De eenparig versnelde rechtlijnige beweging
- UITGEBREIDE KENNIS over de EVRB -
Embedded Files
Van plaatsfunctie naar snelheidsfunctie
Van plaatsfunctie naar snelheidsfunctie
De plaatsfunctie (of bewegingsvergelijking) van een rechtlijnige beweging met constante snelheid (een ERB) ziet er zó uit:
De snelheid (v) van deze beweging is de richtingscoëfficiënt van de rechte die je krijgt als je deze functie plot.
Je kan de snelheid dan zó schrijven:
OPDRACHT
Gebruik deze Desmos-app. Wijzig de parameters van de positiefunctie en bekijk wat er wiskundig gebeurt. Wat is er dan veranderd aan de beweging van het voorwerp?
OEFENING
Een object voert een ERB uit.
Het object is op t = 4,0 s op plaats x = 6,0 m.
Het object is op t = 20,0 s op plaats x = -2,0 m.
Bereken de snelheid van het object. Gebruik de Desmos-app om je antwoord te checken.
Noteer de plaatsfunctie, x(t).
OPLOSSING
∆x = -8,0 m
∆t = 16,0 s
We bepalen eerst de snelheid:
De beginpositie (x0) op tijd t = 0 s is dan 8,0 m.
De plaatsfunctie is dus:
Bij een eenparig rechtlijnige beweging (ERB) is de snelheid (v) de richtingscoëfficiënt van de bewegingsvergelijking x(t).
De vorige manier van werken kan je alleen gebruiken als je werkt met constante snelheden.
Als de snelheid niet constant is, zoals bij een EVRB, vind je de zgn. ogenblikkelijke snelheid door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een bepaald punt te vinden.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een bepaald punt van een kromme is de waarde van de afgeleide functie.
OPDRACHT
Gebruik deze Desmos-app. Wijzig de parameters van de positiefunctie (hier: een EVRB) en bekijk wat er wiskundig gebeurt. Lees de snelheid af, die de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is op een door jou gekozen moment.
Aangezien de methode met de afgeleide werkt voor élk punt van de bewegingsvergelijking, kunnen we altijd de snelheidsfunctie vinden door de afgeleide functie van de bewegingsvergelijking te bepalen.
DE ALGEMENE SNELHEIDSFUNCTIE
Als je de bewegingsvergelijking van een object kent, kan je altijd de snelheidsfunctie bepalen:
Met de snelheidsfunctie bereken je de ogenblikkelijke snelheid op een bepaald moment.
OEFENING
Bepaal de afgeleide functie van de bewegingsvergelijking van de EVRB en bewijs dus dat deze snelheidsfunctie inderdaad correct is.
OPLOSSING
Dit is de bewegingsvergelijking:
We nemen de afgeleide naar t van deze functie:
OEFENING
Uit een meting aan de beweging van een object volgt een bewegingsvergelijking met deze wiskundige vorm:
f(x)= 2 x³ - 6 x² + x + 3
Bereken de hiermee de snelheidsfunctie.
Bepaal hoe groot de snelheid is op t = 2,5 s.
OPLOSSING
De bewegingsvergelijking (in wiskundige vorm) is:
f(x)= 2 x³ - 6 x² + x + 3
De afgeleide van deze functie is:
g(x)= 6 x² - 12 x + 1
In wetenschappelijk vorm (maar zonder eenheden) hebben we dus:
v(t) = 6 t² - 12 t + 1
We vullen t = 2,5 in en vinden:
v = 8,5 m/s
De snelheidsfunctie.
De positiefunctie.
Van snelheidsfunctie naar versnellingsfuntie
Van snelheidsfunctie naar versnellingsfuntie
De snelheidsfunctie van een rechtlijnige beweging met constante versnelling (een EVRB) ziet er zó uit:
De versnelling (a) van deze beweging is de richtingscoëfficiënt van de rechte die je krijgt als je deze functie plot.
Je kan de versnelling dan zó schrijven:
OEFENING
Een object voert een EVRB uit.
Het object heeft op t = 4,0 s een snelheid v = -2,0 m/s.
Het object heeft op t = 19,0 s een snelheid v = +4,0 m/s.
Bereken de versnelling van het object en schrijf de snelheidsfunctie neer.
OPLOSSING
∆v = 6,0 m
∆t = 15,0 s
We bepalen eerst de versnelling:
De beginsnelheid (v0) op t = 0 s was dan -3,6 m/s.
Hiermee kunnen we dan de snelheidsfunctie schrijven:
Bij een eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) is de versnelling (a) de richtingscoëfficiënt van de snelheidsfunctie v(t).
De vorige manier van werken kan je alleen gebruiken als je werkt met constante versnellingen.
Als de versnelling niet constant is, vind je de zgn. ogenblikkelijke versnelling door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een bepaald punt te vinden.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een bepaald punt van een kromme is de waarde van de afgeleide functie.
OPDRACHT
Gebruik deze Desmos-app.
Hoe groot is de snelheid van het object op t = 2,5 s?
Hoe groot is de versnelling van het object op t = 2,5 s?
Hoe groot is de snelheid van het object op t = -1,0 s?
Hoe groot is de versnelling van het object op t = -1,0 s?
OPLOSSING
Op t = 2,5 s
v = 1,89... m/s
a = 2,9 m/s²
Op t = -1,0 s
v = 4,3 m/s
a = -10,4 m/s²
snAangezien de methode met de afgeleide werkt voor élk punt van de snelheidsfunctie, kunnen we altijd de versnellingsfunctie vinden door de afgeleide functie van de snelheidsfunctie te bepalen.
DE ALGEMENE VERSNELLINGSFUNCTIE
Als je de snelheidsfunctie van een object kent, kan je altijd de versnellingsfunctie bepalen:
Met de versnellingsfunctie bereken je de ogenblikkelijke versnelling op een bepaald moment.
OEFENING
Uit een meting aan de beweging van een object volgt een bewegingsvergelijking met deze wiskundige vorm:
f(x)= 2 x³ - 6 x² + x + 3
Bereken de hiermee de versnellingsfunctie.
Bepaal hoe groot de versnelling is op t = 2,5 s.
OPLOSSING
****
De bewegingsvergelijking (in wiskundige vorm) is:
f(x)= 2 x³ - 6 x² + x + 3
De afgeleide van deze functie is snelheidsfunctie.
Die is in wislundige vorm:
g(x)= 6 x² - 12 x + 1
De snelheidsfunctie.
De afgeleide van deze nieuwe functie is versnellingsfunctie.
Die is in wiskundige vorm:
h(x) = 12 x - 12
In wetenschappelijk vorm (maar zonder eenheden) hebben we dus:
a(t) = 12 t - 12
We vullen t = 2,5 in en vinden:
a = 18 m/s²
De versnellingsfunctie.
De positiefunctie.
Van snelheidsfunctie naar VERPLAATSING
Van snelheidsfunctie naar VERPLAATSING
De snelheidsfunctie van een rechtlijnige beweging met constante snelheid (een ERB) ziet er zó uit:
Als je een plaatverandering (∆x) wil berekenen, kan je dus de oppervlaktemethode toepassen.
De plaatverandering (∆x) tijdens deze beweging is de "oppervlakte" onder de rechte die je krijgt als je deze functie plot.
Je kan de plaatverandering (∆x) dan zó schrijven:
OPDRACHT
Gebruik de grafiek om te verifiëren dat de plaatverandering (∆x) inderdaad de getekende "oppervlakte" is.
OPLOSSING
De getekende "oppervlakte" is 80.
We berekenen dat beter met de eenheden die op de assen staan vermeld:
"oppervlakte" = 20 m/s ∙ 4 s = 80 m
Dit is dus inderdaad de afstand die een object in 4 s aflegt als het beweegt met een constante snelheid 20 m/s.
Bij een eenparig rechtlijnige beweging (ERB) vind je de plaatverandering (∆x) gedurende een bepaalde tijd (∆t) door de "oppervlakte" onder de snelheidsfunctie te berekenen.
OEFENING
Gebruik de oppervlaktemethode in de grafiek om de plaatverandering (∆x) te berekenen in het interval tussen t = 2 s en t = 7 s.
OPLOSSING
∆t = 5 s
v = - 20 m/s (LET OP HET MIN_TEKEN !!)
"oppervlakte" = - 20 m/s ∙ 5 s = - 100 m
Dus ∆x = - 100 m
Het object verplaatst zich dus 100 m in de negatieve zin.
Merk op dat je NIET weet waar het zich precies bevindt omdat je niet weet waar het was op t = 2 s.
De oppervlaktemethode kan je bij ELKE RECHTLIJNIGE BEWEGING gebruiken om de plaatsverandering (∆x) te berekenen als je de snelheidsfunctie kent.
De plaatsverandering (∆x) van een object gedurende een tijdsinterval is de bepaalde integraal van de snelheidsfunctie binnen de grenzen van dit tijdsinterval.
"Oppervlakte" tussen de grenzen t1 en t0. Alles boven de tijdsas neem je positief, alles onder de tijdsas neem je negatief.
OPDRACHT
Gebruik deze Desmos-app met daarin deze snelheidsfunctie:
v(t) = - 2 t² + 7 t + 15
Hoe groot is de verplaatsing van het object tussen t = 1 s en t = 6 s?
Hoe groot is de snelheid van het object op t = 1 s?
Hoe groot is de snelheid van het object op t = 6 s?
OPLOSSING
∆x = "oppervlakte" = 54,2 m
Het object verplaatst zich 54,2 m in positieve zin.
De snelheid van het object op t = 1 s = 20 m/s
De snelheid van het object op t = 6 s = - 15 m/s
OPDRACHT
Bekijk deze Desmos-app met daarin deze snelheidsfunctie:
v(t) = - 2 t² + 7 t + 15
BEREKEN hoe groot de verplaatsing van het object is tussen t = 1 s en t = 6 s.
OPLOSSING
De plaatsverandering (∆x) van het object is de bepaalde integraal van de snelheidsfunctie binnen de grenzen van het tijdsinterval.
