Embedded Files
⚠
De grafieken die we in dit deel gebruiken, zijn vaak géén tijd-grafieken.
Kijk dus goed wat er bij de assen staat.
Een golf in een kralenketting. [ Figuur gemaakt met de PHET simulatie. ]
x is de positie in het medium waar de golf doorheen reist.
u is de uitwijking uit de evenwichtspositie.
De golfvergelijking
De golfvergelijking
van een 1-dimensionele golf
TERMINOLOGIE - GOLFVERGELIJKING
Als een golf doorheen een medium reist, dan is de GOLFVERGELIJKING een formule die aangeeft wat de uitwijking, u, van het medium is op een specifieke plaats en op een bepaalde tijd
Voor een 1-dimensionale golf is de uitwijking dan een functie van de positie x en de tijd t:
De redenering om de golfvergelijking te vinden is de volgende.
Zoek de formule die de uitwijking van het punt op positie x = 0 beschrijft. In het eenvoudigste geval is dat de bewegingsvergelijking van een harmonische trilling.
Een punt op positie x ≠ 0 zal dezelfde beweging gaan uitvoeren maar niet op hetzelfde moment! Pas dus de formule aan zodat je de beweginsvergelijking van dat punt vindt.
Op die manier vindt je de formule die de uitwijking geeft op elk moment t in elke positie x → u(x,t)
De wiskundige afleiding van de golfvergelijking vind je
in het document. →
De afleiding van de golfvergelijking levert ons deze formule op:
maar de golfvergelijking wordt meestal genoteerd door gebruik te maken van de pulsatie en het golfgetal.
De volgende formule beschrijft een 1-dimensionele, rechtslopende golf met golflengte λ die wordt veroorzaakt door een bron op positie x = 0. De bron voert een harmonische trilling uit met amplitude A en periode T. De bron heeft op t = 0 een uitwijking u = 0 en beweegt op dat moment in de positieve zin.
Met deze GOLFVERGELIJKING bereken je wat op tijd t de uitwijking (u) is van een punt op een positie x in het medium:
In deze formule is ω de PULSATIE:
In deze formule is k het GOLFGETAL:
OEFENING
Toon aan dat je de golfsnelheid in het medium kan berekenen uit de pulsatie en het golfgetal.
OPLOSSING
OEFENING
Wat is de standaard eenheid van de pulsatie (ω)?
Wat is de standaard eenheid van het golfgetal (k)?
OPLOSSING
De standaard eenheid van PULSATIE (ω) is radialen per seconde.
De standaard eenheid van GOLFGETAL (k) is radialen per meter.
Aangezien 2π radialen betekent dat er "1 volledige trilling" gebeurd is, betekent dit dus dat ...
de pulsatie een manier is om uit te drukken hoeveel "volledige trillingen" er op een bepaalde positie plaatsvinden in 1 seconde.
het golfgetal een manier is om uit te drukken hoeveel volledige golflengten en passen in 1 meter.
OEFENING
Dit is een golfvergelijking in wiskundige vorm:
u(x,t) = 2 sin(3t - 5x)
Hoe groot zijn dan de amplitude, de frequentie, de snelheid en de golflengte van de golf als je ervan uitgaat dat alles is genoteerd in standaard eenheden?
OPLOSSING
Amplitude: A = 2 m
Pulsatie: ω = 3 rad/s
Omdat ω = 2π/T → T = 2π/ω = (2π/3) s → f = (3/2π) Hz
Golfgetal: k = 5 rad/m
Omdat k = 2π/λ → λ = (2π/5) m
Omdat v = λ/T → v = 0,6 m/s
OPDRACHT
Gebruik deze Desmos-app. Wijzig de snelheid (v) van het medium en de amplitude (A) en de periode (T) van de golf. Bekijk hoe de grafiek verandert als t = 0.
Gebruik de play-button om de golf te laten lopen.
Rechtslopende en linkslopende golven
Rechtslopende en linkslopende golven
RECHTSLOPENDE GOLF
LINKSSLOPENDE GOLF
Als we de golfvergelijking die we hebben gevonden gaan gebruiken, merken we dat de golf die we krijgen naar RECHTS verschuift in onze grafiek. Maar een 1-dimensionele golf kan uiteraard ook naar links bewegen.
In dat geval kunnen we de hele redenering nogmaals doen maar dan met een negatieve snelheid.
We krijgen dan deze golfvergelijking:
De wiskundige afleiding van de golfvergelijking voor links- en rechtslopende golven vind je
in het document. →
De volgende formule beschrijft een 1-dimensionele golf met golflengte λ als het punt op positie x = 0 een harmonische trilling uitvoert met amplitude A en periode T en als dat op t = 0 een uitwijking u = 0 heeft en op dat moment in de positieve zin beweegt.
Met deze GOLFVERGELIJKING bereken je wat op tijd t de uitwijking (u) is van een punt op een positie x in het medium:
Als het teken binnen de sinus NEGATIEF is, dan is de golf RECHTSLOPEND.
Als het teken binnen de sinus POSITIEF is, dan is de golf LINKSLOPEND.
OPDRACHT
Gebruik deze Desmos-app. Kies een snelheid (v) van het medium en een amplitude (A) en een periode (T) van de golf. De parameter C bepaalt of het een linkslopende of rechtslopende golf is.
Gebruik de play-button om de golf te laten lopen.
Beginfase
Beginfase
We vertrokken van een ideale situatie waarbij de golf werd veroorzaakt door een bron die op t = 0 een uitwijking u = 0 had en op dat moment in de positieve richting bewoog. Dat hoeft uiteraard niet zo te zijn.
Daarom voeren we, volledig analoog aan de harmonische trilling, een beginfase (ϕ) in.
De volgende formule beschrijft een 1-dimensionele golf met golflengte λ als het punt op positie x = 0 een harmonische trilling uitvoert met amplitude A en periode T en als dat op t = 0 een beginfase ϕ heeft.
Met deze GOLFVERGELIJKING bereken je wat op tijd t de uitwijking (u) is van een punt op een positie x in het medium:
OPDRACHT
Gebruik deze Desmos-app. Kies een snelheid (v) van het medium en een amplitude (A) en een periode (T) van de golf. De parameter ϕ bepaalt de fase op tijd t = 0.
Gebruik de play-button om de golf te laten lopen.
OEFENING
Bestudeer deze animated gif bij Wikimedia Commons. Stel de beweginsgsvergelijking op van de golf die wordt voorgesteld.
OPLOSSING
De golflengte is λ → het golfgetal is k = 2π/λ
De periode is T (hier voorgesteld door de Griekse letter τ) → de pulsatie is ω = 2π/τ
De golf is rechtslopend.
Op t = 0 is de uitwijking van de golfbron u = 0 en op dat moment gaat die naar beneden.
Op t = 0 is de fase dus 180° = π rad.
Dis is dus de golfvergelijking voor deze golf:
EXTRA OEFENINGEN
EXTRA OEFENINGEN
... VIND JE IN JE WERKBOEK.
Page updated
Report abuse