Semejanza. Teorema de Thales y Pitágoras.(2º ESO B)

Readaptación de la Unidad al grupo.

Como finalmente la Unidad se impartirá con el otro grupo de 2º ESO. Durante dos sesiones de esta semana se realiza la observación del grupo para poder adaptarse a él, y hacer posibles modificaciones (esto queda registrado en la correspondiente sección de este Sites: 2º ESO B).

También pregunto a la orientadora del centro que alumnos tienen dificultades y apoyos. Y al tutor si tengo que impartir la sesiones de algún modo en especial para adaptarme a algún alumno del grupo.

Solo hay un alumno con dificultades, que tiene ajuste curricular por tener un nivel real de 5º de primaria. Sin embargo, el profesor que les imparte la asignatura, que además es el tutor del grupo, me indica que para la Unidad de Geometría el alumno podría seguirlo aunque en algunos puntos tenga que simplificarle los ejercicios que realicen o las explicaciones que imparta.

Durante esta semana y parte del fin de semana que corresponde, fruto de esta observación y lo hablado con la orientadora y el profesor, se cambian algunos párrafos de los documentos creados como apuntes de modo que tengan un lenguaje algo más sencillo del que inicialmente había puesto. También debido a que observo que hay pocos ejercicios para trabajar la semejanza de figuras, decido crear una ficha con estos ejercicios para que los alumnos trabajen de forma práctica lo explicado.

Sesión 1 (Martes, 26-04-2022):

• Comienzo con una breve introducción al bloque de Geometría:

  • Les indico de donde viene la palabra: "geo" -> Tierra; "metría" -> Medida. Ya que se ocupaba de problemas relacionados con la medición de objetos y figuras.

  • Breve reseña histórica:

    1. De las ramas más antiguas de las matemáticas, en el antiguo Egipto ya existía.

    2. En la Antigua Grecia donde se empezó a desarrollar y de donde provienen los dos resultados (teoremas) que veremos en el capítulo.

  • Les indico que estudia la geometría: figuras, triángulos, cuadrados, rectángulos, circunferencias, polígonos; su área, volumen, sus ángulos. Les voy preguntando si recuerdan algo de todas estas palabras que les voy mencionando (no participan mucho). De momento, los que responden, me indican que no recuerdan nada

  • Les indico que la figura más importante para el tema que vamos a ver es el triángulo, y en concreto los triángulos rectángulos. Aquí uno de ellos si que me dice la característica de un triángulo, el ángulo recto que tiene que tener. Les digo que para que se acuerden piensen que un ángulo recto es lo que hay cuando pasa un cuarto de hora en un reloj de agujas.

    1. Uno de los alumnos me contesta al triángulo rectángulo que es isósceles. Lo cuál me indica que el alumno está intentando recordar lo que ya conoce relacionado con lo que le estoy contando.

    2. Este alumno junto con el otro que me indica que el triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, son de los dos que más participan a lo largo de la clase.

• Introducción al tema.

  • Tras esto paso a mencionarles que vamos a ver en el tema:

    1. Figuras Semejantes (y caso particular de triángulos semejantes).

    2. Teorema de Thales.

    3. Teorema de Pitágoras.

  • Les pregunto si han visto previamente algo de esto. Un alumno si que me menciona algo de triángulos con Thales, pero no de forma muy clara y segura. Les digo que no hay problema porque será lo que veremos en estas sesiones.

  • Les comento que para el tema van a tener que recordar algunos conceptos que ya han visto, o a lo largo de este curso. O del curso anterior, el de primero de ESO:

    1. Potencias de números.

    2. Raíces cuadradas.

    3. Puntos, rectas y segmentos.

    4. Ángulos y tipos.

    5. Triángulos y tipos.

  • En principio, parecen recordar bien todo esto. Tiene alguna duda más en la definición de punto, recta y segmento, sin embargo, no es tan relevante esta definición para el tema. Los tipos de ángulos los tienen claros y los de triángulo también, aún así les hago unos dibujos en la pizarra.

  • En este punto les indico, que en el Sites, que ya tengo proyectado en la pizarra digital, tiene un breve resumen de todo esto por si lo quieren consultar, y ejercicios por si necesitan repasar.

  • También les comento, que si conocen el programa Geogebra, me dicen que no, que nunca lo han utilizado. Les indico que en el Sites también tienen un vídeo donde se ve como utilizar este programa; y que lo utilizaremos para hacer algunas actividades en clase.

• Pasamos a realizar el cuestionario inicial del capítulo. Cada alumno lo realiza de forma individual con el ordenador que tiene en el aula, o con su móvil personal. Les digo que lo contesten tranquilamente, y que no hay problemas si no saben las respuestas, porque es lo que trabajaremos a lo largo del capítulo, por tanto, no tienen porqué saberlo.

  • Este Cuestionario lo añade al Classroom del grupo que tienen, el profesor.

• Finalmente, se les indica el método de evaluación.

  • Indicándoles que tendrán que realizar diferentes actividades, tanto de forma individual como de forma grupal.

  • Algunas de estas actividades serán representaciones con geogebra.

  • También que tendrán que responder a una serie de cuestiones sobre los conceptos que se trabajen en el tema en una plataforma (khan Academy), que a lo largo de esta semana o la que viene les indicaré como meterse en esta plataforma y cómo realizarlo.

  • Por último, les presento la rúbrica, haciendo uso de la imagen que tienen en el Sites preparado para la Unidad, en la sección "Actividades", de la actividad que tendrán que realizar en grupo, que todavía no podrán realizarla, pero que, conforme vayamos avanzando en el tema lo podrán realizar.

Sesión 2 (Miércoles, 27-04-2022):

• Durante esta sesión se comienza a trabajar el concepto: "Figuras Semejantes".

  • Primero les pregunto si ellos saben lo que son las figuras semejantes. Nadie lo sabe.

  • Les digo que son dos figuras que tienen la misma forma pero que, una de ellas, es más grande o más pequeña que la otra. Les digo que piensen en un cuadrado, si tenemos otro cuadrado más grande a este, serán dos figuras semejantes.

  • Les pongo el ejemplo del móvil, tomando mi móvil y el del profesor, para que vean si tienen la misma forma. Como esperaba me dicen que depende, no todos los móviles que tienen lo serán.

  • Con esto les indico las dos condiciones que tienen que cumplir las figuras para ser semejantes:

    • Que sus ángulos sean iguales.

    • Que sus lados sean proporcionales.

En la parte de lados proporcionales tengo que pararme más para que lo entiendan, les indico que, si un lado del rectángulo, por ejemplo la base del móvil 1 es el doble o el triple que la del otro móvil, el móvil 2. El resto de lados del móvil 2 también serán el doble o el triple del lado correspondiente del móvil 1. En caso de que no se cumpla esto para TODOS los lados, los móviles no serán semejantes aunque a simple vista puedan parecerlo.

• Por tanto cuando se hace el cociente entre dos lados correspondientes de figuras semejantes , siempre obtendremos el mismo valor, este valor es lo que se conoce como "Razón de Semejanza". Este valor es el número de veces que es mayor o menor el lado de la figura 2 con respecto a la figura 1.

• Por esto, no todos los móviles serán semejantes, ya que, aunque tienen los mismos ángulos, por ser todos rectángulos. Sus lados no serán todos proporcionales.

• Vistas estas condiciones, hago uso de las dos construcciones de Geogebra que ya tengo incluidas en el Sites que utilizo durante las clases. La primera, en la que se ven dos rectángulos semejantes. Y la segunda, que muestra una figura más compleja. Comienzo con los dos rectángulos:

  • Les voy preguntando si creen que son semejantes. Todos están de acuerdo en que sí, voy aumentando el valor de la razón de Semejanza con el deslizador, para que me indiquen si creen que siguen siendo semejantes, les dejo este valor en números como 2 o 3.

  • Tienen claro que los ángulos son iguales. Para que vean que los lados son siempre el doblo o el triple del correspondiente, Como la construcción tiene la cuadrícula, les digo que cuenten cuadros, similar a como lo podrían hacer en su cuaderno. Y que comprueben que todos los lados tienen el doble o el triple de su lado correspondiente en la otra figura.

  • Paso a la segunda de las construcciones, en la que la figura es algo más compleja. Como les he dejado el valor de los ángulos y están dibujados, tampoco tienen mayores problemas con ver que tienen los mismos ángulos. Para los lados, se lo hago ver de forma similar al ejemplo del cuadrado. Con esto les hago ver que las dos figuras que sean semejantes, pueden ser de una forma compleja, basta con que tengan la misma entre ellas.