Bereken dus eerst de primitieve functie van de snelheidsfunctie (WolframAlpha):
Hiermee kunnen we de bepaalde integraal tussen de gegeven grenzen uitrekenen:
Niet vergeten de juiste eenheden toe te voegen!
∆x = 54,2 m
Als je de snelheidsfunctie, v(t), kent, dan kan je de verplaatsing (∆x) tussen een tijd t = t1 en een tijd t = t2 bij een rechtlijnige beweging op de volgende manier berekenen:
OEFENING
Gebruik deze Desmos-app.
Stel de snelheidsfunctie van een EVRB in met deze gegevens:
v0 = 5,0 m/s
a = - 0,5 m/s²
Hoe groot is de snelheid van het object op t1 = 2 s?
Hoe groot is de snelheid van het object op t2 = 15 s?
Hoe groot is de verplaatsing van het object tussen t1 = 2 s en t2 = 15 s?
Maak nu de plaatsfunctie zichtbaar op de grafiek.
Maak nu de verplaatsing zichtbaar op de grafiek.De plaatsfunctie die je krijgt geeft je nu de positie i.f.v. de tijd als x0 = 0. (D.w.z. de positie is 0 meter op een tijd 0 seconde.)
Verander nu de waarde voor x0. Wat merk je op?
OPLOSSING
Hoe groot is de snelheid van het object op t1 = 2 s?
v = 4 m/s
Hoe groot is de snelheid van het object op t2 = 15 s?
v = - 2,5 m/s
Hoe groot is de verplaatsing (∆x) van het object tussen t1 = 2 s en t2 = 15 s?
∆x = 9,75 m
De verplaatsing (∆x) verandert niet als je positie x0 verandert.
De plaats op een bepaald tijdstip, x(t), verandert wél als je positie x0 verandert!
Met deze formule berekenen we de verplaatsing (∆x) in het tijdsinterval tussen t1 en t2:
Als we t1 = 0 nemen en x0 = 0, dan is de verplaatsing (∆x) ook meteen gelijk aan de positie (x).
Als we t1 = 0 nemen en x0 = 0, berekenen we dus zó de positie (x) op een bepaald moment t:
Als x0 ≠ 0, dan moeten we beginpositie (x0) bij de verplaatsing optellen om de positie (x) van het object op een moment t te vinden:
Deze manier van werken geldt voor élk tijdstip t. Je hebt dus een formule die de positie van het object geeft op elk mogelijk tijdstip. We hebben de bewegingsvergelijking gevonden!
Als je de snelheidsfunctie, v(t), kent, dan kan je de bewegingsvergelijking, x(t), op de volgende manier vinden:
OEFENING
Gebruik de vorige formule met de snelheidsfunctie van de EVRB en bewijs dus dat deze bewegingsvergelijking inderdaad correct is.
OPLOSSING
Dit is de snelheidsfunctie van de EVRB:
De primitieve functie van v(t) is:
De integratieconstante C is hier gelijk aan x0 en we vinden dus:
Van versnellingsfunctie naar snelheid
Van versnellingsfunctie naar snelheid
We hebben de relatie gevonden tussen de positiefunctie, x(t), en de snelheidsfunctie, v(t).
De ogenblikkelijke snelheid vinden we door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de positiefunctie te bepalen.
Daarom vinden we snelheidsfunctie, v(t), door de afgeleide van de positiefunctie, x(t), te berekenen.
De verplaatsing vinden we door de "oppervlakte" te bepalen in de snelheidsfunctie.
Daarom vinden we de positiefunctie, x(t), door de integraal van de snelheidsfunctie, v(t), te berekenen, met als integratieconstante x0 ( = de positie op t = 0).
Diezelfde redenering kunnen we volledig overnemen om de relatie tussen de snelheidsfunctie, v(t), en de versnellingsfunctie, a(t), te kennen.
De ogenblikkelijke versnelling vinden we door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de snelheidsfunctie te bepalen.
Daarom vinden we de versnellingsfunctie, a(t), door de afgeleide van de snelheidsfunctie, v(t), te berekenen.
De snelheid vinden we door de "oppervlakte" te bepalen in de versnellingsfunctie.
Daarom vinden we de snelheidsfunctie, v(t), door de integraal van de versnellingsfunctie, a(t), te berekenen, met als integratieconstante v0 (= de snelheid op t = 0).
Als je de versnellingsfunctie, a(t), kent, dan kan je de snelheidsfunctie, v(t), op de volgende manier vinden:
Samenvatting
Samenvatting
Met deze laatste formule is ons lijstje met relaties tussen x(t), v(t) en a(t) compleet.
We kunnen nu steeds, voor eender welke beweging, de overige functies vinden als we 1 van de functies kennen die zijn geässocieerd met de beweging.
EXTRA OEFENINGEN
EXTRA OEFENINGEN
... VIND JE IN JE WERKBOEK.
DIt deel gaat verder met het deel KRACHT & ENERGIE bij de EVRB.
Page updated
Report abuse