode en vind 0,86 s.

Bereken wat de periode en de frequentie van de triller zal zijn als ik de massa vervang door andere massa's (zie tabel).

(We houden het simpel en veronderstellen dat de veer geen massa heeft.)

OPLOSSING

EXPERIMENT (UITBREIDING)

De "sterkte" van de veer (die we kunnen uitdrukken met de veerconstante, k) bepaalt mee de periode (T) van de trilling. We kunnen de relatie bepalen tussen de periode (T) en de veerconstante (k). Dat doen we door de massa (m) van het systeem constant te houden en verschillende veren te gebruiken.

SIMULATIE

Gebruik Lab in de simulatie Massa's en veren van Phet.
[ VIDEO ]

Bepaal de relatie tussen de periode (T) van een veersysteem en de massa (m).
Bepaal ook de relatie tussen de periode (T) en de veerconstante (k).

Zet je resultaten in het rekenblad, tabblad SIM VEER.

Dit is de relatie tussen de periode (T) van een veersysteem en de massa (m):

Dit is de relatie tussen de periode (T) van een veersysteem en de veerconstante (k):

Omdat de massa en de veerconstante onafhankelijk van elkaar zijn, kunnen we ook schrijven:

Dat wil dus zeggen:

De constante blijkt gelijk te zijn aan 2π en geldt voor élk veersysteem.

Hiermee hebben we dus een algemene formule waarmee we de periode (en de frequentie) van een veersysteem kunnen berekenen.

De periode van een veersysteem kan je berekenen met deze formule:

Bij een vaste stof houden de moleculen elkaar vast dankzij de intermoleculaire krachten of Van der Waalskrachten. Maar ze trillen daarbij wel heen en weer t.o.v. een evenwichtspositie. In de fysica maken we hiervan een model. We doen alsof die moleculen aan elkaar vastzitten met veren.

De veerconstante van die denkbeeldige veren is dan een maat voor hoe sterk de intermoleculaire krachten zijn.

Als we praten of zingen, spannen we onze stembanden op en blazen we er lucht over. Daardoor gaan die heen en weer trillen. De lucht neemt die trilling over, wat wij dan horen.

Als we onze stembanden meer opspannen, is dit veersysteem “stijver” (en de veerconstante ervan groter). De frequentie waarmee de stembanden trillen is dan groter en wij horen een geluid dat hoger klinkt.

De frequentie van een typische mannenstem ligt rond de 100 Hz, die van de vrouwenstem rond de 200 Hz.

Vibrerende stembanden.

Eigenfrequentie

Als je een veer met een bepaalde sterkte kiest en je hangt daar een massa aan die je ook zelf kiest, dan heb je meteen ook de trillingsperiode vastgelegd. Je veersysteem kan alleen met die periode trillen.

Ieder elastisch systeem heeft dus blijkbaar een trillingsperiode die typisch is voor dat systeem. Die trillingsperiode hangt af van de massa en het materiaal in het systeem. Iedere trillend systeem heeft dus ook een typische frequentie waarmee het trilt.

TERMINOLOGIE - EIGENFREQUENTIE

De unieke frequentie van een eenvoudige triller heet de EIGENFREQUENTIE.

OPDRACHT

Leid uit bovenstaande informatie af wat de formule is voor de eigenfrequentie van een eenvoudige triller.

OPLOSSING

Omdat

is dit de formule voor de eigenfrequentie van een eenvoudige triller:

⊕ Een massa aan een touw

Een massa aan een touw voert, onder invloed van de zwaartekracht, een slingerbeweging uit.

Op het eerste gezicht heeft een slingerend systeem niets te maken met een elastisch, vibrerend systeem. Toch blijkt, na het bestuderen van de slingerbeweging, dat de gebruikte wiskunde identiek is.

EENVOUDIGE, ONGEDEMPTE TRILLER