2 Bachillerato Ciencias

NOTA: Se utilizará la notación Alumno número, de modo que este número coincida con el de la hoja de cálculo en la que se añaden las notas. De este modo se podrá relacionar la nota del alumno, con otra información del mismo, como dificultades, apoyos, refuerzos, etc.

Este grupo no sigue libro de texto, podemos tomar como principal material de referencia los exámenes de la EBAU de otros años, que trabajan a lo largo de todo el curso.

El grupo de 2º Bachillerato Ciencias, está compuesto por 13 alumnos, una de ellas está repitiendo con solo algunas asignaturas (alumno 1), una de ellas la de Matemáticas, aunque no suele estar presente en las clases, al menos a las que yo he asistido. De estos 13 alumnos, 3 de ellos han repetido curso, incluyendo a la alumna que está repitiendo con solo algunas asignaturas (alumno 1, alumno 5, alumno 6).

En este grupo no hay apoyos.

El alumno 5 tienen la materia de matemáticas pendiente de 1º Bachillerato.

La alumna 8 me ha manifestado en varias ocasiones que tienen intención de hacer la carrera de Matemáticas o de Estadística.

En lo que respecta al rendimiento este grupo tiene un rendimiento medio, ninguno llega al nivel del otro grupo se segundo, aunque destacan 5 alumnos, principalmente por su capacidad de trabajo. Hay tres que si tienen más dificultades, teniendo un nivel ligeramente inferior al resto de sus compañeros, entres ellos, una alumna que asiste sólo a algunas asignaturas por estar repitiendo el curso. Además, estos alumnos son poco trabajadores. Hay varios alumnos del grupo que se rigen por la ley de mínimo esfuerzo, preocupándose al final.

El comportamiento, aunque no es del todo bueno, no especialmente preocupante, se limita a casos puntuales, sobre todo relacionados con malas notas obtenidas, lo que lleva a malas actidudes con respecto al profesor. Destacar que, en algunas asignaturas, no en la de matemáticas, los profesores saben que algunos alumnos copian durante los exámenes, aunque les cuesta verles haciéndolo. Todos los alumnos tienen muy buena relación, por lo que hay bastante compañerismo entre ellos. Además, se muestran participativos durante las clases, y se ayudan bastante entre ellos cuando es necesario, algo normal debido al curso en el que están.

Se agrega una hoja de cálculo con la nota correspondiente de Matemáticas, en la primera y la segunda evaluación de todos los alumnos de este grupo. Se ha destacado en rojo los suspensos, y en verde las notas por encima de un 8. Además, se han añadido el número de suspensos totales de cada alumno por evaluación, que también puede ser información relevante.

• Durante esta semana asisto a algunas de las sesiones con este grupo, sesiones que imparte un profesor que pertenece al departamento de Matemáticas.

• El primer día en el que asisto, el profesor me presenta, aprovecha esto para decirle a los alumnos, ya que es un grupo que está en un punto clave en cuanto a decidir que hacer en su futuro inmediato, que he terminado mi carrera y ahora estoy haciendo las prácticas del Máster para poder optar a ser profesor, que es una de las posibles salidas que pueden tener.

• En estas sesiones observo como el profesor imparte la materia.

• Están trabajando mediante los exámenes para la EBAU (tienen un cuadernillo con estos exámenes). Para ello, conforme avanzan en el tema, y ven algunos ejemplos más sencillos, realizan los ejercicios de examen que el profesor les indica y los resuelven en la pizarra, comienzan a realizarlos en clase, y, si no los terminan han de hacerlos para casa, además, el profesor, les manda alguno más para que realicen en casa.

• Están trabajando continuidad y derivabilidad.

• Es un grupo bastante calmado (similar al otro grupo de 2º bachillerato) que muestra interés en las clases.

• Para el Jueves de esta semana (31-03-2022), el profesor me propone que imparta yo la clase, en la que se trabajará el teorema de Bolzano.

  • Con la metodología que él sigue:

    • Enunciarle el teorema y que lo anoten.

    • Reforzárselo con un dibujo (realizado en la pizarra tradicional).

    • Indicarles como aparecerá en los exámenes de la EBAU.

    • Ponerle un ejemplo sencillo para que vean la aplicación del teorema.

    • Finalmente, que realicen ejercicios sobre este teorema de los exámenes de la EBAU.

El jueves (31-03-2022), imparto la sesión sobre el teorema de Bolzano siguiendo la metodología que me propone el profesor, la que está detallada arriba.

*NOTA: Antes de empezar a impartir la clase, sale uno de ellos a hacer un ejercicio en la pizarra que les quedaba pendiente del día anterior.

• Comienzo enunciándoles el teorema Bolzano. Para esta parte teórica, uso la información que viene en el libro de Vicente González Valle "Ejercicios Resueltos de Selectividad y EBAU Matemáticas II (2000-2020)". Hago que copien este enunciado.

• Una vez que han copiado el enunciado del teorema, les hago un dibujo en la pizarra, muy similar al que viene en el libro. Y les hago ver, con este dibujo, que en realidad este teorema es algo que cabe esperar por lógica, es prácticamente una obviedad. Con el apoyo del dibujo lo entienden sin ningún problema. También les aconsejo que hagan este dibujo en su libreta.

• Paso a indicarles como aparecerá este tipo de ejercicios en la EBAU, y que es muy sencillo saber cuando tienen que aplicar este teorema, ya que, en la EBAU, en la mayoría de los ejercicios les dirán: "Enuncie el Teorema de Bolzano....", y, posteriormente, les pedirán aplicarlo para obtener alguna otra cosa. De ahí que les haya dicho que lo copien en su libreta, junto con el dibujo, ya que tendrán que sabérselo para poder enunciarlo.

  • Tras enunciarlo, tendrán que usarlo, para saber si una determinada función tiene algún punto de corte con el eje X, es decir, que calculen si existe ese punto c, si se cumplen las condiciones del teorema para la función.

  • O para probar, que una ecuación tiene alguna solución, es decir, si tiene alguna raíz. Para esto, es simplemente escribir esa ecuación como una función y aplicar el teorema, demostrando así que exista ese punto.

• Pongo algunos ejemplos sencillos:

• Por último, se hacen dos ejercicios, relacionados con este teorema, de la EBAU, con el cuadernillo que ellos tienen (el profesor me ha dado otro a mí):

  • Ejercicio 3 a) del examen de JUNIO 2018 opción A.

  • Ejercicio 3 (completo) del examen de JUNIO 2015 Opción B.

• Para el de 2018, voy anotando en la pizarra la solución del problema, mientras voy preguntando a ellos, y los voy guiando hacia la solución correcta. Como se quedan atascados al no contar con el intervalo, les hago ver que han de buscar un intervalo que sea positivo, para que así el valor de c sea una raíz real positiva, y que cumpla las condiciones del teorema.

• Para el de 2015, trabajo parecido, solo que ahora uno de ellos sale a la pizarra y va realizando los pasos, mientras los otros van realizando los cálculos y ayudándole.

NOTA: El apartado c) no lo hacemos antes de que termine la sesión de clase, así que les indico como han de hacerlo para que puedan terminarlo en casa.

Durante toda la clase, el grupo se muestra participativo, preguntan lo que no terminan de entender, si alguno sabe algo, y otro compañero lo pregunta, se lo resuelve al compañero, y ayudan al compañero que está en la pizarra (tanto durante lo que yo imparto, como en los ejercicios iniciales que resuelven). Y cuando yo les pregunto para hacer el ejercicio de la pizarra o si tienen dudas, no tienen ningún inconveniente en contestarme, y manifestarme sus dudas, o si no se han enterado de alguna parte concreta.

Como es la primera clase que doy a un grupo de esta edad, me ha resultado nuevo, lo he visto muy diferente a las clases que ya he impartido al grupo de 1º de ESO.

Al finalizar la clase, el profesor me dice que asista al examen global del trimestre que tendrán el lunes de la semana que viene a 4ª hora, y, también, a la obra de teatro, que realizarán durante las dos horas siguientes (englobada dentro de las actividades de la semana cultural), en esta obra participará el profesor, junto con algunos alumnos de tercero y cuarto. Los alumnos de este grupo, asistirán pero como espectadores, tras finalizar el examen.

El Lunes, 4-04-2022, durante el tiempo de recreo y la cuarta hora, este grupo realiza el examen de Matemática global al trimestre (que pondera el doble que los otros dos exámenes que han realizado a lo largo del trimestre). Estoy presente en este Examen. Además, antes de que empiecen el profesor les dice que él hoy no va a resolver las dudas, que me las pregunten a mí.

Como no sabía que esto iba a ser así, la sensación inicial que tengo es de estar tenso por lo que me puedan preguntar, y sobre todo, por si iba a poder ayudarles; sin embargo, conforme avanza el tiempo del examen me voy relajando y acabo agradeciendo lo que ha hecho el profesor, ya que diría que ha sido una experiencia que me ha servido bastante.

A continuación, se adjunta el examen que hicieron, examen creado por el profesor, que, como se ve, consiste en ejercicios de exámenes de la EBAU sobre lo que han trabajado en el trimestre.

• Algunos de ellos se quedan trabados en el primero de los ejercicios, ya que les cuesta obtener el diagrama de árbol, porque hay una de las ramas que tendría probabilidad cero. En este caso, las dudas son si está bien lo que han hecho, algo que yo no les puedo contestar, simplemente les digo que repasen lo que han escrito, y lo hagan detalladamente.

  • A dos de ellos, como veo que continúan atascados en este primer problema cuando ya ha pasado bastante tiempo de examen, les digo que continúen con otro ejercicio y que prueben luego con ese.

• En el tercer ejercicio, el de la derivada, también hay un par de alumnos que me preguntan dudas, pero, como antes, es porque no están seguros de cómo han hecho la derivada (uno de ellos si que la había realizado mal, el otro bien)

• También, uno de los alumnos tienen dudas sobre el teorema de rolle. Observo que este alumno realmente no entiende el teorema, confunde los valores a y b, del enunciado del teorema, con los valores a y b, que ha de obtener en el ejercicio, con cierta ayuda por parte mía y del profesor (que en este caso si que interviene) consigue ver el error que comete y cambiarlo.

• Hay algunos alumnos que no llegan a preguntarme dudas, por lo general las dudas se concentran en 4 alumnos, que son los que mas me preguntan. No estoy seguro si esto es por que realmente no tienen o porque soy ajeno a su rutina de clases y son más tímidos que los otros.

• Como se ve, muchas dudas son similares a las que me hacían los del grupo de primero, la pregunta que más me repiten es: "¿Esto está bien?", es decir, que vuelven a tener poca seguridad en lo que ellos mismos han hecho, y, además, en bastantes ocasiones si que tienen bien realizado el ejercicio. Este tipo de preguntas les digo que no puedo contestárselas.

• Conforme se acerca el final del tiempo que tienen para realizar comienzan a hacer una serie de preguntas con menos sentido, con la finalidad de obtener información extra, y motivadas por ver que se les termina el tiempo del examen. Por esto, el profesor, cuando quedaban unos 10-15 minutos, dice que ya no se admiten más dudas.

• Hay una alumna del grupo, que termina muy pronto su examen. Esta alumna luego me comenta que quiere estudiar Matemáticas o Ingeniería (además a lo largo de esta semana y sobre todo del día del centro, que la veo en otras actividades no lectivas, me hace preguntas sobre la carrera y la nota de corte. Me dice que este último año es cuando ha tomado esta decisión, porque ha visto que le gustaban mucho las matemáticas, pero que no se ha cogido las mejores asignaturas para ponderar en selectividad y está un poco agobiada por esto, porque me comenta que ha subido bastante la nota de corte para entrar).

• Cuando ya todos han entregado el examen, como he observado que algunos de ellos se han atascado en una pregunta y han perdido bastante tiempo. Les digo que deberían elegir bien el orden en el que realizan los ejercicios, y les pongo como ejemplo el orden en el que habría realizado yo los ejercicios del examen. Sobre todo con vistas a la EBAU, que han de saber elegir bien los ejercicios que han de realizar para obtener una buena puntuación.

El Martes, 05-04-2022, imparto una sesión con el grupo, dedicada a las asíntotas. El profesor no está presente debido a que está en la excursión con el grupo de teatro. El día antes, al finalizar el examen, me comenta que si quiero impartir la clase, haciéndolo de forma similar a como lo hice con el teorema de Bolzano. También que la de sin ningún tipo de presión, que hasta donde pueda llegar estará bien, ya que el no contaba con esa sesión.

Desde mi punto de vista, como ya he pasado por esa situación inesperada de resolver yo las dudas del examen, no me supone ningún inconveniente impartir esa sesión.

Para ello, como me indica que lo haga de forma similar a como lo hice para el teorema del Bolzano, pretendo buscar la parte de teoría del libro de Vicente González Valle, sin embargo, en la parte del resumen teórico de este no viene información sobre las asíntotas, por lo que busco otra fuente. Utilizo los apuntes Marea Verde (www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/BC2%2009%20Funciones.pdf ). Del que además, también tomaré los ejemplos de funciones para que vean los diferentes tipos de asíntotas.

En la sesión:

• Comienzo trabajando el concepto de asíntota. Primero, como es algo que ya han visto en el curso pasado, pero que es posible que se le haya olvidado, les pregunto si lo recuerdan. Varios dicen "una recta a la que se acerca mucho la función pero no la toca nunca".

• Paso a trabajar los tres tipos de asíntotas. Como antes, les voy preguntando en cada caso si lo recuerdan o lo conocen, en este caso, si que tienen bastante lío entre uno y otro tipo, o, directamente no lo recuerdan o no les suena.

  • Primero, las asíntotas verticales: como su nombre indica en este caso la recta será vertical. Por tanto la expresión de la asíntota será una recta del tipo x = número.

    • Para trabajar, se hace con un ejemplo:

Como candidato a ese número han de probar con las raíces del denominador (en este caso es una, pero si fuesen más han de probar con todas).

Calcular el límite cuando la función tiende al punto, por la derecha y por la izquierda. El valor de este límite ha de ser más o menos infinito

*NOTA: Calculan los límites aplicando L'Hopital, debido a que es lo que han trabajado más recientemente.

• Segundo, las asíntotas horizontales: en este caso, la recta será horizontal, por tanto la expresión de la asíntota será la de una recta del tipo y = número.

  • Como antes, se trabaja con un ejemplo

Para obtener el valor de este número, han de calcular el límite cuando x tiende a más/menos infinito. En caso, el valor al realizar el límite ha de ser un número, este número será el que se corresponde con la asíntota horizontal.

• Por último, las asíntotas oblicuas: en este caso, tendremos una recta oblicua, es decir una recta con una determianda pendiente, por tanto, la expresión de la asíntota será la de una recta dada por su pendiente y su ordenada en el origen:

• Como en los otros dos casos, se trabaja con un ejemplo, en este caso, se toma el mismo ejemplo que para la asíntota vertical

Ahora, el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito, no es un valor numérico, como ocurría en la asíntota horizontal, si no que nos saldrá más/menos infinito.

En este caso diremos que tenemos una asíntota oblicua. Es decir, una recta cuya ecuación es la que podemos ver arriba. Solo tenemos que calcular los valores de la m y de la n, para hacer esto, hemos de emplear las expresiones correspondientes.

Les digo que, si nos fijamos, al dividir entre x, para obtener el valor de m, lo que hacemos es que numerador y denominador tengan el mismo grado, obteniendo así un valor, el cociente entre los valores que acompañan al mayor grado de la x. Este valor tiene que ser un número distinto de cero para que exista la asíntota. El valor de n si que puede ser cero.

• Durante la realización de estos ejemplos, voy dejando que ellos calculen los límites y que me indiquen los valores que obtienen. Además, se muestran bastante participativos, preguntando todas las dudas que van teniendo. Se les ve las ganas de comprender lo que se les está diciendo.

• En este punto, pensaba indicarles como podían saber si a la asíntota, la función se acercaba por un lado o por otro. Sin embargo, ya que el profesor me había dicho que no les exigiese en exceso en la sesión, por ser después de un examen, y por estar en la Semana Cultural, decidí que era mejor que trabajasen los tres tipos, mediante ejercicios; por seguir la misma dinámica que en otras sesiones y que afiancen los conceptos trabajados.

  • Para ellos, les indico que realicen dos ejercicios de exámenes de la EBAU. A continuación se adjuntan ambos ejercicios.

Para la sesión, preparo el siguiente documento, que emplearé para impartir la sesión, y que, tras finalizar la misma les facilitaré a los alumnos para que lo tengan, a modo de resumen del método.

• Comienzo la sesión con la explicación del método, dándole importancia a la expresión, cuando usarlo y cómo usarlo. Les indico de donde viene la expresión del método, de la expresión de la derivada de un producto, y que esto nos indica cuando hay que utilizar este método, cuando en el integrando tengamos un producto.

  • Les recalco que no siempre que tengan un producto en el integrando van a tener que utilizar este método, sin embargo, es sencillo de aplicar una vez que se controla por lo que merece la pena probar con él.

  • Les pongo la expresión en la pizarra.

• Para que entiendan que quiere decir lo que ven en la expresión y que sepan como emplearla para resolver una integral, utilizo el siguiente ejemplo:

En un principio, no iba a aparecer ese tres en el ejemplo, sin embargo, para que, al derivar u, no quedase solo el diferencial de x, y por tanto, fuese normal que los alumnos no se percaten de que tienen que poner el diferencial en la expresión de la ecuación, se optó por añadir el 3.

• Se resuelve la integral siguiendo los pasos detallados en el documento, y explicando que son cada uno de los términos que aparecen en la expresión del método.

  • Hago mucho hincapié en que han de elegir muy bien que término del integrando será u y cuál diferencial de v, porque este paso puede hacer que no consigamos resolver la integral con el método.

  • Sin embargo, si ven que han obtenido una integral más compleja, les indico que pueden probar a cambiar esta elección.

  • Les recalco que no se deben olvidar los diferenciales (esto se lo seguiré recordando en los diferentes ejercicios que realizan ellos posteriormente).

  • También, que añaden la constante final, al resolver la integral indefinida (como antes, se lo recuerdo en los diferentes ejercicios, ya que se les suele olvidar).

  • Mientras voy resolviendo el ejemplo, voy preguntándoles cuanto valen las derivadas, las integrales que ellos conocen y son inmediatas, la elección de la u que ellos harían, si la integral que obtengo es más sencilla, etc. Y si se van enterando de los pasos.

  • Un par de alumnos si que piden que repita como he hecho alguno de los pasos, y otro, como he resuelto la integral final, a este último le indico que es una de las inmediatas, que ha sido uno de sus compañeros el que me ha dicho el valor.

• Hecho este ejemplo, y estando seguro de que todos lo tienen medianamente claro, les enuncio los cinco pasos que he seguido, y les digo que anoten en su libreta cómo y cuándo se usa el método y la expresión; así como los cinco pasos.

• Me preguntan si la expresión han de sabérsela de memoria, en este momento, les enuncio la frase: " Un Día Ví Una Vaca Vestida De Uniforme", que pueden usar como regla nemotécnica, pero que no se preocupen, ya que, conforme hagan ejercicios se les acabará quedando sin problemas.

• Tras la parte mas teórica de la sesión, comienzan ellos a realizar integrales por este método.

La de la izquierda la van a realizar cada uno en su cuaderno, mientras lo hacen me voy pasando por las mesas para ver como va el proceso, y resolviendo fallos que veo y dudas que me preguntan.

• Lo que más tengo que recordar es que añadan siempre los diferenciales. También que escriban bien la u y la v, de modo que ellos mismos la distingan, por que hay varios alumnos que hacen bien el paso dos y tres, en los que calculan los valores de los términos que aparecen en la expresión. Pero luego a la hora de aplicar la expresión, los escriben en otro orden porque no distinguen en su libreta que han llamado u y que han llamado v

• Uno de los alumnos hace mal la elección del paso 2, y me pregunta como pueden saber hacer de forma correcta esta elección.

  • Le digo que si se equivoca no pasa nada, porque puede volver a este paso, al darse cuenta del fallo.

  • Pero que, por lo general, los monomios suelen tomarse como la u, aunque no siempre (esto es importante para resolver la integral de la derecha).

Una vez que terminan sale uno de ellos a resolverla en la pizarra, y mientras les voy detallando los pasos, y las posibles dudas al resto, recalco que no olviden los diferenciales y la constante. Con esta primera no tienen mayores problemas.

Para la integral de la derecha, sale uno de ellos a la pizarra, de modo qué irá resolviéndola y el resto, le irá guiando. Esta tiene la peculiaridad de que no es lo más óptimo elegir como la u el monomio. Por lo que me esperaba el fallo del alumno de la pizarra, sin embargo, me sorprende que elige bien a la primera los términos, no se si fruto de la casualidad o porque realmente sabía que era lo mejor. Pregunto al resto de la clase, la mayoría si que habrían elegido el monomio como la u, y les hago ver la dificultad al tener que calcular la integral del logaritmo neperiano, que no sería inmediata. Les recuerdo que no pasa nada si no hacen así la elección, que pueden volver al paso al darse cuenta del error.

Sin embargo, el alumno que está en la pizarra, se queda atascado en la integral al ver una x en el denominador, y no optar por la opción de simplificar. Les digo que lo que hay dentro de la integral no han de tratarlo como un término especial, que pueden simplificar de forma normal.

Hechos estos dos ejemplos pasamos a realizar ejercicios de exámenes de la EBAU. Solo hay tiempo a realizar uno, el ejercicio 3 b) del examen de Junio de 2018 Opción A; se adjunta imagen. Mientras realizan este ejercicio, voy por las mesas atendiendo sus dudas y viendo sus errores.

Varias cosas con este ejercicio.

• Para empezar algunos alumnos no tenían claro que lo que tenían que hacer era la integral de la función, ya que llevan poco tiempo trabajando las integrales y no habrán afianzado todavía el concepto de primitiva. Con mis indicaciones comienzan a realizarlo.

• A la hora de realizar la integral (el número e está elevado a menos x), algo que lía a muchos a la hora de realizar la integral.

• También tienen ciertos problemas con los signos, una alumna en concreto, que es la que sale a la pizarra, lía el hecho de multiplicar por un término con un signo menos delante, y el restar ese término a otro. Cuando está en la pizarra le indico que escriba los pasos que necesite, siempre colocando el signo menos al principio del término al que va a afectar para evitar errores.

• En lo que se refiere a la aplicación del método ninguno tiene problemas, solo la ejecución debido al signo menos. Tampoco hay mayores dudas con el cálculo de la constante, como antes, los problemas viene a la hora de trabajar con el signo menos

• Por último se les comenta que hay algunas veces que tendrán que aplicar la integración por partes dos veces, es decir, una vez, y a la integral que obtengan tendrán que volver a aplicarle este método. Les indico que es importan mantener el criterio de elección de la u y el diferencial de v (es decir, si la primera vez se tomó la u como el monomio, la segunda vez también), para evitar deshacer el paso anterior.

  • Sin embargo, cuando se iba a trabajar el ejemplo termina la sesión.

  • No hay problema por esto, ya que el profesor me dice que no era necesario llegar hasta ese tipo de ejemplos en esta sesión.

NOTA: en esta sesión, la alumna que está cursando bachillerato con solo algunas asignaturas si que está presente, a diferencia de otras sesiones.

El martes 26-04-2022, imparto una sesión al grupo. La sesión está dedicada a otro de los métodos de integración, el que se aplica cuando tenemos integrales racionales. En el caso más sencillo, cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

Para impartir esta sesión sigo las indicaciones que me da el profesor, por esta razón, se limita al caso sencillo en el que el grado del denominador es mayor que el grado de numerador. Ya que le interesa que se imparta este caso concreto, por ser el que les puede caer en un examen un examen de EBAU con mayor probabilidad.

A la sesión faltan dos alumnos, uno de ellos por enfermedad y, la otra, es la alumna que está repitiendo bachillerato y solo asiste a algunas materias.

• Comienzo la sesión, recordándoles algunas integrales inmediatas. Aquellas que tienen como resultado el logaritmo neperiano, ya que serán el tipo de integrales al que llegaremos a la hora de aplicar el método. Para esto, trabajo los siguientes ejemplos, de mayor a menor dificultad.

No tienen mayores problemas en indicarme cuanto es el valor de la integral. Les recuerdo que, cuando obtengan el valor de la integral, siempre han de poner la constante por ser la integral indefinida. Cuando ellos me indican la respuesta suelen olvidarse de añadir esta constante.

Además, añado valor absoluto al término sobre el que se aplicaría el logaritmo. Cómo los alumnos me preguntan porqué, les recuerdo que el logaritmo neperiano no estaría definido para los valores de x negativos, por lo que, cuando hagan este tipo de operaciones en la examen de la EBAU no se les olvide añadir el valor absoluto.

• Una vez hecho esta breve introducción del tipo de integrales que es necesario conocer de forma inmediata, paso al método en sí.

  • Les hago ver que en este caso estamos buscando obtener varias integrales del mismo tipo que las que hemos trabajado al principio de la clase, es decir, aquellas cuyo resultado inmediato sea el logaritmo neperiano de una determina expresión.

  • Les indico cuando aplicar el método: cuando el integrando es un cociente entre dos polinomios. Además, el caso concreto que veremos hoy que es el más sencillo, se aplica cuando el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador.

  • Cuando estemos en este caso, lo que hacemos es trabajar con este integrando para llegar al tipo de integral inmediata de las cuáles sabemos su resultado; es decir, una fracción cuyo numerador sea un valor numérico, y cuyo denominador sea un monomio.

    • Para conseguir esto realizamos un proceso al que se conoce como: "descomposición en fracciones simples", debido a que vamos a obtener las fracciones más sencillas que serían equivalentes a la fracción inicial que tenemos en el integrando.

  • Trabajo con el siguiente ejemplo para detallarles los pasos. En este ejemplo, se comienza por el caso más sencillo, cuando únicamente tienen un polinomio en el denominador.

Tomando de referencia este ejemplo voy detallándoles los pasos que han de seguir para llevar a cabo este método. Preguntando a la clase aquellas cosas que deben conocer como podrían ser operaciones con polinomios, obtener el mínimo común múltiplo, etc. Como siempre, este grupo se muestra participativo y con ganas de entender lo que se les está contando. Pasos:

1. Obtener las raíces del polinomio del denominador. Estos cálculos los realizan ellos en su cuaderno.

2. Expresar este polinomio factorizado. Esto también me lo han de decir ellos.

En este paso alguno de ellos tienen cierto lío, al cambiarle el signo a la raíz que han obtenido, les digo que precisamente son raíces, por que son los puntos que anulan el denominador, es decir, los valores de la variable x tales que, al sustituirlos en el polinomio, lo hacen cero. Por tanto si la raíz es 2, y lo expresan factorizado como x + 2, al sustituir el valor de esta raíz no hará cero este denominador.

3. Paso clave. Como buscamos la expresión más sencilla de esa fracción inicial, queremos que en el numerador no haya polinomios, y que en el denominador aparezcan monomios, de modo que tengamos integrales de las inmediatas que hemos visto al principio. Por tanto se iguala esta fracción inicial a lo siguiente:

Donde estos coeficientes A, B, C, son los valores numéricos que tenemos que calcular para que se cumpla la igualdad. Les indico que habrá tantos coeficientes numéricos como número de raíces tenga el polinomio del denominador, es decir, el grado del polinomio del denominador.

4. Sumar estas fracciones, han de sacar el factor común. No tienen mayores problemas en realizar esto, llegan fácil a la expresión de la fracción final.

