Energie in een golf

Inhoud

Energie in een 1-dimensionele golf

Vermogen

Intensiteit

EXTRA OEFENINGEN

Om de energie in een 1-dimensionale golf te vinden hebben we een nieuwe grootheid nodig: de lineaire dichtheid.

GROOTHEID - LINEAIRE DICHTHEID (μ)

De LINEAIRE DICHTHEID (μ) van een snaar geeft aan hoeveel massa de snaar bevat per lengte-eenheid:

met hierin:

L, de lengte van de snaar in m.
m, de massa van de snaar in kg.

EXPERIMENT

We bepalen de lineaire dichtheid (μ) van een gitaarsnaar en van een rubberen slang.

De waarden hangen af van wélke snaar of slang je hebt.

Dit zijn alleszins realistische meetwaarden.

SNAAR

- - m = 8,8 g
  - L = 87 cm

μ = m / L = 0,010 kg/m

RUBBEREN SLANG

- - m = 112 g
  - L = 306 cm

μ = m / L = 0,0366 kg/m

Energie in een 1-dimensionele golf

GOLVEN = TRANSPORT VAN ENERGIE

Bij een golf krijg je GEEN overdracht van materie. Een trillingsbron zorgt voor een verstoring in het medium. Omwille van de elasticiteit van de middenstof wordt “de manier van trillen” overgedragen van deeltje op deeltje. Er treedt dus TRANSPORT VAN ENERGIE op. Daardoor gaat ieder “deeltje” waar de golf langskomt de trilling van de bron nadoen.

We gaan de energie zoeken in een oneindig lange snaar wanneer daar een sinusvormige golf doorloopt die wordt geproduceerd door een trillingsbron die een harmonische trilling (HT) uitvoert. We gaan uit van een golf die oneindig doorloopt ZONDER DEMPING.

We hadden al gevonden dat de energie van een harmonische triller gelijk is aan:

Die energie geldt voor elk stukje van de snaar. Dat is omdat er een golf doorheen de snaar beweegt en elk stukje de energie van de bron zal overnemen. Een stukje gaat dan ook harmonisch trillen.

Als de snaar een constante lineaire dichtheid heeft, is de massa van een stukje snaar met lengte Δ𝑥 gelijk aan
Δ𝑚 = 𝜇Δ𝑥.

Zo'n stukje heeft dan een energie:

of ook:

We zoeken nu de energie die met een golf in de snaar wordt doorgegeven over een afstand die gelijk is aan 1 golflengte (λ).

De formule die we vonden wordt dan:

Als een (1-dimensionale) golf doorheen een snaar beweegt, dan is dit de energie over een lengte λ in die snaar:

met hierin:

de golflengte van de golf, λ (in m)
de amplitude van de golf, A (in m)
de lineaire dichtheid van de snaar, μ (in kg/m)
de pulsatie van de golf, ω (in rad/s)

OEFENING

De golfsnelheid in een opgespannen gitaarsnaar bedraagt 748 m/s. De lineaire dichtheid van de snaar is 0,010 kg/m.

Hoe groot is de energie die vervat zit in een golflengte als de amplitude 2,0 mm is en ...

de frequentie van de golfbron 325 Hz is?
de frequentie van de golfbron 650 Hz is?

OPLOSSING

METHODE 1

Gebruik:

Bereken λ en ω en vul die in de formule voor de energie in:

Eλ = 0,19 J
Eλ = 0,38 J

METHODE 2

In de formule voor de energie vind je de factor ω²∙f

Die gaan we omvormen:

Hiermee wordt de formule voor de energie:

Vul de gegevens in en je vindt de waarden uit methode 1.

Merk op dat de energie in een golflengte recht evenredig is met de frequentie van de golf.

Merk op dat in de formule voor de energie de "veerkracht" (hier spreken we liever van spanning) in de snaar verborgen zit. De spanning in de snaar bepaalt immers de snelheid van de golf, en die bepaalt uiteindelijk de relatie tussen λ en ω want

Vermogen

In plaats van met energie te werken, werken we bij golven vaak liever met VERMOGEN:

Als een golf zich verplaatst over 1 golflengte (λ) is er een tijd van 1 periode (T) voorbij gegaan.

Het vermogen is dan:

Omdat bij een golf v = λ/T, wordt de formule voor het vermogen:

Het vermogen is dan:

Als een (1-dimensionale) golf doorheen een snaar beweegt, dan is dit het vermogen dat wordt ontwikkeld:

met hierin:

de snelheid van de golf, v (in m/s)
de amplitude van de golf, A (in m)
de lineaire dichtheid van de snaar, μ (in kg/m)
de pulsatie van de golf, ω (in rad/s)

OEFENING

Als de amplitude van een golf 3 keer groter is, dan is het ontwikkelde vermogen ... keer GROTER / KLEINER.

OPLOSSING

Als de amplitude van een golf 3 keer groter is, dan is het ontwikkelde vermogen 9 keer GROTER.

OEFENING

Als de frequentie van een golf 3 keer groter is, dan is het ontwikkelde vermogen ... keer GROTER / KLEINER.

OPLOSSING

ω = 2ᴨf dus P ~ f²

Als de frequentie van een golf 3 keer groter is, dan is het ontwikkelde vermogen 9 keer GROTER.