  • También apoyándome en estas construcciones, en el valor de la R, que toma al mover el deslizador, y en los valores de los cocientes que se obtienen al dividir lados de las figuras (que coinciden con la R). Les explico que sería una ampliación y que un reducción, en función del valor de R, viendo ellos fácil que es cuando la segunda figura es más grande o más pequeña. Y yo les digo que vean si se corresponde con un valor de R mayor o menor que 1.

• Tras esto, se comienzan a realizar los ejercicios de la ficha de Ejercicios (que está añadida en la sección Materiales de esta misma página) que les he preparado, la cuál está proyectada en la pizarra digital. Para realizar estos ejercicios les dejo un rato para que lo piensen y que intenten realizarlo en su cuaderno, y luego les voy preguntando.

  • Mientras lo van realizando les digo que, para geometría es muy importante que dibujen en su cuaderno las diferentes figuras que les indique el enunciado del problema.

  • Mientras los alumnos van realizando los ejercicios, me voy pasando por las mesas para que me puedan consultar dudas. En general el grupo es bastante tímido, por lo que les pregunto yo cuando les noto atascados y les voy recordando lo que les acabo de decir.

  • Además, aquí me paro con el alumno que tiene Ajuste Curricular, de hecho este si que me llama en varias ocasiones para hacerme preguntas. Con el primer ejercicio no tienen mayores problemas. Con el segundo si, de modo que le voy detallando los pasos que tendría que seguir. Diciéndole que dibuje, si el piensa que las dos figuras tendrían la misma forma, si se da cuenta de cuáles son los lados correspondiente de la figura. Indicándole que al dividir ha sacado cuantas veces es mayor un lado que el correspondiente en la otra etc.

  • Para el ejercicio 1, sale uno de los alumnos a la pizarra, que mientras lo realizaba me dice que la segunda figura si sería semejante a la primera pero que la tercera no. Porque no le daba la misma razón de semejanza de esta tercera figura con respecto a la primera, que la que le daba de la segunda figura respecto a la primera.

    • Una vez que obtienen los resultados en la pizarra, les hago ver que los cocientes que han de ser iguales son los de una misma figura, ya que las ampliaciones o las reducciones pueden ser varias, y no siempre serán del mismo tamaño, por tanto, el valor de la razón de semejanza no será el mismo en las diferentes ampliaciones y reducciones.

  • Para el ejercicio 2, una vez que lo tienen realizado, sale otro alumnos distinto a la pizarra, voy guiándolo a él y al resto de sus compañeros para que lo ayuden para que vayan obteniendo el resultado. Les digo que es muy importante que realicen el dibujo.

    • No tienen más problemas con los dos primeros apartados, una vez que han hecho el dibujo, pero el tercero no consiguen hacerlo porque no recuerdan bien como expresarlo como un porcentaje.

    • Para esto, les digo que piensen en que tendrían si tienen una razón de semejanza de 1. Todos ven que es la misma figura, por que sus lados medirán lo mismo. De modo que les digo que tendrán el 100% del tamaño de la figura original. Y les indico que para calcular esta razón de semejanza como un porcentaje pueden hacer una regla de tres respecto al 100%.

  • Cuando se iba a comenzar a trabajar el ejercicio 3. Suena el timbre, de modo que les pido que lo intenten en casa y que mañana lo terminamos en clase. También les digo que hagan el primero de los ejercicios individuales que está en los documentos de teoría, en el que tienen que buscar en su casa pares de objetos que puedan ser semejantes y que digan si lo son o no y porqué, les digo que recuerden el ejemplo del móvil que se les ha puesto.

*NOTA: En esta primera sesión ya se va notando que es un grupo muy poco participativo, salvo algunas excepciones, tal y cómo me había indicado su profesor de matemáticas, que también es el tutor del grupo. Sin embargo, me parece notable la diferencia con respecto al grupo de 1ºESO A, en el que impartí la otra Unidad, que era frecuente que se pusiesen a hablar de cualquier otro tema durante las clases.

Sesión 3 (Jueves, 28-04-2022):

• En esta sesión, se repasarán las figuras semejantes, y se comenzará a trabajar el siguiente concepto: "Triángulos semejantes". Además, se verá el caso particular de la escala, como una razón de semejanza.

• Comenzamos la sesión recordando lo visto ayer sobre figuras semejantes, parecen haber comprendido el concepto, que han de tener figuras con la misma forma. También recuerdan las condiciones matemáticas, ángulos iguales, y lados proporcionales. Sin embargo le refresco que quiere decir que sean proporcionales, para que lo interioricen.

• Tras esto pasamos a realizar el ejercicio 3 de la ficha de ejercicios que he preparado. En la que la figura era algo más compleja. Les pido que, si no lo han intentado en casa, lo realicen en su cuaderno.

  • Cuando pasa un tiempo, y me he pasado por las mesas y los he visto algo atascados, les digo que se fijen en la pista que les he dado, que piensen en si la figura es semejante.

  • Aquí uno de los alumnos me dice que no, porque la base de la figura, que es el valor que se conoce para ambas, no es ni el doble ni el triple una de otra.

    • Me paro en este punto, y, apoyándome en la construcción de Geogebra que tengo en el Sites que está proyectado en la pizarra digital; les muestro que no siempre el lado de la figura semejante ha de ser el doble o el triple; es decir que no siempre ha de multiplicarse por un número entero, que pueden ser números con un decimal. Lo ven relativamente bien ya que en la construcción se ha dejado la cuadrícula, haciéndoles ver que cuando tengo una razón de 1'5 si antes tenía un cuadrado ahora tendré un cuadrado y medio, en la cuadrícula.

  • Con esto, ya no tienen más problemas en realizar el ejercicio, uno de ellos sale a la pizarra a resolverlo.

• Ahora pasamos a ver los triángulos semejantes. Como en el caso de la figura, me apoyo en la construcción que he hecho para que puedan manipular ellos desde el Sites.

  • Primero les hago ver que un triángulo es una figura, por tanto, para que tener dos triángulos semejantes no necesitaré tener nada diferente a lo que necesitaba con dos figuras semejantes.

  • Visto esto, en la construcción para los triángulos, mientras aumento el valor de la razón de semejanza con el deslizador, les pregunto si están de acuerdo en que la figura es semejante, al ver que no cambia el ángulo, y que los lados son el doble, el triple, 1'5 veces, la mitad, etc, mediante la cuadrícula, no tienen problemas en reconocerlo.

  • Como tenemos triángulos semejantes. Les digo que para esta figura en particular, podemos comprobar solo algunos de los tres criterios. Les indico cuáles serían y les hago ver, con la construcción como se cumplen estas relaciones con triángulos semejantes.

  • Hago que lo anoten en su libreta, junto con algunos dibujos indicando cada uno de los criterios.

• Una vez que lo han anotado, pasamos a realizar ejercicios de la misma hoja que tengo preparada para las figuras semejantes, para que lo afiancen. Se realizan los ejercicios 5, 6 y 7 de esta hoja.

  • El 5 mediante una pregunta que hago al aire para todos, todos ven claro que los dos triángulos no son semejantes, la mayoría dice que porque no tienen la misma forma, y dos de ellos, se van más a la interpretación matemática, notando que no lo son por el ángulo de la derecha de la base, es diferente en ambos triángulos.

  • El 6 los van a realizar en su cuaderno. Mientras comienzan a hacer el dibujo del triángulo, les pregunto si entienden que quiere decir que la razón de semejanza sea 3. Como noto que no todos lo tienen claro, les recuerdo que es la razón, el cociente entre lados correspondientes de las dos figuras. Y que es ese valor por el que hay que multiplicar TODOS los lados de la figura original para obtener la semejante. Es decir, para saber como se relacionan las dos figuras (además esto me servirá luego para explicarles la escala). Con esto, lo realizan sin problemas.

  • El ejercicio 7 lo realizan en su libreta de forma individual. Mientras lo van realizan me van preguntando dudas, que les voy resolviendo:

    • Les indico que es muy importante que hagan el dibujo.

    • Cuando alguno se atasca en las propiedades de los triángulos (no saber que sus ángulos suman 180º) lo pregunto al resto de la clase, varios lo recuerdan y lo dicen para el resto de sus compañeros.

    • Cuando se atascan en ver que los isósceles tienen dos ángulos iguales y uno diferente, procedo de igual forma que en el caso anterior. Y lo refuerzo dibujando en la pizarra un triángulo isósceles para que noten esto.

    • Para el apartado c), hay un error por mi parte al no hacerles ver de alguna forma al redactar el enunciado que el ángulo que les doy como dato es el común a los lados que tienen como datos, ya que muchos de ellos, en el dibujo, lo ponen correspondiente a otro ángulo del triángulo. De modo que les digo que miren el dibujo que yo he añadido en la ficha para que sepan cuál es cada ángulo.

    • Mientras realizan este ejercicio, ya que es demasiado complejo para el alumno con ajuste curricular, me paro con él para asegurarme que entiende los otros dos, que él si que puede comprender, con mi ayuda parece entender la relación que han de guardar los lados correspondientes de dos figuras semejantes.

    • Una vez que han terminado sale uno de ellos a la pizarra a corregir los dos primeros apartados y otro a corregir el tercero.

• Para finalizar, vamos a trabajar el concepto de escala.

  • Primero si les suena de algo la palabra escala, un alumno me menciona los mapas.

  • Le defino la escala como un tipo especial de razón semejanza, que nos indica cómo se relaciona un objeto de la realidad con lo que vemos en un dibujo. Les indico la notación 1: valor. Y les pongo el ejemplo del mapa, si por ejemplo en este mapa tuviese un río y miden una parte, y ven que mide 1 centímetro en el mapa, y la escala es 1:5000, cuantos medirá en la realidad. Lo ven sin mayores problemas.

  • Les pongo más ejemplos: las maquetas de barcos o aviones, los planos de una casa que realizan los arquitectos. Si alguno tenía un scalextric, los coches que tienen, son un representación a escala de los coches de Fórmula 1 reales, y que, por detrás, pone el valor de la escala.

  • Para el plano y el mapa, les pongo el dibujo que tengo en el documento correspondiente proyectado en el Sites. Por último, les pido que me hagan la actividad individual que se corresponde a la escala, en la que tienen que buscar el plano de su casa (o un plano en internet que incluya la escala) y saber cuánto miden de ancho y de largo tres habitaciones, así como los metros cuadrados que tienen. Les pregunto si recuerdan cuanto valía el área de un rectángulo (lo conocían).

NOTA: En esta sesión, los pocos alumnos que ayer participaron más, lo continúan haciendo, de forma más continua. El resto de alumnos, parece comenzar a soltarse, sobre todo a la hora de preguntar dudas, aunque eso sí, nunca si han de hacerlo en alto, sólo cuando resuelven los ejercicios y la duda me la consultan a mi de forma individual.

NOTA2: IMPORTANTE. Dos alumnos me indican que tienen dificultades para tener conexión a Internet en sus casas, de modo que, las actividades que se iban a realizar con Geogebra, se realizarán en función de que se tenga disponibilidad para llevarlas a cabo durante las sesiones. Para no hacer una distinción con estos dos alumnos.

Sesión 4 (Viernes, 29-04-2022):

Como en todas las sesiones con este grupo, al iniciar la sesión, se proyecta el Sites que se ha preparado con el proyector en la pizarra digital del aula.

• En esta sesión se repasarán los conceptos que se han trabajado hasta el momento, es decir, las figuras semejantes, con su correspondiente razón de semejanza, así como el caso particular de que la figura sea un triángulo, junto con los criterios de semejanza. Además, comienzo a trabajar con el grupo el "Teorema de Thales".

• Comienzo con el repaso.

  • Les pregunto si recuerdan lo que son las figuras semejantes. Todos tienen ya aprendido que han de tener la misma forma, a algunos todavía les cuesta entender la diferencia en que los lados han de ser proporcionales y no iguales. Por lo que les recalco que recuerden que todos los lados de una de las figuras será el doble, el triple, la mitad, 1'5 veces, etc, el lado correspondiente de la otra. Y que recuerden que esto es lo que llamamos razón, y que es el resultado de hacer el cociente de un lado con el correspondiente de la otra figura. Por tanto, este cociente nos dará el mismo valor para todos los lados.

  • Pasamos a los triángulos semejantes. Tienen claro que es una figura más, por tanto se han de cumplir las mismas condiciones. Más dudas en los criterios. Sobre todo en el tercero. Les refresco estos tres criterios apoyándome en la construcción de Geogebra del Sites y en la pizarra clásica.

  • Por último, recuerdo la escala, en la que no tienen mayores problemas, el ejemplo del mapa es bien conocido por todos.

  • Antes de pasar a ver el Teorema de Thales. Les mando para realizar en casa el ejercicio 4 de la ficha de ejercicios sobre semejanza. En el que ellos tendrán que dibujar sus figuras semejantes. Para que terminen de interiorizarlo.

  • En esta primera parte participan aunque tímidamente, similar a lo que hicieron ayer.

• Pasamos a trabajar Thales. Similar a la sesión de ayer, para la explicación me apoyo en la construcción de Geogebra que está en el Sites, en la que se puede desplazar la línea paralela superior de modo que pueden ver como cambian estos valores pero la relación se sigue manteniendo. También en un dibujo que realizo en la pizarra clásica.

  • Mientras voy realizando la explicación, les voy preguntando por conceptos que han de conocer: recta, rectas paralelas, rectas secantes, rectas perpendiculares. Destacar que, uno de los alumnos, cuando trazo las rectas, paralelas entre sí y secantes a las dos rectas iniciales, me dice que esas rectas son perpendiculares a las iniciales, no se si por la perspectiva del dibujo de la pizarra o de la construcción con Geogebra. Les recalco que NO TIENEN POR QUE SER PERPENDICULARES. Simplemente secantes, cambio el dibujo de la pizarra para que quede esto claro.

  • Una vez que está realizado el dibujo, les hago ver la relación que guardan los segmentos. Aquí es donde veo más dificultades por su parte (lo noto, porque cuando les pregunto si hasta este punto han entendido, no me dicen ni que sí ni que no). Les indico que recuerden que quería decir que fuesen proporcionales, lo que hemos visto al principio de la clase.

  • Paso a decirles que con este teorema podemos dividir un segmento de forma proporcional a otro. Les pongo un ejemplo de un trozo de sedal para una caña. Lo hemos dividido entre tres cañas, y por el tamaño de las cañas a una le corresponde más cantidad de sedal que a otra. Dibujo un segmento en la pizarra y lo divido en tres, uno que mide 3, otro 5 y otro 7. Si ahora tenemos un trozo de sedal de mayor tamaño que el de ayer y lo queremos dividir de la misma forma. Es decir, manteniendo esta PROPORCIÓN, podemos usar el teorema de Thales. Dibujo el otro segmento, con la salvedad de que ahora este otro segmento, tendrá uno de sus extremos comunes al de abajo. Y trazo las paralelas.

    • Uso el ejemplo del sedal, ya que el alumno con Ajuste Curricular es muy aficionado a la pesca, para intentar captar su atención en esta parte de la explicación.

  • Tras esto, se trabajan ejercicios, con la ficha que he añadido al Sites con ejercicios sobre el Teorema de Thales y Triángulos en Psoición de Thales (sacada de: matematicasiesoja.wordpress.com/2o-eso/). Esta ficha se encuentra en la sección Materiales de esta misma página.,

  • Realizamos los ejercicios 1 y 2 de esta ficha.

    • Estos ejercicios los van realizando en su cuaderno.

    • Cuando empiezan a realizarlos les recuerdo que, para los ejercicios de geometría es muy importante realizar el dibujo a la hora de resolverlos, para poder entender del todo el ejercicio, a pesar de que, cómo en este caso, ya nos den el dibujo en el enunciado.

    • Mientras lo van realizando voy pasando por sus mesas para ver si alguno se atasca y resolver dudas. En esta sesión van levantando más las manos mientras realizan los problemas, así es más sencillo detectar sus dudas.

    • Me paro con el alumno con ajuste curricular. Le digo que realice en su cuaderno la actividad que he dicho al principio de clase, en la que tenían que dibujar figuras semejantes a base de cuadros de una hoja cuadrícula. Para que el alumno interiorice que tengan la misma forma y el concepto de razón, el factor con el que se relaciona el tamaño en ambas.

    • Como van algo atascados, saco a uno de ellos a la pizarra a realizar el apartado a, del primero, a modo de ejemplo ya que todos son muy similares, y así resolver para todos algunas dudas comunes que he visto.

      • En la pizarra, le digo que lo más importante es el dibujo.

      • Después, ver que segmento es el desconocido, y ver con que segmento de la otra recta se correspondería.

      • Ver que otros segmentos nos dan como dato, y si serían correspondientes. Es decir, si podemos hacer el cociente y obtener el factor que nos indica como se relacionan los segmentos en las dos rectas. Ya que el teorema nos dicen que TODOS los segmentos son proporcionales.

      • Importante. El error principal que he visto en los que si planteaban el ejercicio, es que invertían los segmentos en los cocientes. Es decir, igualaban un cociente en el que el numerador era un segmento en la recta de la derecha con su correspondiente en la recta de la izquierda, a otra cociente en el que el numerador era un segmento en la recta de la izquierda.

        • Les hago notar la diferencia, así estarían obteniendo la relación inversa, es decir, la de como son los segmentos de la derecha con respecto a los de la izquierda, en lugar de la relación que estarían buscando con el primero de los cocientes de la igualdad.

      • Por último, cómo obtienen dos cocientes igualados con un valor de x en uno de ellos, les hago ver que es similar a una regla sde tres, algo que tienen muy interiorizado como ya noté con el grupo de 1º ESO.

    • El resto de apartados, aunque siguen cometiendo algunos errores, si que los hacen de forma independiente. Conforme los van terminado voy a sacando a uno de ellos a la pizarra.

    • Esta parte parecen haberla entendido, ya que los ejercicios son bastante similares todos, más de uno manifiesta que son muy fáciles.

  • Por último, antes de terminar, ya que van a tener un fin de semana más largo de lo normal. Les indico que realicen algunas tareas para casa.

    • La que ya se le había pedido al principio de la clase: Figuras semejantes en hoja cuadriculada.

    • Las dos que les había mandado en sesiones anteriores. Algunos las han realizado pero no todos.

      • Buscar objetos en su casa que pudiesen ser figuras semejantes.

      • La tarea sobre el plano de la casa, para utilizar la escala en la vida real,

    • Por último, para que repasen el teorema de Thales. Les mando dos ejercicios del libro muy similares a los realizados hoy en clase.

NOTA: El Miércoles de esta semana no se lleva a cabo la sesión con el grupo, debido a que no asiste ninguno a clases.

Sesión 5 (05-05-2022)

Como siempre, está proyectado el Sites que se utiliza de apoyo para las sesiones.

• Comienzo con el repaso de todo lo visto la semana pasada: Figuras Semejantes, Triángulos Semejantes, junto con los criterios, Escalas y Teorema de Thales.

  • Como han vuelto de un fin de semana largo, y, además de feria, les tengo que refrescar los conceptos, sobre todo en lo que a la interpretación matemática se refiere. Es decir, aunque tienen claro que es una figura semejante les tengo que recordar las condiciones en sus ángulos y sus lados. Aunque saben que un mapa es un ejemplo de escala, tengo que recordarles el significado de este cociente. De igual forma con la razón. El teorema de Thales si que parecen tenerlo más claro.

  • Para el caso concreto del teorema de Thales, resolvemos en la pizarra los ejercicios mandados el último día de clase, correspondientes al libro de texto, saliendo dos de ellos a resolverlos, como son similares a los realizados no tienen mayores problemas.

  • Podríamos destacar que se muestran algo más participativos que la semana pasada, cuando voy preguntándoles si recuerdan lo trabajado.

• Visto esto, pasamos a los triángulos en posición de Thales, para ello me apoyaré en la construcción que tengo preparada en el Sites. Sin embargo, previo a que vean qué ocurre al manipular esta construcción, hago un dibujo en la pizarra.

  • En este dibujo parto del Teorema de Thales. Es decir, dibujo dos rectas, en este caso dibujando también el punto en el que se cortan.

  • Después dibujo las dos rectas que cortan a estas dos y que son paralelas entre sí. De modo que ellos vean que lo que acabo de representar vuelve a ser el Teorema de Thales.

  • Con este dibujo les hago ver que se han formado dos triángulos.

  • De este modo pretendo que vean que estos triángulos no son más que una extensión del teorema de Thales. Y por tanto, si los segmentos formados en el teorema de Thales eran proporcionales, los lados lados de ambos triángulos también lo serán.

  • Ahora, enlazando con el tercer criterio de semejanza de los triángulos, que les pido a ellos que me recuerden. Les guío para que noten que tenemos el mismo ángulo en ambos triángulos. Y los lados que forman ambos triángulos son proporcionales.

  • Por tanto, dos triángulos en posición de Thales, forman figuras semejantes, es decir, que son triángulos semejantes.

  • Hago que anoten esto en su cuaderno.

  • Ahora si, juego con los triángulos de la construcción para que puedan apreciar como se mantiene la relación entre los triángulos semejantes al variar las medidas.

• Pasamos a realizar ejercicios, muy similares a los de Teorema de Thales. Se corresponden a los ejercicios 5, 6 y 7 de la ficha de ficha de ejercicios de Thales que se utilizó la semana pasada:

  • En el 5 no tienen mayores problemas ya que es similar a los de Thales, que se han hecho al principio de la clase.

  • En el 6, tienen problemas a la hora de calcular el segmento MN, ya que se sale de lo que habían realizado en los ejercicios de Thales. Les hago ver que, aunque estemos trabajando Thales, la clave está en que los dos triángulos son semejantes. Por tanto, TODOS sus lados son proporcionales.

  • En el 7 no tienen problemas con la información del 6.

  • Dichos ejercicios se corrigen en la pizarra, salvo el 6, que lo hago yo en la pizarra, con su guía para que vean el caso particular del segmento MN.

  • Mientras los realizan voy pasando por las mesas y resolviendo las dudas que tienen cuando me llaman.

• Para finalizar, les indico el típico problemas en el que hacer uso de los triángulos para calcular la altura de un edificio a partir de su sombra, sabiendo la sombra que forma un objeto a otra hora del día, de este objeto si que conocemos su altura.

  • Primero, han de reconocer que los triángulos estarían en posición de Thales. De modo que es importante el dibujo. La parte clave está en saber que el ángulo que forman estas dos sombras es el mismo en ambos triángulos.

  • Y, aplicando que son semejantes, obtener la proporción que guardan ambas sombras.

  • Dicha proporción también será la que guardan las alturas.

  • Pueden plantearlo, de igual forma que se hizo con el teorema de Thales, como una igualdad de fracciones, de modo que pueden aplicar la regla de tres. Pero es importante que razonen para saber bien que lados del triángulo están relacionando y que lo hagan de la forma correcta.

• Hacemos el ejercicio 8 y 9 de la ficha de Thales, para que terminen de entender esto. Les ayuda bastante el que esté el dibujo ya realizado en el enunciado del ejercicio. Por lo que no tienen muchos problemas.

  • Mientras lo realizan voy resolviendo dudas de forma individual, o reforzando la explicación dada en la pizarra. Los principales errores que comenten se dan al relacionar los lados de los triángulos, por intentar hacerlo de forma mecánica en lugar de razonarlo primero, sin embargo, cuando les haces ver esto, no hay mayores problemas.

  • Estos no nos da tiempo de corregirlos en la pizarra y no todos los alumnos lo terminan.

• El alumno con Ajuste Curricular. Cómo esta parte del tema puede tener mayor complejidad para él, realiza ejercicios de la ficha que he preparado, que le entrego a principio de clase. Mientras la realiza me va preguntando dudas.

  • Con él tengo que refrescar más aún los conceptos, y repetirles explicaciones de la semana pasada cuando lo atendí de forma individual, que no tuvo problemas para entender y aplicar en los ejercicios.

  • Además, antes de finalizar la sesión, le entrego la ficha que he adaptado para que realice las actividades individuales que realizarán el resto de los alumnos.

Durante el transcurso de la sesión les indico que estamos ya casi terminando el tema y que el martes de la semana que viene realizaremos una pequeña prueba escrita. Les recuerdo lo que hemos trabajado que será lo que entrará y que el examen no será muy complejo. Me sorprende gratamente que no hay ninguna queja ni objeción por su parte. Algo muy diferente a lo que pasó con el grupo de 1º ESO.

También destacaría la actitud de un alumno en concreto, que, antes de empezar la clase, conforme estaba entrando en el aula, me dice que él ha hecho los ejercicios que mandé el ultimo día de la semana pasada para casa, que quería saber si los tenia bien, porque no estaba seguro (los tenía correctamente). Este alumnos muestra mucho interés a lo largo de las sesiones, y me pregunta bastantes dudas a la hora de realizar los ejercicios, porque quiere entenderlos muy bien. Me parece un actitud bastante positiva, mostrando mucha responsabilidad por su parte.

NOTA: Destacaría que noto mayor participación por parte del grupo, tanto a lo largo de las explicaciones, como cuando me han de consultar dudas.

Sesión 6 (06-05-2022)

• Comienzo con un breve recordatorio, de lo trabajado ayer, los triángulos en posición de Thales. Pidiéndole a los alumnos que me indiquen que características tenían estos triángulos. Que recuerden de que teorema venía.

• Posteriormente, salen dos alumnos diferentes a corregir en la pizarra los dos ejercicios de calcular la altura de un objeto, aplicando que los triángulos están en posición de Thales y qué por tanto son semejantes. Aquellos que tenían dudas en el ejercicio era debido a que no conseguían ver que la altura guardaba la misma razón de semejanza que el resto de lados de los triángulos. Con la resolución de sus compañeros, parecen darse cuenta de esto.

• Visto esto, pasamos a la parte principal de la sesión, el trabajo del siguiente concepto: Teorema de Pitágoras.

  • Lo primero es preguntarle a los alumnos que si lo conocen, hay varios alumnos que si, y una alumna que, en las primeras sesiones participaba poco pero cada vez lo estaba haciendo más, me lo enuncia al completo, ya que lo recordaba de otro año.

  • Para completar su enunciado, simplemente les digo que es muy importante que sepan que se aplica con triángulos rectángulos. Recuerdan que son los triángulos rectángulos y me indican ellos la característica principal.

  • Cómo la alumna ha citado catetos e hipotenusa, les pregunto que es cada uno de estos elementos y que si saben identificarlos en un dibujo de un triángulo rectángulo que les hago en la pizarra. Esto les cuesta más, de modo que se lo indico yo. Y ya les enuncio el teorema de palabra, así como la expresión, que añado junto con el dibujo de un triángulo rectángulo con el nombre de los lados en la pizarra. Hago que anoten todo esto en su cuaderno.

  • Una vez que lo tienen me apoyo en la construcción que tengo en el Sites, ya proyectado en la pizarra digital como en el resto de las sesiones. En esta construcción tenemos la interpretación geométrica del teorema de forma manipulable.

    • Les pregunto que quiere decir que cada uno de los lados esté elevado al cuadrado, identifican sin problemas que eso sería multiplicar el lado por si mismo.

    • Los guío, para ver si recuerdan que magnitud era este lado por lado, cuando en lugar de magnitud les digo área, más de uno reconoce que seria el área de un cuadrado.

    • Visto esto, les hago ver que lo que tienen en la construcción de Geogebra es precisamente este teorema entendido como la suma de las áreas de los cuadrados que se forman con cada lado del triángulo rectángulo.

  • El Teorema de Pitágoras relaciona los tres lados del triángulo, y si se fijan la hipotensa tiene que ser el lado de mayor tamaño del triángulo para que se cumpla esta igualdad.

    • De modo que si conocen dos lados de un triángulo rectángulo, pueden conocer el tercero. Aquí haciendo uso de los dos ejemplos resueltos que he incluido en los apuntes de esta parte del tema, les muestro como utilizar este teorema.

    • Además, este teorema es muy importante para lo que les resta de Geometría, ya que, si en alguna figura consiguen identificar un triángulo rectángulo, pueden calcular el resto de magnitudes que les pidan. Por ejemplo:

      • Les dibujo un cuadrado, trazo la diagonal (me indican ellos cómo trazarla), de modo que notan que está divida en dos triángulos rectángulos, por tanto, si conoces el valor de la base y la altura puedes calcular la diagonal de este cuadrado. Esos valores coinciden con la magnitud de los lados del cuadrado.

      • Hago lo mismo con un rectángulo.

      • De este modo una forma de calcular el área de un rectángulos es como dos veces el área de un triángulo. Les pregunto las expresiones de estas áreas y les hago ver que esta relación se cumple.

      • También con este teorema podremos calcular por ejemplo la altura de un triángulo isósceles, y su posterior área.

        • Aquí les tengo que recordar como se construye la altura en un triángulo, y que en el caso del isósceles dividiría a la base en dos segmentos de igual tamaño. Luego ya consiguen ver el triángulo rectángulo en la figura, y que esta altura coincidiría con uno de los dos catetos del triángulos formado.

  • Una vez que todos tienen claro esta explicación, pasamos a realizar ejercicios, en este caso del libro de texto (se añadirán capturas de la Unidad correspondiente de este libro de texto).

Sesión 7 (09-05-2022)

Sesión de síntesis de la Unidad, en la que se resuelven las dudas de los alumnos.

Antes de comenzar con esta sesión de dudas, uno de ellos sale a la pizarra a resolver el problema 68, que quedo pendiente la semana pasada. El alumno lo plantea de forma correcta, identificando correctamente los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar al altura del triángulo equilátero. Sin embargo, como el valor a calcular es uno de los catetos, cometen un error al despejar, error relacionado con los signos, algo que hace que no le de el resultado correcto, se lo hago ver y les indico al resto de la clase los pasos que ha seguido para resolver el ejercicio, ya que no todos lo tenían claro.

Tras esto se pasa a la parte principal de la sesión, el repaso de los conceptos:

• Les pido a ellos que qué parte concreta quieren repasar, como están algo nerviosos me dicen que todo que hagamos un repaso general. De modo que voy refrescándoles todo lo que hemos visto a la largo de las sesiones. Haciéndoles diferentes dibujos en la pizarra tradicional, o recordándoles lo que tienen anotado en su cuaderno, o las construcciones que tengo preparadas en el Sites.

• Los principales dudas:

  • Criterios de semejanza, aunque más que los criterios es la aplicación de los criterios, para lo que han de conocer las propiedades de los diferentes tipos de ángulos, por ejemplo que el isósceles tienen dos ángulos iguales y uno diferente.

  • Aplicaciones de estos criterios, como el caso concreto del problema para calcular la altura. En este me paro algo más que en el resto. Sobre todo que recuerden que vienen de Thales.

  • También para las figuras semejantes, aunque son conscientes de que tiene la misma forma solo que una de ellas es una ampliación o una reducción de la otra. Confunden lados iguales con lados semejantes.

• Lo que más claro tienen:

  • Escala. El ejemplo del mapa lo tienen muy interiorizado. El del plano de la casa algo menos.

  • Teorema de Thales, que les digo que lo apliquen para el caso de los triángulos, ya que no hay mayores diferencias.

  • Teorema de Pitágoras, aunque algunas dificultades a la hora de aplicarlo a un problema concreto, como puede ser el que se ha resuelto al principio de la clase.

• Tras este recordatorio genérico, en el que los alumnos participan diciendo que tienen y que no tienen claro, de modo que guía la explicación para resolver estas dudas, o hago que otro compañero que lo tienen claro le explique las dudas. Hago que se pongan en grupos, los mismo grupos de la actividad grupal que han de realizar, para que resuelven algunos ejercicios del libro relacionados con estas dudas, de forma cooperativa. Es decir, que en caso de dudas han de preguntarle a los compañeros de su grupo para ver si se la pueden resolver, antes de que intervenga yo con este grupo. Me centro en aquellas partes en las que observo mayor dificultad.

• Los ejercicios son los siguientes:

  • Página 206 ejercicio 24, para el trabajo de las figuras semejantes.

  • Página 206 ejercicio 29, 30, 31 para el trabajo con los triángulos semejantes, una de las partes en las que más dificultades tienen.

  • página 207 ejercicio 48, para trabajar el problema típico de las sombras en el que han de aplicar la semejanza de triángulos.

• Donde mayores dificultades tienen son en los relacionados con los triángulos semejanza, a la hora de aplicar los criterios. En el 30 algunos, les indico que recuerden lo que tienen anotado en su libreta sobre estos criterios.

  • En el 31 bastantes, el principal error es que no consiguen detectar que han de calcular el tercer ángulo, teniendo en cuenta el valor total de la suma de los ángulos de un triángulo, comparando directamente los dos triángulos que les dan.

• Finalmente, cuando todos han terminado estos ejercicio y parecen estar mas tranquilos en lo que respecta al examen y manifestar que no tienen dudas. Se mantienen en los grupos que están, de modo que, aquellos que no han terminado la actividad grupal que tenían que realizar la terminen y me la entreguen al final de la clase.

  • Ya que algunos grupos no lo habían ni empezado y me la entregan completa al final de la sesión.

• También pueden comprobar, a aquellos que les falten las tareas individuales que no han terminado de realizar, de modo que sus compañeros o yo podamos resolverles posibles dudas que tengan.

• Antes de que se vayan de clase, les pido que traigan mañana una regla para realizar el examen, y que me entreguen las actividades individuales, y la grupal aquellos que no lo hayan hecho ya, que lo pueden hacer por correo, ya que tienen mi correo electrónico (algunos me lo han mandado por esta vía).

NOTA: El alumno con ajuste curricular no está presente durante la sesión, ya que sale con la PT del centro. En esta sesión tenía pensado para él que completase la ficha con las actividades individuales que adapto para que él también pueda hacerlas.

Sesión 8 (10-05-2022)

Sesión dedica a realizar la prueba escrita correspondiente de la Unidad.

El alumno con Ajuste Curricular realiza el examen adaptado que he preparado para él.

Durante el transcurso del examen voy resolviendo las dudas, cuando me levantan la mano, es de destacar que, salvo el alumno con Ajuste curricular, no suelen hablar para que vaya a su mesa a resolver la duda, se quedan con la mano levantada y continúan con el examen. El alumno con ajuste curricular, que si que lo hace, no lo hace en un tono muy alto ni de forma insistente, me llama una o dos veces y espera a que vaya. Tienen un muy buen comportamiento durante el examen, pidiendo permiso incluso para coger la goma que no había sacado y tenia dentro de la mochila.

Destacaría que algunos alumnos realizan el examen algo más lentos que el resto, por lo que no tienen tiempo de completarlo. Podría ser que el examen fuese demasiado extenso, sin embargo, como la mayoría lo han completado no creo que sea esta razón. A estos alumnos que noto algo atascados en algún problema les digo que continúen con otro si ven que ese les cuesta más. Además uno de estos alumnos, me llama en diversas ocasiones buscando mi aprobación en lo que ha realizado en el ejercicio, aún sabiendo que lo tienen correctamente realizado, algo que le hace perder más tiempo.

Vamos a ejercicios a ejercicios del examen:

• Ejercicio 1:

  • En el apartado a), en el que A y B si son semejantes, pero C no es semejante a ellas, algunos alumnos consideran que no son semejantes porque esperan que lo sean las tres, algo que les extraña ya que a simple vista si que les parecían semejantes. Para resolver esta duda, les guío por la correcta solución, haciéndoles ver su fallo.

  • En el b) algo que también les pasa en el a) algunos alumnos dividen los lados de una misma figura para comprobar si son semejantes, a estos les digo que recuerden las propiedades de figuras semejantes.

  • En el c) se quedan algo atascados porque creen que no tienen datos, les recuerdo que con la cuadrícula también se podrían notar si una figura era semejante.

• Ejercicio 2, apenas hay un par de dudas con el apartado a) porque no saben que lados han de relacionar de cada triángulo, y no saber muy bien como dibujarlos. Por lo demás no preguntan nada más, a pesar de esto, por lo que me dicen algunos al finalizar el examen, es junto con el Ejercicio 5 uno de los que les ha costado.

• Ejercicio 3, una alumna, no recordaba el concepto de escala, y estaba buscado figuras semejantes, por lo que me decía que le faltaba una medida para poder hacerlo. No consigue realizar este ejercicio, y cuando me entrega el examen se lo explico, recordando la alumna como era.

• Ejercicio 4. No me preguntan dudas de este ejercicio.

• Ejercicio 5. Sólo un alumno me pregunta dudas, porque no comprende del todo el enunciado, intento guiarlo, pero tienen bastantes dificultades para hacer la representación gráfica, no consigue plasmar en su folio el edificio con la sombra. Ningún alumno más me pregunta por este ejercicio. Pero, por lo que me comentan después es uno de los que les ha costado.

• Ejercicio 6. No tienen dudas.

• Ejercicio 8. Sólo un alumno me pregunta, aunque lo único que quiere es que le confirme que lo que tienen que aplicar es pitágoras, algo que ya estaba haciendo. Sin embargo, me doy cuenta de que el alumno ha puesto los catetos multiplicando en lugar de sumando, le digo que revise ese enunciado.

De forma general, hay algunas dudas relacionadas con el número de decimales, cuantos pones, si el número ha de ser igual para todos los decimales que salgan, a la hora de aplicar la semejanza entre lados, etc.

Por otra parte, además de atender las dudas que ellos me hacen, me intereso por aquellos que noto algo más atascados e intento guiarles en aquellos ejercicios en los que se encuentran. Algunos si que tienen los conceptos a pesar de atascarse en el ejercicio. Pero otros están atascados porque realmente no tienen idea de que hacer.

Por otro lado, con el alumno con ajuste curricular. El alumnos realiza sólo 3 de los 5 ejercicios que tiene su examen ya que, según sus propias palabras: "He contado los puntos que vale cada ejercicio y a mí con un 6 me vale". Realiza el ejercicio 1, 2 y 5 de sus examen.

A este alumno tengo que ayudarlo más que al resto durante el examen, guiarlo algo más, sobre todo, cuando realiza los cálculos pedirle que me indique que quiere decir el resultado que le ha dado, para que, cuando llega a la conclusión, lo anote en su examen, ya que, lo sabe, pero no iba a poner esta información por escrito en su examen. A pesar de esta ayuda, durante el proceso en el que guío al alumno hacia las conclusiones observo que ha entendido la mayoría de los conceptos que se han trabajado en la Unidad.

El tiempo que tardan en completar el examen, es bastante homogéneo, ocupando la mayoría de alumnos la totalidad de la hora. Los que lo terminan antes, lo hacen apenas 10 minutos antes de que termine la hora.

Para esta Unidad se seguirá una metodología clásica expositiva. Combinado con el uso de las nueva tecnologías, en concreto de la pizarra electrónica junto con el software Geogebra, de cara detallar de forma visual los conceptos de la Unidad, ya que esta unidad se presta bastante al trabajo con este software. Además, buscando la participación activa de los alumnos, se busca que lleguen a expresión de los conceptos trabajados en el tema con sus propias palabras y ejemplos (de forma similar a cómo se hizo en la Unidad para el grupo de primero).

Las sesiones se impartirán haciendo uso de un Google Sites creado especialmente para esta Unidad, en la que se recoge todo lo relacionado con ella, y al que los alumnos tendrán acceso. En este Sites se incluyen tanto apuntes spbre el tema, como fichas de ejercicios y actividades. Además, están incluidas unas construcciones con Geogebra que se han creado de modo que se refuerce la explicación en clase con estos elementos visduales. Además, como los alumnos tienen acceso a estas construcciones, también sirve como un elemento manipulativo.

Durante el proceso en el que se prepara la Unidad, se graban una serie de vídeo cortos con explicaciones basándose en Geogebra. De modo que, si durante las sesiones hubiese algún tipo de problemas con los elementos TIC's necesarios para mostrar estas construcciones, los alumnos pudiesen ver explicaciones basadas en este material creado igualmente.

• Figuras semejantes.

• Triángulos Semejantes. Criterios de semejanza.

• Teorema de Thales. Triángulos en posición de Thales.

• Escalas.

• Teorema de Pitágoras.

A parte de las actividades y ejercicios que se realizarán durante las sesiones con el objetivo de que los alumnos trabajen de forma prácticas los contenidos teóricos de la Unidad, las cuáles se tomarán del libro de Texto, o de diferentes fichas creadas para la Unidad. Se van a trabajar las siguientes actividades:

• Cuestionario inicial del tema.

• Actividades Khan Academy (estas actividades irán en función de los resultados de este cuestionario inicial).

• Actividades individuales, con el objetivo de relacionar los conceptos trabajados con elementos de la vida cotidiana.

• Actividades en Grupo con rúbrica. Con el mismo objetivo que la actividad anterior.

• Actividades para realizar con Geogebra (estas actividades se planifican inicialmente, sin embargo, debido a la no disponibilidad de los recursos TIC's necesarios para realizar en las casas de algunos alumnos, no se hacen para evitar discriminar a estos alumnos. Algo similar ocurre con las actividades de Khan Academy, que se realizan de forma voluntaria para subir nota).

El cuestionario inicial se ha creado con Formularios de Google. Dicho Cuestionario se agrega el Sites de la Unidad y también se añade a Google Classroom (algo que hace el profesor del grupo).

• Este Cuestionario no influye en la nota final de la unidad.

• Se crea con la idea de evaluar el nivel de los alumnos, en la unidad concreta, así como detectar posibles lagunas en lo que a los conocimientos previos se refiere; o la posibilidad de que los alumnos puedan realizar ejercicios de ampliación.

• La estructura de este cuestionario es la siguiente:

  1. Las dos primeras preguntas están orientadas a detectar lagunas en los conocimientos previos.

  2. Las cuatro siguientes son preguntas de no excesiva dificultad sobre lo que se trabajará en el tema.

  3. La última pregunta es una pregunta de mayor dificultad sobre lo que se trabajará en el tema.

• La estructura de este documento tiene relación con la siguiente actividad, las tareas de Khan Academy.

Para la actividad de Khan Academy, se crea una clase con el rol de profesor en esta plataforma, a la que posteriormente se agregará a los alumnos mediante su correo educarex, para asignarles determinadas tareas. Las tareas que se asignen estarán relacionadas con los resultados del Cuestionario inicial de cada alumno. Utilizando de este modo la plataforma como una herramienta para atender a la diversidad. La asignación de tareas se realiza del siguiente modo:

• Todos los alumnos tendrán unas tareas comunes sobre los contenidos de la Unidad.

• Aquellos alumnos que cometan fallos en las preguntas del cuestionario inicial dedicadas a detectar lagunas en los conocimientos previos, tendrán unas tareas extras relativas a estos conceptos.

• Aquellos alumnos que contesten correctamente a 3 de las 4 preguntas sobre el tema. Y a dos de los tres apartados de la pregunta final, realizarán unas tareas extras de ampliación, con contenidos de mayor nivel a los trabajados durante el tema.

Con esto se pretenden tener actividades tanto de refuerzo como de ampliación, y atender la diversidad en el grupo.

En lo que respecta a la evaluación de estas actividades, las actividades comunes serán las que influirán en la evaluación final de la Unidad;, las actividades de refuerzo y ampliación se utilizarán como una ayuda para alcanzar una mejor puntuación en el caso de los alumnos que necesiten refuerzo. Y para subir nota en el caso de los de ampliación, pero sobre todo, intentando que la Unidad les suponga un reto.

Es posible que estas tareas que de refuerzo y sobre todo las de ampliación, no sean realizadas por ningún alumno por los resultados en sus test.

A continuación se agregan estas actividades:

• El cuestionario inicial, se adjunta en la parte final de la sección Materiales dentro de esta misma página.

• En el siguiente documento, están las actividades individuales, las de Geogebra, y la actividad grupal con Rúbrica.

Además a estas actividades iniciales, se añade el Ejercicio 4 de la Ficha de Actividades de semejanza que preparo para esta Unidad.

• Actividades Khan Academy. Se agregan los enlaces los cuestionarios, en función del objetivo de la actividad.

  • Actividades comunes sobre el tema:

    1. es.khanacademy.org/math/2-secundaria-pe/xf4e5558599a475b6:geometria-semejanza-de-triangulos-perimetros-areas-y-volumen/quiz/xf4e5558599a475b6:geometria-semejanza-de-triangulos-perimetros-areas-y-volumen-quiz-6?modal=1

    2. es.khanacademy.org/math/2-secundaria-pe/xf4e5558599a475b6:geometria-semejanza-de-triangulos-perimetros-areas-y-volumen/quiz/xf4e5558599a475b6:geometria-semejanza-de-triangulos-perimetros-areas-y-volumen-quiz-1?modal=1

    3. es.khanacademy.org/math/3-secundaria-pe/x6068dc252c2226c6:geometria-distancia-entre-dos-puntos/x6068dc252c2226c6:teorema-de-pitagoras/e/pythagorean_theorem_1?modal=1

  • Actividades de refuerzo. Para aquellos alumnos con posibles lagunas en los conceptos previos:

    1. es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:geometria-rectas-y-figuras-bidimensionales/xc734090530553e83:paralelo-perpendicular-y-tranversal/e/drawing-parallel-and-perpendicular-lines?modal=1

    2. es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:geometria-rectas-y-figuras-bidimensionales/xc734090530553e83:angulos-en-los-triangulos/e/identifying-triangles-by-angles?modal=1

    3. es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:geometria-rectas-y-figuras-bidimensionales/xc734090530553e83:angulos-en-los-triangulos/e/recognizing-triangles?modal=1

    4. es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:geometria-rectas-y-figuras-bidimensionales/xc734090530553e83:construir-triangulos/e/constructing-triangles?modal=1

  • Actividades de ampliación:

    1. es.khanacademy.org/math/3-secundaria-pe/x6068dc252c2226c6:geometria-distancia-entre-dos-puntos/x6068dc252c2226c6:teorema-de-pitagoras/e/right-triangle-side-lengths?modal=1

    2. es.khanacademy.org/math/3-secundaria-pe/x6068dc252c2226c6:geometria-congruencia-y-semejanza-de-triangulos/x6068dc252c2226c6:semejanza-de-triangulos-y-sus-aplicaciones/e/prove-triangle-similarity?modal=1

    3. es.khanacademy.org/math/3-secundaria-pe/x6068dc252c2226c6:geometria-congruencia-y-semejanza-de-triangulos/x6068dc252c2226c6:semejanza-de-triangulos-y-sus-aplicaciones/e/prove-length-theorems-using-similarity?modal=1

Dado que en este grupo hay un alumno con Ajuste Curricular, aparte de la atención que se lleva a cabo día a día en el aula. Se preparan las dos siguientes fichas de ejercicios:

La primera de ellas, la de la izquierda, pensada para que el alumno pueda realizar las actividades individuales que se le mandan al resto de alumnos, para ello se redactan los ejercicios de una forma más sencilla y más esquemática, guiándolo por los pasos que tiene que dar para completar la actividad.

Además, para el trabajo en el aula, sobre todo cuando llegue el punto de trabajar el Teorema de Thales y el de Pitágoras, para los que el alumno puede tener más dificultades, tenemos la segunda de las hojas de ejercicios, en los que se trabajan la semejanza, sin llegar a entrar en estos dos teoremas. De forma que el alumno pueda interiorizar esta parte que se les expondrá a todos los alumnos del grupo. Como en el caso anterior, en estos ejercicios se hace una redacción más sencilla y se guía al alumno por los pasos que ha de seguir. Estos últimos ejercicios se toman del siguiente recurso: www.jica.go.jp/project/elsalvador/004/materials/ku57pq00003u6zom-att/guia_metodologica_primaria_09_05.pdf .

Por otro lado, también se lleva a cabo una atención individual con los alumnos durante el desarrollo de las clases, cuando han de resolver ejercicios prácticos. Además, basándome en los resultados del cuestionario inicial que se hará con los alumnos mediante un formulario de Google, la tarea con la plataforma Kan Academy que han de realizar tendrás algunas variantes, todos realizarán una serie de cuestionarios, que tratan sobre lo que se trabaja en la Unidad. Sin embargo, aquellos alumno que no respondan de forma correcta a las preguntas del cuestionario dedicadas a los conceptos previos de la Unidad, realizarán algunas parte extras del Kan Academy relacionados con esta parte. Y aquellos que contesten bien a la última pregunta, y a tres de las cuatro preguntas que están dedicadas a los conceptos que se trabajarán en al Unidad (siempre que no hayan respondido de forma errónea las preguntas sobre los conceptos previos) realizarán también unas preguntas extras en la plataforma. De este modo, si los alumnos tiene ya claro el tema les puede ayudar a no perder la motivación.

El libro de texto que se sigue con este grupo es: "Código Bruño Matemáticas 2º ESO. Editorial Bruño. ISBN: 978-84-696-1334-4". A continuación, se agregan capturas de la Unidad correspondiente:

Durante el transcurso de las sesiones se hará uso de un Sites creado especialmente para la Unidad, con el objetivo de incluir todos los materiales creados para la Unidad, para que los alumnos puedan tenerlos, así como apoyarse en las construcciones realizadas con Geogebra durante las explicaciones, con el objetivo de que los alumnos visualicen mejor los conceptos. Además, algunas de estas construcciones permiten que los alumnos puedan manipularlas, de modo que varíen algunos elementos y puedan ver como se siguen cumpliendo las relaciones que determinan los importantes resultados que se ven durante esta Unidad. Se añade un enlace a este Sites.sites.google.com/alumnos.unex.es/capitulo11semejanza/introducci%C3%B3n

Este Sites en el material principal con el que se trabaja la Unidad. En el que recopilan todos los materiales que he preparado para la Unidad. Entre estos materiales tenemos: Documentos con apuntes de Teoría y ejemplos; fichas de ejercicios y actividades, fichas para la atención a la diversidad (ya comentadas en la sección anterior), construcciones de Geogebra como elementos manipulativos, vídeos con explicaciones basadas en las construcciones de Geogebra, cuestionario inicial.

Por otro lado, también tenemos la prueba escrita, común para todos los alumnos, a excepción del alumno con Ajuste Curricular, que tendrá un examen adaptado, con menos preguntas y menos apartados por preguntas, además de ser más sencillas.

Apuntes de la Unidad.

Para la Unidad, se han creado unos apuntes haciendo uso de LaTeX, en los cuales se recogen los contenidos del capítulo. Se adjuntan a continuación:

Como base para crear estos documentos se ha utilizado el capítulo correspondiente del libro de Texto. Así como los Apuntes de Marea Verde que se corresponden con esta parte.

Además, se han creado unos apuntes que recopilan los conocimientos previos que serían necesarios para la Unidad. De esta forma, los alumnos pueden tenerlos a manos y consultarlos en cualquier momento con mayor comodidad.

Para la creación de los mismos, he usado como base los documentos de la plataforma Marea Verde, que se corresponde a la parte de Geometría del curso anterior y los relativos a potencias y raíces, del curso actual (2º ESO).

FICHAS DE EJERCICIOS.

También, sacada del mismo Tema de Figuras Planas de Marea Verde, les dejo una hoja de ejercicios junto con los concepto previos, con la idea de que puedan profundizar en este repaso previo de los conocimientos en caso de que vean que tienen muchas lagunas.

*NOTA: en principio no he pensado en pedirles que hagan estos ejercicios, sin embargo, si observo que algún alumno realmente lo necesita me lo plantearé.

Ficha de ejercicios para trabajar la semejanza en clase. Creada con LaTeX. De esta ficha, el ejercicio 4 será uno de los que tendrán que entregar y que contará como parte de las actividades individuales para la evaluación.

Ficha de ejercicios para trabajar el Teorema de Thales. Esta ficha la obtengo del siguiente sitio web (matematicasiesoja.wordpress.com/2o-eso/). Hago ligeros cambios en los enunciados, pero no son significativos.

A lo largo de la Unidad, se le proponen una serie de Actividades, tanto individuales como en grupo. Utilizando Geogebra, o para relacionar los contenidos con la vida cotidiana de los alumnos. Documento en el que se recopilan todas estas actividades y ejercicios.

Para la última de las actividades, se añade una rúbrica para su evaluación.

Además de las fichas de ejercicios añadidas en la sección de Atención a la diversidad, para el alumno con Ajuste Curricular.

Construcciones con Geogebra.

Con el objetivo de emplear Geogebra como un elemento no solo de visualización, si no también de manipulación, he creado algunas construcciones con Geogebra, que permiten modificar alguno de los elementos geométricos de la construcción, y permiten ver que la relación que guardan se mantiene. De esta forma pretendo que comprendan mejor estos teoremas tan importante. A continuación se adjuntan estas construcciones.

Construcción para observar una figura semejante sencilla (un rectángulo) en la que se puede variar la Razón de semejanza, para observar como varían las dimensiones de la figura, ver la ampliación o reducción de la misma etc. Esto se hace mediante in deslizador.

Construcción similar, en este caso la figura es algo más compleja para que terminen de entender el concepto:

Otro igual pero en este caso la figura es un triángulo. Y se añaden las condiciones para que verificar cada uno de los tres criterios de semejanza.

La siguiente construcción muestra el Teorema de Thales.

En la siguiente se muestran dos triángulos en Posición de Thales.

Teorema del Cateto y de la altura.

Teorema de Pitágoras. Esta construcción coincide con la interpretación gráfica de este teorema.

Vídeos explicativos

Como durante la Unidad, se empleará Geogebra para que los alumnos puedan visualizar y manipular las construcciones geométricas que se corresponde con los conceptos del capítulo; y, además se les pedirá que lo utilicen para realizar diferentes actividades. El primero de los vídeos es un Vídeo-Tutorial, en el que explico como utilizar este software, sobre todo aplicado a geometría.

También he grabado una serie de vídeo con explicaciones de los diferentes contenidos que se tratan en el tema, apoyándome en Geogebra. Con esto busco que ellos, tengan siempre acceso a esta explicación que se apoya en un elemento visual. Y anticiparme a posibles fallos electrónicos en el aula, que me impidan emplear Geogebra mientras hago la exposición de los contenidos.

Figuras Semejantes.

Triángulos Semejantes

Teorema de Thales

Triángulos en posición de Thales.

Teorema de la Altura.

Teorema del cateto.

Para el teorema de Pitágoras se detalla la forma en la que realizar la demostración de la interpretación gráfica del Teorema de Pitágoras. Que además es una de las actividades con Geogebra que se habían planteado (que luego no se realizarán), de modo que se adjunta un vídeo explicando paso por paso como hacerla de modo que ellos puedan replicarla. Si ellos mismo la realizan podrán recordar siempre este teorema y esta demostración. Se adjunta el vídeo explicativo.

Cuestionario inicial

Exámen:

Se adjunta la prueba escrita que realizarán los alumnos:

Y el que realizará el alumno con Ajuste Curricular.

El principal modo de comunicación con los alumnos es el propio Sites que se emplea duranta las sesiones, ya que, en este los alumnos tienen toda la información relativa a la Unidad.

Sin embargo, la comunicación vía correo electrónico también a sido muy importante durante el transcurso de la Unidad.

1. Para mandarles el Sites de modo que los alumnos puedan acceder al mismo se les envía este enlace mediante correo electrónico.

2. Para que se unan a la clase de Khan Academy también se hace uso de este medio.

3. Como observo que algunos no tienen claro las tareas individuales que han de realizar también se les manda un correo con estas.

4. Además, como en clase manifiestan que no han encontrado el plano de su casa, para realizar el ejercicio de la escala, decido mandarles una imagen con un plano en el que las habitaciones están ya medidas, y, a cada uno le indico la escala que ha de aplicar para realizar el problema.

Se adjunta imágenes de esta comunación.

Por su puesto, esta comunicación se da en los dos sentidos, algunos alumnos me envían sus tareas mediante correo electrónico, enviando imágenes con lo que han realizado. Aquí se adjuntan algunos de estos correos.

La primera propuesta de evaluación era la siguiente:

• Participación en clase: 10%

• Actividad en grupo con Rúbrica: 10%

• Actividades individuales: 15%

• Actividades en grupo con Geogebra: 20%

  • 10% Teorema de pitágoras.

  • 10% Resto.

• Khan Academy: 15%

• Prueba escrita: 30%

Sin embargo, como se ha comentado, debido a la situación en casa de algunos alumnos que hacía que tuvieran dificultades para realizar las actividades con Geogebra en sus casas. La evaluación se realiza de la siguiente manera:

• Participación en clase: 10%

• Actividad en grupo con Rúbrica: 15%

• Actividades individuales: 15%

• Khan Academy: 10% (Actividad Opcional Para subir nota, hasta 1 punto)

• Prueba escrita: 60%

A continuación se añade un desglose de Notas de la Unidad.

Participación activa.

Dado que los alumnos, a pesar de ser tímidos, no han mostrado en participar cuando yo se lo he pedido, en ningún momento se han negado a salir a la pizarra a pesar de, en algunos casos, no saber realizar el ejercicio. Y sobre todo valorando la evolución del grupo en cuanto a la participación en las clases, pasando de no decir una sola palabra a participar en las sesiones. Valoro positivamente este hecho. Y no creo que ningún alumno se merezca no obtener la máxima puntuación en este apartado.

Además, el grupo siempre ha trabajado en clase a la hora de realizar las actividades.

Cuestionario Inicial

NOTA: Algunos alumno no registrarían su respuesta durante la realización del test, ya que no está el total de las respuestas.

Se agregan las estadísticas de las respuestas al Cuestionario inicial.

Actividad Grupo

En esta actividad, en la que los alumnos por grupos tenían que proponer y resolver un problema relacionado con lo trabajado en la Unidad, se muestran dos ejemplos; uno con un enunciado bastante elaborado, y otro con un enunciado muy pobre.

Actividades Individuales.

En este caso, como algunos alumnos me envían la tarea por correo, la corrección de la tarea la hago mediante anotaciones en el documento PDF de las imágenes convertidas. Las de aquellos que me la entregan en papel las corrijo en el propio papel a boli.

Adjunto algunos PDF, con las tareas corregidas de algunos alumnos.

Puntuaciones Khan Academy

Examen de la Unidad.

A continuación, se añaden algunas correcciones de exámenes, en algunas de estas imágenes, se pueden ver errores que cometen, que además se repiten para diferentes alumnos.

Se añade un desglose de las notas de la Unidad:

Creo que ha habido una mejora en lo que respecta al lenguaje empleado con el grupo y a la capacidad para atender al alumno con ACS, con respecto a la Unidad impartida con el grupo de 1º ESO. Influye la experiencia que ya había tenido con este grupo de 1º.

Creo que el apoyarme en elementos visuales ha sido beneficioso para que los alumnos entendiesen mejor los contenidos, ayuda mucho la unidad que se estaba desarrollando.

Hay cosas que creo que se podrían mejorar:

• Me hubiese gustados poder realizar las actividades con Geogebra que tenía planteadas, para lo que hubiese necesitado algunas sesiones más con el grupo para poder realizarlas en casa.

• También, sacarle más partido a los ejercicios con Khan Academy. Creo que ha sido un error no mandar las actividades que había buscado de ampliación a ningún alumno, ya que hay algunos que hubiese resultados beneficioso.

• Aunque creo que he atendido correctamente al alumno con ACS, creo que hubiese sido interesante atender a aquellos alumnos que tenían mayor nivel que el resto, esto al hilo con las actividades de Khan Academy que no se han enviado.

En general, me hubiese gustado disponer de algunas sesiones más con el grupo para poder realizar todo lo que había planteado a la hora de preparar los materiales de la Unidad Didáctica.