5. Una vez que tenemos esta fracción, hemos de igualarla a la fracción inicial para obtener los valores de los coeficientes A, B, etc. Para este paso nos interesa lo que haya en el numerador de la fracción del integrando. De modo que lo que vaya acompañado a la x, se iguala a lo que vaya acompañando a la x en el numerador de la fracción que hemos obtenido, lo que vaya con el término independiente en la original con lo que acompañe al término independiente en la que hemos obtenido y así sucesivamente.

6. Así obtenemos un sistema de ecuaciones.

7. Resolvemos este sistema y obtenemos los valores de A y de B.

8. Por tanto nuestra integral inicial será igual a la suma de estas integrales más sencillas de coeficientes del tipo:

Las cuáles si sabemos resolver porque son del tipo de las que hemos visto al principio de la clase. Les pregunto a ellos el valor de estas integrales inmediatas.

Hecho esto, pasamos a otro ejemplo, en este caso, lo van resolviendo ellos en su cuaderno y me indican el resultado. El ejemplo en cuestión es:

Lo único a comentar mientras lo realizan:

• Aparte de algunos errores de cálculo que hacen que les den valores erróneos de los coeficientes A y B; pero que, cuando se lo indico, no tienen problemas en ver que han cometido ese error.

• Es que como algunos ponen los coeficientes como el numerados de la raíz 1 y otros como el numerador de la raíz -1. Se lían porque piensan que han obtenido mal los valores con respecto a sus compañeros. Les hago ver que va a depender de que sea para ellos ese coeficiente A y B, ya que es algo que elegimos, son valores desconocidos, que nosotros nombramos de otra manera para poder calcularlos, pero que podríamos haberlos nombrados por cualquier otra letra y no haber diferencia, lo importante es saber a que raíz acompaña cada uno de los valores obtenidos.

Visto esto, se pasa a realizar ejercicios del cuadernillo de la EBAU. Comenzamos con el de Junio de 2021, el ejercicio 7. Como en el caso anterior los principales errores que tienen son errores de cálculo y relacionados con las operaciones con signo menos. Se muestra el ejercicio. Y la resolución en la pizarra por parte de una alumna.

Para finalizar comenzamos a hacer otro ejercicio del cuadernillo que tienen con exámenes de la EBAU. En concreto el 8 de Julio de 2020. Se llega hasta calcular los valores de los coeficientes A y B, para ver si todos ellos lo tendrían de igual modo resuelto en su cuaderno. Y que lo terminen para casa.

Durante esta semana, en la que este grupo sólo tiene dos horas de clase, debido a que la semana es algo especial por las festividades locales, asisto a las dos sesiones, en ambas me limito a observar al profesor, y a intervenir de forma más activa en las dudas que los alumnos tienen a la hora de realizar los ejercicios. Destacar que este grupo es de los pocos que asiste al centro el Miércoles, en parte debido a que tienen que aprovechar estas sesiones para terminar el temario para la EBAU.

Ambas sesiones se dedican a la parte final del tema: Integrales definidas y sus aplicaciones (cálculo de áreas).

En la primera sesión el profesor trabaja la regla de Barrow. Y comienza a explicar como calcular el área que encierra una curva con los ejes coordenados.

Comienza enunciando la Regla de Barrow, e indicándoles como utilizarla para calcular la integral definida, muy similar a lo que ya han hecho, simplemente sustituir los límites de la integral en el valor de la primitiva que obtienen al realizar la integral, y restar ambos valores, siempre límite superior menos límite inferior.

Para que lo entiendan lo trabaja con tres ejemplos sencillos que va anotando en la pizarra y que los alumnos le indican como resolver:

Con estas no tienen mayores problemas, a continuación les detalla otra más compleja, que han de resolver primero en sus cuadernos:

Mientras la van realizando si que les resuelvo dudas, además, como es una integral por partes, algo trabajado en una de las sesiones que yo les impartí, en este caso concreto es de las que habría que aplicar el método dos veces sucesivas, algo que les expliqué pero que no me dio tiempo a trabajar con un ejercicio. Los principales errores están a la hora de tener que aplicar dos veces este método, también, cometen ciertos errores de cálculo por ser un poco más largo el ejercicio: algunos errores relacionados con paréntesis. Sin embargo acaban obteniendo el resultado correcto la mayoría, uno de ellos sale a la pizarra a resolverla.

Por último, pasa a las aplicaciones, la de calcular el área bajo una curva. Lo trabaja directamente con un ejemplo:

Indicándoles que lo más importante, antes de calcular el área es representar correctamente la gráfica. Me sorprende mucho las dificultades que tienen para representar la gráfica; teniendo el profesor que indicarles paso por paso como hacerlo: partiendo de la expresión general de la parábola, indicándoles que miren el signo de los coeficientes para ver si va hacia arriba o hacia abajo, calculando los vértices, los puntos de cortes con los ejes etc.

Estas dificultades para la representación se repetirán también en la otra sesión a la que se asiste con el grupo.

Una vez que la representan el profesor les indican la región de la que se quiere calcular el área, y como obtener de aquí los límite de integración de la función (puntos de corte).

Aquí termina con esta primera sesión.

Segunda sesión con el grupo. Como en la anterior me limito a observar y a resolver dudas cuando realizan los ejercicios. En esta sesión van a trabajar el área comprendida entre dos curvas. Les dibuja dos curvas cualesquiera y señala la región, y les indica que esto es la integral de la resta de estas dos curvas, IMPORTANTE que han de restar la curva que va por debajo en la representación a la que va por encima en la representación, de modo que es muy importante la representación.

Como en la sesión anterior lo trabaja con un ejemplo. Curva comprendida entre las siguientes dos curvas:

La representación han de hacerla ellos en su cuaderno. Como en la sesión pasada, tardan más de lo esperado y tienen bastantes dificultades. En estos pasos les voy dando indicaciones para que recuerden lo que se había hecho en la sesión de ayer. Lo acaban consiguiendo e identifican correctamente la región de la que calcular el área.

Algunos ven también que ahora los límites de integración serán los puntos de corte de ambas curvas. Sin embargo, se quedan en blanco a la hora de saber como calcular estos puntos de corte. EL profesor les indica que han de igualar ambas funciones.

Tras esto, sólo han de hacer la integral de la resta de las funciones con estos limites, algo sencillo que no suponen problemas para ellos.

Antes de pasar a otro ejemplo, les indica un caso que pueden ver en los ejercicios de la EBAU, en el que le den los límites, por ejemplo, que lo calculen entre 0 y 1. Este caso es más sencillo que el anterior.

Otro ejemplo para que lo hagan ellos de forma independiente

En este caso, un alumno se queda atascado a la hora de representar la recta; aunque cuando el profesor se lo hace ver se da cuenta rápidamente. Por lo demás, este lo solucionan relativamente rápido.

Por último, les pone un ejemplo más complejo.

Como en otros ejemplos es de destacar los problemas que tienen algunos alumnos a la hora de hacer la representación de las gráficas. En lo que emplean bastante tiempo a la hora de resolver el ejercicio.

Además cuando ya consiguen representarlo está la dificultad añadida de que ahora tienen tres funciones diferentes que se cortan en diferentes puntos y que forman diferentes áreas. En esta caso los alumnos no saben como continuar, ni la integral de qué funciones han de realizar ni que límites añadir.

Por esto, el profesor lo representa en la pizarra y les indica los diferentes tramos, en los que han dividir el área, ya que el final el área total será la suma. Y que funciones intervienen en cada tramo y cómo calcular los límites.

En este punto termina la sesión, los alumnos han de completar el ejercicio en sus casas con estas indicaciones que les ha dado el profesor.

El martes de esta semana asisto al examen final que realizará este grupo, durante dos hora. Dicho examen se corresponde con el examen final de la asignatura que han de realizar los alumnos. Englobado dentro de la semana que tienen para ello. Según el calendario que se muestra a continuación:

El examen que realizan los alumnos se muestra a continuación:

Como se puede ver el examen es algo caótico, todos los ejercicios están tomados del cuadernillo de exámenes de la EBAU que los alumnos tienen, alguno de ellos incluso los han realizado. La forma de realizar el examen es la siguiente:

• Los alumnos que han de examniarse solo de la 3 evaluación, realizan los cinco ejercicios de esta, es decir los cinco últimos.

• Los alumnos que tenga que examinarse de todas las evaluaciones, hacen los dos ejercicios de la evaluación 1 y 2, y los tres primeros de la evaluación 3.

• Los alumnos que tengan que evaluarse de alguna de las dos primeras evaluaciones y de la tercera, hace los dos ejercicios correspondiente a la evaluación que han de recuperar. Y los ejercicios 1, 2 y 4 de la tercera.

Durante el transcurso de las dos horas, el profesor se ausenta en intervalos de tiempo, en los que me quedo solo con el grupos. De las diferentes dudas que me consultan se pueden hacer los siguientes comentarios:

• Continúan cometiendo errores de cálculo.

• Continúan haciendo preguntas que buscan la aprobación del profesor en el ejercicio para confirmar que lo tienen de forma correcta.

• Como la representación de las gráficas para el cálculo de áreas no es muy compleja no tienen muchos problemas en esta parte como cabría esperar por lo observado la semana pasada.

Por lo demás no hay nada destacable. Cuando terminan este examen me despido del grupo y les deseo suerte en lo que les queda. También le comparto en Cuestionario para que los alumnos evalúen mi labor docente al profesor del grupo, para que se lo añada el Classroom y que lo hagan de forma anónima y voluntaria.