OEFENING

In een rubberen slang met lineaire dichtheid 0,040 kg/m veroorzaken we een golf met amplitude 14 cm en frequentie 0,62 Hz. De golf legt in 1,2 s een afstand van 2,4 m af. Hoe groot is het ontwikkelde vermogen?

OPLOSSING

μ = 0,040 kg/m
A = 0,14 m
f = 0,62 Hz
v = ∆x/∆t = 2,4 m / 1,2 s = 2,0 m/s
ω = 2πf = 3,895... rad/s

Invullen in de formule voor het vermogen en je vindt:

P = 0,012 W.

Intensiteit

Tot nu hebben we de energie en het vermogen bestudeerd van een 1-dimensionele golf in een snaar.

Er zijn ook golven die over oppervlakken (2D) reizen, bijvoorbeeld golven in een drumvel of over een wateroppervlak.

OPDRACHT

Bekijk een oppervlaktegolf met 3D Waves bij Desmos.

SIMULATIE

Gebruik de simulatie Wave Simulation bij Pixeled en maak een golf die over een oppervlak reist.

Er zijn ook golven die zich voortplanten in een ruimte (3D). Geluidsgoven zijn hiervan een voorbeeld.

OPDRACHT

Bekijk de visualisatie van een geluidsgolf in lucht bij YouTube.

Als er geen demping is, is het vermogen van een 1-dimensionele golf in een snaar op elke plaats gelijk. Alle energie die vertrekt bij de bron, zal uiteindelijk elk punt in het medium bereiken.

Bij een 2-dimensionele golf spreidt de energie die de bron in het medium steekt zich uit over een cirkel die steeds groter wordt. Het vermogen op een bepaalde plaats is dus kleiner als de afstand tot de bron groter is.

Bij een 3-dimensionele golf spreidt de energie die de bron in het medium steekt zich uit over een boloppervlak dat steeds groter wordt. Het vermogen op een bepaalde plaats is dus kleiner als de afstand tot de bron groter is.

Aardbevingen, geluidsgolven, ... zijn 3-dimensionaal. Bij dergelijke golven voeren we een grootheid in die het effect van de golf op een bepaalde plaats kan beschrijven: de INTENSITEIT, wat gelijk is aan het vermogen per eenheid van oppervlakte.

GROOTHEID - INTENSITEIT (I)

De INTENSITEIT (I) van een golf is het vermogen dat door een bepaald oppervlak gaat (= de energie per tijdseenheid) gedeeld door de grootte van dat oppervlak.

met hierin:

het vermogen van de golf doorheen het oppervlak, P (in W)
de grootte van het oppervlak, A (in m²)

De zonneconstante is de intensiteit van de elektromagnetische golven van de zon, gemeten over het gehele elektromagnetische spectrum. Deze intensiteit wordt door satellieten gemeten en is ongeveer 1360 W/m². Ondanks de naam, is de zonneconstante niet constant. er zitten kleine variaties op.

OEFENING

Veronderstel even dat de aarde geen atmosfeer heeft die energie kan absorberen.

Hoe groot is dan de (stralings-)energie die 1 m² aardoppervlak elke seconde van de zon krijgt als ...

de zon op 90° boven de horizon staat?
de zon op 30° boven de horizon staat?

OPLOSSING

- 1 -

Als de zon loodrecht boven het aardoppervlak staat, ontvangt 1 m² aardoppervlak "1 m² zonnestraling".

De intensiteit is dan:

I = 1360 W/m².

- 2 -

Als de zon op 30° boven de horizon staat, wordt "1 m² zonnestraling" uitgespreid over een oppervlak 2 m².

De intensiteit is dus:

I = P / A = 1360 W / 2 m² = 680 W/m².

De energie van een 3-dimensionele golf wordt verdeeld over een boloppervlak. Hoe verder van de bron, hoe groter het oppervlak en dus hoe kleiner de intensiteit.

Omdat een boloppervlak groter wordt met het kwadraat van de straal, neemt de intensiteit van een golf af met het kwadraat van de afstand:

De intensiteit (I) van een 3-dimensionale golf neemt af met het kwadraat van de afstand tot de golfbron:

De oppervlakte van een bol is gelijk aan:

We kunnen de formule voor de intensiteit dan ook herschrijven.

De INTENSITEIT (I) van een golf is het vermogen dat door een bepaald oppervlak gaat (= de energie per tijdseenheid) gedeeld door de grootte van dat oppervlak. Voor een golf die zich bolvormig uitspreidt in de ruimte geldt:

met hierin:

het vermogen dat de golfbron ontwikkeld, P (in W)
de afstand tot de golfbron, r (in m)

OEFENING

Bereken de zonneconstante voor Mars.

OPLOSSING

Bij de aarde:

rAARDE = 1 AE
IAARDE = 1360 W/m²

Bij Mars:

rMARS = 1,52 AE

Aangezien I ~ 1/r² is

Invullen en je vindt: IMARS = 589 W/m²

OEFENING

Tijdens Maanrock staat de P.A. op 40 m van het podium. Daar is de intensiteit van de geluidsgolf 0,0030 W/m². Hoe groot is dan de intensiteit van die geluidsgolf op 170 m van het podium?

OPLOSSING

Op 40 m van het podium: